河南科技大学附属高级中学2025-2026学年高二下学期第2次数学周测

河南科技大学附属高级中学2025-2026学年高二下学期第2次数学周测 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的。 1．江夏一中高一年级共16个班，高二年级共15个班，从中选出一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有的安排方法种数是 A．16 B．15 C．31 D．240 2．在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值班，则不同的排班方法有（    ） A．12种 B．24种 C．64种 D．81种 3．设，则（    ） A． B． C． D． 4．有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有  （ ） A．种 B．32种 C．72种 D．30种 5．某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有(　　) A．45种 B．56种 C．90种 D．120种 6．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的5名同学打算参加“春晖文学社”“舞者轮滑俱乐部”“篮球之家”“围棋苑”4个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法种数为（    ） A．72 B．108 C．180 D．216 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 7．下列说法正确的是（    ） A．可表示为 B．若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种 C．10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次 D．老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人，则分法有种 8．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（    ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项 9．(多选)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是(　　) A．所有可能的方法有34种 B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种 D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 10．已知二项式的展开式中常数项为，则含项为 ． 11．有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成________种不同的信号． 四、解答题：本题共3小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12．设，且已知展开式中所有二项式系数之和为. （1）求的值以及二项式系数最大的项； （2）求的值. 13．毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果： （1）、两人不排在一起，有几种排法？ （2）、两人必须排在一起，有几种排法？ （3）不在排头，不在排尾，有几种排法？ 14．已知展开式中的第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列. (1)求n的值； (2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 参考答案 1．【答案】C 【解析】直接利用分类加法原理计算，即可得答案. 【详解】根据分类加法原理计算，N=16+15=31. 故选:C. 【点睛】本题考查分类加法原理的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 2．【答案】C 【详解】根据题意，第一天值班可以安排4名职员中的任意1人，有4种排班方法， 同理第二天和第三天也有4种排班方法， 根据分步计数原理可知，不同的排班方法有种， 故选C 3．【答案】D 【详解】根据二项式展开式：，； 故当时，展开式中的系数为， 故． 故选D． 4．【答案】B 【详解】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞， 则既会跳舞又会唱歌的有人， 只会唱歌的有人，只会跳舞的有人; 若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法， 综上共有种选法. 故选B. 5．【答案】A 【详解】人中既有男生又有女生分成两种情况：个男生个女生；个男生个女生.“个男生个女生”的方法数有. “个男生个女生”的方法数有.故总的方法数有种.所以本题选A. 6．【答案】C 【分析】根据甲参加的社团分类，分甲参加的社团只有1人和参加的社团有2人，由分步和分类计数原理可得． 【详解】根据题意分析可得，必有2人参加同一社团．首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则有3种情况．再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有（种）情况；若甲是单独1个人参加一个社团，则有（种）情况．则除甲外的4人有（种）参加方法． 故不同的参加方法种数为． 故选：C． 7．【答案】ABC 【详解】A项，，正确； B项，h，e，r，o的全排列为（种），正确的有1种，故可能出现的错误共有（种），正确； C项，10个朋友，两个人握手一次，共握手（次），正确； D项，3张门票属于相同元素，故应有种分法，D不正确． 故选ABC. 8．【答案】BD 【详解】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故A错误， 令，得所有项的系数和为，故B正确， 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误， 因为展开式通项为， 当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确． 故选BD． 9．【答案】BCD　 【详解】对于A，所有可能的方法有43种，A错误． 对于B，方法一：工厂甲必须有同学去，分三种情况：第一种，若有一名同学去工厂甲，则不同的安排方法共有3×3×3＝27(种)；第二种，若有两名同学去工厂甲，则不同的安排方法共有3×3＝9(种)；第三种，若三名同学都去工厂甲，则只有1种安排方法，所以共有27＋9＋1＝37(种)不同的安排方法，B正确． 方法二：由A选项得，若不考虑限制条件，所有可能的方法有43＝64(种)，若没有人去工厂甲，则每名同学都有3种选择，共有33＝27(种)不同的安排方法，故工厂甲必须有同学去的安排方法共有64－27＝37(种)，B正确． 对于C，若同学A必须去工厂甲，则B，C两名同学各有4种选择，所以共有4×4＝16(种)不同的安排方法，C正确． 对于D，若三名同学所选工厂各不相同，则共有4×3×2＝24(种)不同的安排方法，D正确．故选BCD. 【名师点拨】当正向求解情况比较复杂时，可以利用“正难则反”的思想，求出无限制条件的所有方法数，再减去问题的反面包含的方法数，即可得到该问题的方法数． 10．【答案】 【分析】 利用二项式定理写出展开式的通项公式，根据常数项的值求得a的值，进而求得项的系数. 【详解】 解：∵二项式的展开式的通项公式为， 令，求得，可得展开式中常数项为，∴． 再令，可得，可得展开式中项为， 故答案为：． 11．【答案】39　 【详解】每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9(种)不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27(种)不同的信号．根据分类加法计数原理可知，共可组成3＋9＋27＝39(种)不同的信号． 【易错警示】求解时，易忽略信号可分为每次升1面、每次升2面、每次升3面这三类．解决此类问题一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏，分步时要注意步与步之间的连续性． 12．【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用二项式系数和为求得的值，根据二项式系数的性质，中间项系数最大，求得系数最大的项； （2）令，得；再令,即可求得. 【详解】（1）由题意，，. ，二项式展开式中共有项，所以二项式系数最大的项为第项， 即. （2）令，得. 令，得. 所以. 13．【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）将、插入到其余人所形成的个空中，因此，排法种数为； （2）将、两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他人去安排， 因此，排法种数为； （3）分以下两种情况讨论： ①若在排尾，则剩下的人全排列，故有种排法； ②若不在排尾，则有个位置可选，有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其它个位置即可，此时，共有种排法. 综上所述，共有种不同的排法种数. 14．【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）利用第二项、第三项、第四项的二项式系数为等差数列可求； （2）根据二项展开式的通项可得展开式中共有3项有理项，利用插空法和古典概型的概率计算公式可求概率. 【详解】（1）因为第二项、第三项、第四项的二项式系数分别为、、， 由题意可知：，即， 显然，整理可得， 解得或（舍去），所以． （2）由（1）可知展开式的通项为 可知展开式共8项，当为有理项，共3项， 所以由插空法可得有理项不相邻的概率． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $