精品解析：河南科技大学附属高级中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

河南科技大学附属高级中学2025-2026学年高二下学期第一次月考 数学试卷 2026.3.31 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的极小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知曲线的一条切线斜率是，则切点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 记函数导函数为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 为丰富学生在校的课余生活，某中学安排五位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 60种 C. 90种 D. 150种 6. 若函数在区间上是减函数，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ） A. B. C. D. 8. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳.（ ） A. 若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法 B. 若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法 C. 若周一不练习瑜伽，周三爬山.则共有36种不同的安排方法 D. 若瑜伽不被安排在相邻两天，则共有240种不同的安排方法 10. 若展开式的二项式系数之和为64，则该二项展开式中（ ） A. B. 所有项的系数之和64 C. 项的系数为192 D. 第4项的二项式系数最大 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 在上有两个极值点 B. 在处取得最小值 C. 在处取得极小值 D. 函数在上有三个不同的零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_________. 13. 已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围为______． 14. 某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有___________种不同的答题顺序. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：; （2）已知，求. 16. 现有10名学生，其中男生6名. （1）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （2）从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？ （3）从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？ 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恰有2个零点，求的取值范围． 18. 已知． （1）；（该问结果可保留幂的形式） （2）求的最大值； （3）求被13除余数． 19. 设函数. （1）求的值； （2）求的单调区间和极值； （3）若关于x的方程有3个不同实根，求实数a的取值范围. 20. 已知函数（）. （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个极值点，，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南科技大学附属高级中学2025-2026学年高二下学期第一次月考 数学试卷 2026.3.31 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数运算公式，即可求解. 【详解】A.，故A错误；B.，故B错误； C.，故C错误；D.，故D正确. 故选：D 2. 已知函数，则的极小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据导函数的符号判断函数单调性，即可求得函数极值. 【详解】函数，则， 所以当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. 故当时，取得极小值为. 故选：C.       3. 已知曲线的一条切线斜率是，则切点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对求导，得到，设切点横坐标为，根据切线斜率为，从而解得的值，得到答案. 【详解】因为， 所以， 设切点横坐标为， 则， 因为切线斜率为， 所以，即. 故选：D． 【点睛】本题考查导数的几何意义，根据切线的斜率求切点横坐标，属于简单题. 4. 记函数的导函数为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 对函数求导，可求出，进而求出结果. 【详解】由题意得，，∴，解得， ∴，∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了导数的运算，考查了运算能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 5. 为丰富学生在校的课余生活，某中学安排五位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 60种 C. 90种 D. 150种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分两种情况，按照分类加法计数原理结合排列组合知识计算求解即可. 详解】五位同学观看三个项目比赛，由于一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看， 根据题意，分两种情况，一种情况项目人数分别为3，1，1，另外一种情况项目人数分别为2，2，1， 所以安排方案有种. 故选：D. 6. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在上是减函数等价于在上恒成立，利用分离参数求解即可. 【详解】∵在上是减函数，所以在上恒成立，即，即， ∵，∴， 故选：C 7. 将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正三棱柱的体积，再求出导函数，根据导函数正负得出函数单调性，进而得出最大值即可. 【详解】设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则，即． 正三棱柱的体积． 当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，V取得最大值，最大值为． 故选：C. 8. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】先求的通项公式为，再求出的通项公式，结合条件列式即可得解. 【详解】在的展开式中，通项公式为， 对于，通项公式为，，，r、k， 令，可得，故，， 故项的系数为， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳.（ ） A. 若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法 B. 若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法 C. 若周一不练习瑜伽，周三爬山.则共有36种不同的安排方法 D. 若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，安排剩下的四种运动项目即可；对于B，利用间接法可求解；对于C，先排特殊的项目；对于D，先排其他四项运动，再插空可求解. 【详解】对于A，若瑜伽被安排在同一和周六，则共有种不同的安排方法，故A不正确； 对于B，若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得，不同的安排方法种数为，故B正确 对于C，若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有种不同的安排方法，故C正确； 对于D，若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有种不同的安排方法，再从5个空位里插入2个安排练习瑜伽，故共有种不同的安排方法，故D正确. 故选：BCD 10. 若展开式的二项式系数之和为64，则该二项展开式中（ ） A B. 所有项的系数之和64 C. 项的系数为192 D. 第4项的二项式系数最大 【答案】AD 【解析】 【分析】首先根据二项式系数和公式求，再根据二项式系数和系数的性质，即可求解. 【详解】由条件可知，，，故A正确； 所有项的系数和为时，，故B错误； 通项公式为， 令，的系数，故C错误； 时，最大的二项式系数为，为第4项，故D正确. 故选：AD 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 在上有两个极值点 B. 在处取得最小值 C. 在处取得极小值 D. 函数在上有三个不同的零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数可求得的单调性，结合极值可作出的图象，结合图象依次判断各个选项即可. 【详解】定义域为，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为， 当时，，，恒成立； 可作出图象如下图所示， 对于A，的极大值点为，极小值点为，A正确； 对于B，不是的最小值，B错误； 对于C，在处取得极小值，C正确； 对于D，由图象可知，有且仅有两个不同的零点，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】由二项式定理与基本不等式求解 【详解】由二项式定理得展开通项为， 令，得，故，， ，当且仅当时等号成立， 故答案为：2 13. 已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由的极小值点在区间上可得参数范围． 【详解】由已知， 或时，，时，， ∴在和上递减，在上递增， ∴是的极小值点，且, 函数在区间上有最小值，则，解得． 故答案为：． 14. 某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有___________种不同的答题顺序. 【答案】60 【解析】 【分析】首先将6只灯笼全排，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，即除以内部排序即可. 【详解】将6只灯笼全排，即， 因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定， 取谜题的方法有. 故答案为：60 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：; （2）已知，求. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）利用排列数公式求解即可； （2）利用组合数的性质求解即可. 【详解】解：（1）; (2)已知，则或 解得：或，经检验均符合. 故或. 16. 现有10名学生，其中男生6名. （1）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （2）从中选4人，若男生中甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？ （3）从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？ 【答案】（1）90 （2）28 （3）140 【解析】 【分析】（1）从男，女中各选2名，利用分步乘法计数原理求解； （2）考虑男生中的甲与女生中的乙在内，只需从其他8人中选2人即可； （3）方法一:将问题分成甲，乙只有1人被选和甲，乙两人均被选两类情况，利用分类加法计数原理求解；方法二：从10名学生中任选4名学生的方法数，再减去甲，乙均不被选的方法数即可. 【小问1详解】 选出男，女各2名的不同选法有（种）. 【小问2详解】 选4人，男生中的甲与女生中的乙都在内的选法有（种）. 【小问3详解】 方法一（直接法）： 可分成两类情况：第一类，甲，乙只有1人被选，共有种不同选法；第二类，甲，乙两人均被选，有种不同选法. 根据分类加法计数原理，男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内的选法有（种）. 方法二（间接法）： 先不考虑要求，从10名学生中任选4名学生，共有种选法，而甲，乙均不被选的方法有种选法， 所以甲，乙至少有1人被选上的选法有210（种）. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恰有2个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出时的导数，然后利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求得，根据的符号讨论出函数的单调性，若在上恰有2个零点，则必须满足，解不等式可得结果. 【小问1详解】 当，则，， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为，因此曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ，，， 当时，，，此时在上单调递增； 当时，，，此时在上单调递减； 因此，若在上恰有2个零点， 则必须满足：，解得：， 所以实数a的取值范围为. 18. 已知． （1）；（该问结果可保留幂的形式） （2）求的最大值； （3）求被13除余数． 【答案】（1）6305 （2）1792 （3） 【解析】 【分析】（1）分别令，，即可得解； （2）根据求出展开式的通项，再利用不等式法求解即可； （3），再根据二项式定理即可得解. 【小问1详解】 令，则， 令，则， 所以； 【小问2详解】 ， 故展开式得通项为，， ∴，，， 令， 解得， ∴的最大值为； 【小问3详解】 ∵ ， 令， 则， ∴被除的余数为. 【点睛】结论点睛：一般地，若. （1）； （2）展开式各项系数和为； （3）奇数项系数之和为； （4）偶数项系数之和为. 19. 设函数. （1）求的值； （2）求的单调区间和极值； （3）若关于x的方程有3个不同实根，求实数a的取值范围. 【答案】（1）6；（2）单调递增区间是，，单调递减区间是；极大值，极小值 ；（3）. 【解析】 【分析】 （1）求出后可求的值. （2）讨论的符号后可求的单调区间和极值. （3）令，根据极值的符号可求实数a的取值范围. 【详解】（1）因为，故. （2） 令得, 当或时，； 当时，； ∴函数的单调递增区间是，，单调递减区间是. 当，极大值为， 当，极小值为 . （3）令，则， 由（2）可得的极大值为，极小值为， 因为有三个不同的根，故， 解得. ∴当时直线与的图象有3个不同交点. 【点睛】关键点点睛：三次函数的零点问题，可先利用导数研究函数的极值，再根据零点的个数判断出极值的正负，从而得到参数的取值范围. 20. 已知函数（）. （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个极值点，，求实数a的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间是，无单调递减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，构研究导函数符号确定的单调区间； （2）构造函数，将原问题进行等价转化，利用导数求最值，根据题意求出的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 则. 令，则. 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增. 故的单调递增区间是，无单调递减区间. 【小问2详解】 因为（），定义域为， 所以. 若有两个极值点，，则方程有两个根，， 所以方程有两个根，， 即函数的图象与直线有两个交点. 故， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以. 又因为当时，，， 所以当时，，当时，. 要使函数的图象与直线有两个交点，则，解得， 即实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $