精品解析：2026年广西壮族自治区钦州市初中学科素养第二次测试数学

2026年钦州市初中学科素养第二次测试 数学 （考试时间：120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．） 1. 下列各数中，是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查有理数的判断，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别． 根据无理数与有理数的定义即可判断． 【详解】解：A． 是无理数；     B． 为无理数； C． 为无理数；     D．为有理数； 故选：D． 2. 2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定． 根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，根据定义求解即可． 【详解】解：A 、B、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 4. 若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠2 B. x＞2 C. x≥2 D. x≥﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】若要有意义，即x-2≥0，求解即可． 【详解】若有意义 令x-2≥0 ∴x≥2． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，在二次根式中，要求字母a必须满足条件，即被开方数是非负的，所以当a≥0时，二次根式有意义，当a＜0时，二次根式无意义． 5. 如图，，两点被池塘隔开，过点，分别作直线，相交于点，点，分别是线段，的中点，现测得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线，根据题意得到是的中位线，得到，计算即可． 【详解】解：点，分别是线段，的中点， 是的中位线， ． 故选：． 6. 若， 面积比为， 则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形对应边之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方 根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】， 面积比为， ∴与的相似比是， ∵相似三角形的周长之比等于相似比， ∴与的周长比为． 故选：B． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的运算对应法则分别计算每个选项，判断正误即可． 【详解】解：A. ，该选项正确，符合题意； B. ，该选项错误，不符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 8. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 二次函数图象的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式的对称轴为直线，即可直接得出结果． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线． 10. 一元二次方程的根的情况（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 11. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，最大深度，则球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，设球的半径为，利用垂径定理得到，再根据勾股定理列出关于的方程，求解得到半径． 【详解】解：连接，设球的半径为，则， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴， 解得 12. 如图，直线，正六边形的顶点，分别在直线，上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用正六边形外角的性质直接求出和的度数，再通过三角形内角和定理求，最后结合平行线的性质与三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：延长交直线于点，延长交于点， ∵正六边形的外角和为， ∴每个外角的度数为， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若分式有意义，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不等于零，即可求解． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 14. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解—公式法的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】． 故答案为：． 15. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积． 详解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥； 根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm， 故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π（cm2）． 故答案为16π． 点睛：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 16. 如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，， ．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与几何概率的综合应用，解题核心是利用平行四边形的性质，结合线段比例关系，求出与平行四边形的面积比，即为所求概率． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， 和同高， ， ， 点落在内的概率是． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算与解不等式： （1）计算： （2）解不等式： 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ， ． 18. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动．为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下未完成的统计表． 体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操 人数 6 12 9 8 5 （1）表格中的值为_____________； （2）若该校有1000名学生，请估计该校参加乒乓球活动的学生人数； （3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由． 【答案】（1）10 （2）180人 （3）选择乙，理由见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据种体育活动的总人数为人，可得的值； （2）用总人数乘以样本中乒乓球人数所占比例即可； （3）根据折线统计图的变化趋势解答即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校参加乒乓球活动的学生人数约为180人； 【小问3详解】 解：选择乙，理由： 从折线统计图可以发现，随着周数的增加，乙同学投篮的命中次数也在增加，且最后命中次数稳定在．（答案不唯一）． 19. 如图，是的外接圆，在中，，延长至点，使．过点作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求证； （2）根据勾股定理可得， 再证明，从而得到， 进而得到，可得到，即可解答． 【小问1详解】 解：连接， 是中点，是中点， 是的中位线， ， ． ， ， ， ． 是半径， 为的切线． 【小问2详解】 解：在中，根据勾股定理，得：， 由（1）得， ． ， ． 在中，， ， ，即， ∴， ， 的半径为3． 20. 为培养学生的阅读能力，某校购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，分别花费10500元和4500元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多50本． （1）求该校购买的《红楼梦》和《西游记》的单价； （2）某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《西游记》的数量不超过《红楼梦》数量的2倍，这个班应怎样订购，才使得订购费用最低？ 【答案】（1）该校购买的《西游记》的单价为30元，《红楼梦》的单价为105元 （2）这个班应订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，才使得订购费用最低 【解析】 【分析】（1）设该校购买《西游记》的单价为元，根据“分别花费10500元和4500元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多50本”列分式方程求解即可； （2）设这个班订购本《红楼梦》，订购总费用为元，求出的函数解析式，进而求出的取值范围，根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设该校购买《西游记》的单价为元， ， 解得， 检验：时，， 是原分式方程的解， ， 答：该校购买的《西游记》的单价为30元，《红楼梦》的单价为105元； 【小问2详解】 解：设这个班订购本《红楼梦》，订购总费用为元， ， 根据题意得， 解得， 为正整数， 的最小值是4， 是关于的一次函数，且， 随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 此时， 答：这个班应订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，才使得订购费用最低． 21. 综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的左视图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为．（，，，，，） （1）求的度数； （2）为保证小桌板结构稳定，小桌板能放置物体的最大质量为，是支架的承受力，且与满足，其中是物体的质量，．求支架承受力的最大值； （3）图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点，点到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，求的最大高度？ 【答案】（1） （2）支架能承受的最大力约为 （3）在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是 【解析】 【分析】（1）延长交于点D，则，即可解答； （2）根据题意得是关于的正比例函数，且随增大而增大，即可解答； （3）过点作，过点作交于点，过点作交于点，则，则四边形是矩形， 然后在和中，利用锐角三角函数解答即可． 【小问1详解】 解：延长交于点D，则， ， ． 【小问2详解】 解：，且为定值， 是关于的正比例函数，且随增大而增大， ∴当时，最大． 将、、代入，得：， ∴支架能承受的最大力约为． 【小问3详解】 解：过点作，过点作交于点，过点作交于点，则， ∴四边形是矩形， ，， ， ， 中， ， ， ， （）， ， （）， ， ， ∴在中， ， ， 即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是 ． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线为（为常数，）． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线向上平移2个单位后与轴交于，两点，求的长； （3）当（）时，的最大值与最小值之差为5，求的取值范围． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线解析式，通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得出顶点坐标． （2）根据平移规律得到平移后的抛物线解析式，令求出与轴的交点坐标，再计算两点间的距离． （3）先确定抛物线的对称轴与开口方向，再根据自变量的取值范围（），分析函数在该区间内的最大值与最小值，根据最大值与最小值之差为5列方程求解，最后结合的取值范围确定的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，抛物线为． ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线向上平移2个单位后为， 令，即， ， ， 解得或， ∴抛物线与轴的交点分别为，， ； 【小问3详解】 解：， ∴对称轴为直线， ， ∴抛物线开口向上， ，， ∴当时，取到最小值为， 当时，取到最大值，最大值为， 的最大值与最小值之差为5， ， 化简得：，即， ， ， ， ， ． 23. 在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且点不在直线上，过点作，交直线于点． （1）如图1，若点与点重合，，求证：； （2）如图2，点，都在的延长线上，连接． ①尺规作图：线段上取点，使；（保留作图痕迹，不写作法） ②证明：； （3）在（2）的情况下，判断与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先利用已知角度推出为等腰直角三角形，再结合旋转的性质得到线段与角的等量关系，通过证明四边形为平行四边形，推导出与相等． （2）①根据全等三角形的对应边相等，在上截取线段，使，完成尺规作图． ②结合旋转的性质得到、，再利用等腰三角形的性质推出，最后通过证明 ． （3）先由等腰三角形的性质推出 ，再结合平行线的性质与三角形内角和定理证明，最后利用全等三角形的性质得到，进而推导出与的数量关系． 【小问1详解】 证明：，， ， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ； 【小问2详解】 ①解：如图，在上取一点，使得． ②证明：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，理由如下： ，， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年钦州市初中学科素养第二次测试 数学 （考试时间：120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．） 1. 下列各数中，是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠2 B. x＞2 C. x≥2 D. x≥﹣2 5. 如图，，两点被池塘隔开，过点，分别作直线，相交于点，点，分别是线段，的中点，现测得，则（ ） A. B. C. D. 6. 若， 面积比为， 则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数图象的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 10. 一元二次方程的根的情况（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 11. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，最大深度，则球的半径为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，直线，正六边形的顶点，分别在直线，上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若分式有意义，则a的取值范围是______． 14. 分解因式：________． 15. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为__________． 16. 如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，， ．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是_____________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算与解不等式： （1）计算： （2）解不等式： 18. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动．为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下未完成的统计表． 体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操 人数 6 12 9 8 5 （1）表格中的值为_____________； （2）若该校有1000名学生，请估计该校参加乒乓球活动的学生人数； （3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由． 19. 如图，是的外接圆，在中，，延长至点，使．过点作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 20. 为培养学生的阅读能力，某校购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，分别花费10500元和4500元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多50本． （1）求该校购买的《红楼梦》和《西游记》的单价； （2）某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《西游记》的数量不超过《红楼梦》数量的2倍，这个班应怎样订购，才使得订购费用最低？ 21. 综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的左视图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为．（，，，，，） （1）求的度数； （2）为保证小桌板结构稳定，小桌板能放置物体的最大质量为，是支架的承受力，且与满足，其中是物体的质量，．求支架承受力的最大值； （3）图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点，点到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，求的最大高度？ 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线为（为常数，）． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线向上平移2个单位后与轴交于，两点，求的长； （3）当（）时，的最大值与最小值之差为5，求的取值范围． 23. 在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且点不在直线上，过点作，交直线于点． （1）如图1，若点与点重合，，求证：； （2）如图2，点，都在的延长线上，连接． ①尺规作图：线段上取点，使；（保留作图痕迹，不写作法） ②证明：； （3）在（2）的情况下，判断与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $