马尔可夫链与概率递推教学设计-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习教案聚焦马尔可夫链与概率递推专题，整合全概率公式、递推数列、概率计算等核心考点，构建“组合—概率—递推”三维模型，通过真题解析（2023、2025新课标卷）、方法归纳、变式训练等环节，帮助学生突破递推关系建立与求解难点，体现复习的系统性和针对性。 教案采用“试题评析—模型提炼—变式拓展”教学流程，以状态转移图直观呈现马尔可夫性质，通过分步引导例2证明培养逻辑推理能力，设置分层作业（基础巩固、能力提升、建模实践）保障复习效果，助力学生提升数学建模与运算素养，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

《马尔可夫链与概率递推》课堂学案 一、学习目标 1. 理解马尔可夫链的“无记忆性”及其在概率问题中的应用。 1. 掌握利用全概率公式建立递推关系的方法。 1. 能通过构造等比数列求解递推概率模型。 1. 能识别马尔可夫链类问题并运用“组合—概率—递推”模型解决。 二、马尔可夫链核心概念 马尔可夫性质（无记忆性）： 即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。 解题模型（四步法）： 步骤 名称 核心操作 理解题意 明确状态空间，确定初始状态，画出状态转移图 2 建立递推 利用全概率公式建立相邻状态递推关系 3 求解递推 构造等比数列，求解通项公式 4 回答问题 根据通项公式计算概率或期望 三、课堂例题 例1（2023年新课标I卷第21题） 甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5。 （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第 次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，，则 ，记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 。 例2（2025年新课标Ⅱ卷第19题） 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，，且各球的胜负相互独立。对正整数 ，记 为打完 个球后甲比乙至少多得2分的概率， 为打完 个球后乙比甲至少多得2分的概率。 （1）求 ； （2）若 ，求 ； （3）证明：对任意正整数 ，。 例3 已知系统中每个元件正常工作的概率都是 ，各个元件正常工作时间相互独立。如果系统中有多于一半的元件正常工作，那么系统就正常工作。系统正常工作的概率称为系统的可靠性。 （1）某系统配置有 个元件， 为正整数，求系统正常工作的概率 ； （2）为改善系统（1）中的性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性。 例4（传球问题） 甲、乙、丙三人传球，球从甲手中开始，每次传球随机传给另外两人中的一人。求第 次传球后球在甲手中的概率。 四、巩固练习（课堂或课后） 练习1（基础巩固） 在例1中，若第一次投篮的人是甲的概率为1，求第 次投篮的人是甲的概率。 练习2（能力提升） 1、 乙两人进行比赛，每局甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 。比赛采用“五局三胜”制，求甲最终获胜的概率。（提示：用状态转移图分析比分状态） 练习3（建模实践） 寻找生活中的一个马尔可夫链实例（如天气预报、股票涨跌、传染病传播等），尝试建立概率模型并求解，撰写一篇数学建模小论文。 五、课堂小结 1. 你学到了哪些知识？ 1. 你学到了哪些数学思想方法？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 《马尔可夫链与概率递推》高三复习课教学设计 一、教材分析 马尔可夫链是随机过程中具有“无记忆性”的离散随机变量序列，近年来频频出现在高考概率与统计压轴题中。2023年新课标I卷第21题和2025年新课标Ⅱ卷第19题均以马尔可夫链为背景，融合了概率、数列、递推关系等知识，综合性强，难度大。这类问题要求学生能够熟练运用全概率公式建立递推关系，通过构造等比数列求解概率，体现了“概率+数列”的跨模块综合能力。本节课通过对两道高考真题的深入剖析，帮助学生掌握马尔可夫链问题的基本模型和解题方法，提升逻辑推理和数学建模素养。 二、学情分析 授课对象为高三学生，他们已经学习了条件概率、全概率公式、递推数列等知识，具备一定的概率计算和数列求解能力。但在解决马尔可夫链类问题时，学生常常存在以下困难：无法准确理解题意，找不到“初始状态”和“递推关系”；建立递推关系时容易遗漏情况；对递推数列的求解方法不够熟练；对于复杂递推关系的证明无从下手。因此，本节课通过对两道高考真题的系统讲解，帮助学生构建“组合—概率—递推”三维模型，掌握马尔可夫链问题的解题方法。 三、本节渗透的数学思想及教学方法分析 本节贯彻“试题评析—背景溯源—方法归纳”的教学思路，教师引导，学生主动探究为主体的教学思想。 1. 模型思想：将实际问题抽象为马尔可夫链模型，建立状态转移关系。 1. 转化与化归思想：将复杂概率问题转化为递推数列问题。 1. 递推思想：通过全概率公式建立相邻状态之间的递推关系。 1. 构造思想：通过构造等比数列求解递推关系。 1. 分类讨论思想：在建立递推关系时对不同的情况进行分类讨论。 1. 数形结合思想：通过状态转移图直观理解马尔可夫链的无记忆性。 1. 教学方法：采用“试题解析—模型提炼—变式拓展”的教学流程，通过高考真题的深度剖析，引导学生掌握马尔可夫链问题的解题通法。 四、核心素养目标 数学抽象：能从实际问题中抽象出马尔可夫链模型，理解“无记忆性”的本质。 逻辑推理：能利用全概率公式建立递推关系，能通过构造等比数列求解概率。 数学建模：能将投篮、比赛等实际问题建模为马尔可夫链模型。 数学运算：能熟练进行概率计算、递推数列求解、组合数运算。 数据分析：能从问题中提取关键信息，建立状态转移关系。 五、教学重、难点 教学重点： 1. 利用全概率公式建立递推关系的方法。 1. 通过构造等比数列求解递推关系。 1. 马尔可夫链模型的状态转移分析。 教学难点： 1. 第（3）问中递推关系的建立与证明。 1. 概率与数列的综合应用。 1. “组合—概率—递推”三维模型的构建。 六、学法分析 1. 自主探究：学生尝试独立解题，感受马尔可夫链问题的特点。 1. 合作交流：在递推关系建立环节，小组讨论、互相启发。 1. 模型建构：通过两道高考真题的对比，建构马尔可夫链问题的解题模型。 1. 背景溯源：了解马尔可夫链的数学背景，深化对问题本质的理解。 1. 变式训练：通过传球问题等变式练习，巩固所学方法。 七、教学过程 【新课引入】 情境创设：同学们，你们是否想过这样一个问题：在投篮比赛中，如果规则是“命中则继续投，未命中则换人”，那么第n次投篮的人是甲的概率是多少？这类问题看似复杂，但背后隐藏着一个重要的数学模型——马尔可夫链。今天，我们就来探究马尔可夫链概率问题的解题方法。 设计意图：通过生活化情境引入，激发学生兴趣，明确本节课的学习目标。 1 马尔可夫链概念引入 问题：什么是马尔可夫链？它有什么特征？ 状态转移图展示： 教师展示状态转移图（如图1），直观呈现甲、乙两种状态之间的转移关系。 马尔可夫链的定义： 马尔可夫链（Markov Chain）由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。它是随机过程中马尔可夫过程的离散情况，是一组具有马尔可夫性质的离散型随机变量的集合。 马尔可夫性质（无记忆性）： 即“未来”的状态与“过去”所有的状态都无关，仅与“现在”有关。从状态转移图可以直观看出：要预测下一次谁投篮，只需要知道当前是谁在投，与之前的历史无关。 高中阶段的要求：熟练运用全概率公式与递推数列进行综合分析，找到目标的“初始状态”和“递推关系”。 设计意图：通过状态转移图的直观展示，帮助学生理解马尔可夫链“无记忆性”的本质，为后续解题奠定基础。 2 试题呈现与解析 例1（2023年新课标I卷第21题） 甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5。 （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，则，记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求。 解析： 记“第次投篮人是甲”为事件，“第次投篮人是乙”为事件。 （1）求： 由题意，，。 若第1次是甲投（），则第2次是乙投当且仅当甲未命中，概率为，即。 若第1次是乙投（），则第2次是乙投当且仅当乙命中，概率为，即。 所以 故第2次投篮的人是乙的概率为。 （2）求第次投篮的人是甲的概率： 设，则。 由全概率公式： · 若第次是甲投（），则第次是甲投当且仅当甲命中，概率为，即。 · 若第次是乙投（），则第次是甲投当且仅当乙未命中，概率为，即。 所以 构造等比数列，设。 由，得 所以 又 因此是以为首项、为公比的等比数列，即 所以 故第次投篮的人是甲的概率为。 （3）求： 由题意，，其中服从两点分布，，。 所以 由（2）得 等比数列求和： 所以 故前次中甲投篮的次数的期望为 设计意图：通过例1的系统讲解，展示马尔可夫链问题中“全概率公式建立递推→构造等比数列求解”的标准流程。 例2（2025年新课标Ⅱ卷第19题） 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为，，且各球的胜负相互独立。对正整数，记为打完个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完个球后乙比甲至少多得2分的概率。 （1）求； （2）若，求； （3）证明：对任意正整数，。 解析： （1）求： 打完3个球后甲比乙至少多得2分，即甲得3分、乙得0分（甲比乙多3分），或甲得2分、乙得1分（甲比乙多1分，不符合至少多得2分）。因此只有甲全胜的情况： 打完4个球后甲比乙至少多得2分，可能的情况： · 甲得4分、乙得0分：概率； · 甲得3分、乙得1分：概率。 所以 故 （2）求： 由（1）得 同理，将与互换可得 所以 由已知 所以（因）。又，解得 故。 （3）证明： 【分步引导】 本问难度较大，我们分步推导。 第一步：建立与的关系 为奇数，为偶数。打完个球后，甲比乙多得分数为偶数。 由两部分构成： 1. 打完个球后甲比乙多得2分（概率为），则第球必须甲赢（概率），才能保持至少多得2分； 1. 打完个球后甲比乙多得分数大于等于4分（概率为），则第球无论谁赢都满足条件（概率1）。 因此 整理得 因为，所以 于是 第二步：对称地建立与的关系 由对称性，将与互换，得 于是 第三步：证明左边不等式 该不等式等价于证明。 由（1）和（2）： 因为，所以，故 因此 第四步：建立与的关系 为偶数，为奇数。打完个球后，甲比乙多得分数为奇数。 由两部分构成： 1. 打完个球后甲比乙多得1分（概率为），则第球必须甲赢（概率）； 1. 打完个球后甲比乙多得分数大于等于3分（概率为），则第球无论谁赢都满足条件（概率1）。 因此 于是 第五步：建立与的关系 由对称性，得 第六步：证明右边不等式 该不等式等价于证明。 利用（1）和（3）： 由（1）得； 由（3）得。 所以 同理 两式相减，提取公因式： 故 即 第七步：综合结论 由第六步和第三步，对任意正整数，有 设计意图：通过例2的系统讲解，分步展示复杂的递推关系建立与证明过程，降低学习难度，提升学生的逻辑推理能力。 3 试题背景与溯源 问题：马尔可夫链问题的命题源头是什么？还有哪些类似问题？ 马尔可夫链的定义回顾： 马尔可夫链（Markov Chain）由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。它是随机过程中马尔可夫过程的离散情况，是一组具有马尔可夫性质的离散型随机变量的集合。 马尔可夫性质（无记忆性）： 高中阶段的要求：熟练运用全概率公式与递推数列进行综合分析，找到目标的“初始状态”和“递推关系”。 设计意图：揭示马尔可夫链的数学背景，帮助学生理解问题的本质。 例3（2012年清华大学自主招生第13题）—— 变式训练 已知系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件正常工作时间相互独立。如果系统中有多于一半的元件正常工作，那么系统就正常工作。系统正常工作的概率称为系统的可靠性。 （1）某系统配置有个元件，为正整数，求系统正常工作的概率； （2）为改善系统（1）中的性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性。 解析： （1）求： 由二项分布，系统正常工作的概率为 （2）讨论增加两个元件后的可靠性： 下面探讨从个元件增加到个元件时，正常工作的概率之间的关系。 个元件在增加2个元件后正常工作的情况可以按原来的个元件与新增的2个元件的工作情况进行分类： 第一类：个元件中至少有个元件正常工作； 第二类：个元件中有个正常工作，且新增的2个元件中至少有一个正常工作； 第三类：个元件中有个正常工作，且新增的2个元件均正常工作。 因此 化简得 所以： 当时，可靠性增加； 当时，可靠性减小； 当时，可靠性不变。 设计意图：通过自主招生试题的解析，展示马尔可夫链问题的多种形式，加深学生对模型的理解，同时作为变式训练巩固所学方法。 例4（传球问题）—— 补充变式训练 甲、乙、丙三人传球，球从甲手中开始，每次传球随机传给另外两人中的一人。求第次传球后球在甲手中的概率。 解析： 设第次传球后球在甲手中的概率为。 由全概率公式： 因为球在乙或丙手中时，下次传给甲的概率均为。 整理得 构造等比数列： 又（第一次传球前球在甲手中），。 所以 设计意图：通过传球问题这一经典马尔可夫链例题，让学生当堂练习，巩固“全概率公式建立递推→构造等比数列求解”的方法。 4 方法归纳 马尔可夫链概率问题的解题模型： 步骤 名称 核心操作 第一步 理解题意 明确状态空间，确定“初始状态”，画出状态转移图 第二步 建立递推 利用全概率公式建立相邻状态之间的递推关系 第三步 求解递推 构造等比数列，求解通项公式 第四步 回答问题 根据通项公式计算概率或期望 “组合—概率—递推”三维模型： · 组合：用组合数表示特定状态的概率（如例2中的）； · 概率：用全概率公式建立状态转移关系； · 递推：转化为数列问题，构造等比数列求解。 马尔可夫链问题的识别特征： · 问题描述的是一个随时间（或步数）变化的过程； · 下一状态的概率只依赖于当前状态，与过去状态无关（无记忆性）； · 通常需要建立递推关系求解第步的概率。 设计意图：系统总结马尔可夫链问题的解题模型，帮助学生形成结构化知识体系。 【课堂小结】 1. 你学到了哪些知识？ 马尔可夫链的基本概念（无记忆性）。 利用全概率公式建立递推关系的方法。 构造等比数列求解递推关系的技巧。 “组合—概率—递推”三维模型。 1. 你学到了哪些数学思想方法？ 模型思想、转化与化归、递推思想、构造思想、分类讨论、数形结合。 设计意图：提高学生归纳概括能力，强化对数学思想方法的认识。 【课后作业】 作业1（基础巩固）：在例1中，若第一次投篮的人是甲的概率为1，求第次投篮的人是甲的概率。 作业2（能力提升）：甲、乙两人进行比赛，每局甲胜的概率为，乙胜的概率为。比赛采用“五局三胜”制，求甲最终获胜的概率。（提示：用状态转移图分析比分状态） 作业3（建模实践）：寻找生活中的一个马尔可夫链实例（如天气预报、股票涨跌、传染病传播等），尝试建立概率模型并求解，撰写一篇数学建模小论文。 设计意图：分层布置作业，基础巩固题面向全体学生，能力提升题面向学有余力的学生，建模实践题培养学生的数学建模素养和创新意识。 八、板书设计 马尔可夫链与概率递推 核心结论 状态转移图 马尔可夫性质 甲←→乙 转移概率标注 无记忆性 解题模型 解题四步法 ①理解题意（状态空间） ①理解题意 ②建立递推（全概率公式） ②建立递推 ③求解递推（构造等比） ③求解递推 ④回答问题 ④回答问题 学科网（北京）股份有限公司 $