三角形角平分线的最值问题教学设计-2026届高三数学二轮复习

《三角形角平分线的最值问题》高三复习课学案 课标要求 1. 掌握三角形面积、向量、三角恒等变形相关知识，能推导角平分线关系式。 1. 会利用基本不等式（乘1法）解决角平分线背景下最值问题。 1. 提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算素养。 学习目标 1. 掌握面积法、向量法推导角平分线与边长的倒数关系。 1. 熟练运用乘1法求角平分线背景下线性式最值。 1. 理解内角、外角平分线统一模型，会从特殊角迁移到一般角。 【知识梳理】 一、核心知识框架梳理 1. 基本概念 三角形内角平分线：平分内角、分对边成比例。 三角形外角平分线：平分外角、分对边延长线成比例。 倒数关系模型：角平分线与两边长满足倒数和/差等式。 1. 关键公式 三角形面积： 向量共线： 基本不等式： 1. 常见模型 内角平分线： 内角平分线： 内角平分线： 1. 重要思想 转化与化归：几何关系→代数等式 特殊到一般：从推广到 类比思想：内角→外角模型迁移 方程函数：倒数等式→最值问题 二、解题思路步骤 1. 建关系：用面积法或向量法，推导角平分线与两边长倒数等式。 1. 凑目标：用乘1法，将目标式乘倒数和/差。 1. 求最值：用基本不等式求最值，验证等号条件。 【典型例题】 例1（2018年高考数学江苏卷第13题） 在中，角所对应的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为___________。 变式1 在中，角所对应的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为_________。 变式2 在中，，的平分线交于点，已知（常量），设，，则的最大值为________。 变式3 在中，角所对应的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为_____________。 变式4 在中，角所对应的边分别为，，的外角平分线交的延长线于点，且，则的最大值为_________（）。 【课堂总结】 1. 内角平分线模型： 1. 外角平分线模型： 1. 解题通法：面积/向量建关系→乘1法→基本不等式。 学科网（北京）股份有限公司 $ 《三角形角平分线的最值问题》教学设计 一、教材分析 三角形角平分线问题是解三角形中的经典问题，综合了面积公式、向量共线、基本不等式、三角函数等知识。本节课以2018年高考数学江苏卷第13题为切入点，通过“一题一课”的教学形式，以“基本模型构建—变式探究—类比拓展”为路径，挖掘三角形中一个内角及其两边、这个角的角平分线（或外角平分线）的本质联系，得到四个量的关系式，再利用该关系式解决最值问题。通过对一道题的深入探究，引导学生从特殊到一般，运用归纳、类比的方法，提升逻辑推理能力。 二、学情分析 授课对象为高三学生，他们已经学习了三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理、向量共线的充要条件、基本不等式等知识，具备一定的代数运算和几何推理能力。在解决三角形角平分线问题时，学生常常存在以下困难：不知如何建立角平分线与两边长的等量关系；面对最值问题时，不知如何选择合适的方法（面积法、向量法、正弦定理等）；从特殊角推广到一般角时，缺乏类比归纳的能力。因此，本节课通过“一题一课”的深度探究，以问题链驱动，引导学生经历从特殊到一般的思维过程，构建角平分线的关系模型。 三、本节渗透的数学思想及教学方法分析 本节贯彻“一题一课”教学理念，以高考题为素材，通过“解法探究—问题驱动—类比拓展”的路径，教师引导，学生主动探究为主体的教学思想。 1. 转化与化归思想：将角平分线的长度关系转化为面积关系或向量共线关系。 1. 特殊与一般思想：从120°角平分线的特殊模型推广到一般角的角平分线模型。 1. 类比思想：通过内角平分线与外角平分线的类比，发现两类模型的联系与区别。 1. 方程与函数思想：将几何问题转化为代数条件，利用基本不等式求最值。 1. 教学方法：采用“一题一课”模式，以问题链驱动，通过“解法探究—变式追问—类比拓展”的教学流程，引导学生深度参与。 四、核心素养目标 数学抽象：能从具体问题中抽象出角平分线长与两边长的关系模型。 逻辑推理：能运用面积法、向量法推导角平分线长公式，能通过类比推理从内角平分线推广到外角平分线。 数学建模：能将三角形中的最值问题建模为基本不等式问题。 直观想象：借助图形理解角平分线的几何意义。 数学运算：能熟练运用基本不等式、三角函数恒等变形进行最值计算。 五、教学重、难点 教学重点： 1. 角平分线长与两边长等量关系的建立（面积法、向量法）。 1. 利用基本不等式求二元一次式的最值（“乘1法”）。 1. 从特殊到一般，构建一般角平分线的关系模型。 教学难点： 1. 向量法推导角平分线关系时，系数和为1的运用。 1. 一般角平分线模型的推导（涉及的处理）。 1. 外角平分线关系模型的类比推导。 六、学法分析 1. 解法探究：学生独立尝试解决例1，体验多种解法（面积法、向量法），感受不同方法的本质联系。 1. 问题驱动：通过变式1、2、3的层层追问，引导学生从特殊到一般，构建模型。 1. 类比拓展：通过问题4的探究，类比内角平分线模型，推导外角平分线模型。 1. 归纳总结：自主梳理角平分线关系模型，形成系统化的解题体系。 七、教学过程 1 解法探究，揭示本质 例1（2018年高考数学江苏卷第13题） 在△ABC中，角所对应的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为___________。 解法1（面积法）： 易知 因为，其平分线将角分为两个角，所以 代入，，两边乘以得 则 由于，所以。 于是 当且仅当，即，时取等号，此时。 所以的最小值为。 解法2（向量法）： 如图，过作两个邻边的平行线，分别交于点。 因为，，所以 又，，且，所以 由三点共线，可知。 所以 故的最小值为。 点评：解法1利用面积关系建立等量关系。解法2利用共线向量的充要条件（系数和为1）建立两个邻边与角平分线之间的数量关系。两种解法的数学本质相同，都是寻找两个邻边与角平分线这三条线段之间满足的等量关系。 设计意图：通过两种解法的对比，揭示角平分线问题中“面积法”和“向量法”的本质联系，为后续模型构建打下基础。 2 问题驱动，构建模型 问题1：如果△ABC的角平分线长度发生改变，那么与这个角的两边的关系式是否改变？例1中的方法是否还适用？ 变式1：在△ABC中，角所对应的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为_________。 解：由面积法或向量法，可得的关系式为 进一步变形得 对于角的平分线与其两个邻边，它们满足奇妙的三倒数关系。 于是 故的最小值为。 设计意图：引导学生利用三倒数关系，通过“乘1法”构造互倒关系求最值，形成通法。 问题2：对于角平分线模型（三线关系），从方程角度看，三个量中，任知其二，可求其一；从函数角度看，三个量中，任知其一，可求另外两个量之间的对应关系。那么，可否变化设元的对象，以一条边长和角平分线长作元（另一边已知）？ 变式2：在△ABC中，，的平分线交于点，已知（为常量），设，，则的最大值为________。 解：利用变式1的结论有 变形得 即 于是 故的最大值为。 点评：由于未知二元的倒数“差”为定值，所以目标式也相应变为“差”的结构。目标式的“和”结构有最小值，目标式的“差”结构则有最大值。 设计意图：引导学生从“和”结构迁移到“差”结构，感受条件与目标的相关性。 问题3：可否建立一般角的平分线的关系模型？考虑角由特殊变到一般，一般角（不妨设角为）的平分线与两个邻边又有怎样的关系？ 变式3：在△ABC中，角所对应的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为_____________。 解法1（面积法）： 由面积关系： 即 因为，两边乘以得： 整理得 于是 故的最小值为。 解法2（向量法）： 如图2，由已知，所以 又，，且。 由共线可得系数和为1，即 化简整理得 下同解法1。 一般角平分线的关系模型： 特殊化结论： · 当时（即角为120°），； · 当时（即角为90°），； · 当时（即角为60°），。 设计意图：从特殊到一般，建立一般角平分线的关系模型，归纳出统一公式，培养学生归纳推理能力。 3 类比拓展，提升素养 问题4：完善“角平分线关系模型”，类比拓展，三角形外角平分线长与两个邻边长满足怎样的关系？ 变式4：在△ABC中，角所对应的边分别为，，的外角平分线交的延长线于点，且，则的最大值为_________。（不妨设） 解： 如图，作的平分线交于点。设，易知 由面积关系，得 因为，且，代入得： 整理得 于是 故的最大值为。 点评： 内角平分线结论：（两边的夹角为，是内角平分线的长）； 外角平分线结论：（两边的夹角为，其中，是外角平分线的长）。 两个结论的共同点是三条线段长都在倒数关系中，不同点是内角平分线对应邻边长的倒数和，外角平分线对应邻边长的倒数差，且前者对应角的余弦，后者对应角的正弦。两个结论之间具有对称和谐之美。 当时，，整理得，此时符合120°角平分线的情况，说明内外角平分线关系在一定条件下可以相互转化。 设计意图：通过类比推理，从内角平分线迁移到外角平分线，培养学生的逻辑推理和类比迁移能力，感受数学的对称之美。 【课堂小结】 1. 你学到了哪些知识？ 角平分线长与两边长的关系模型（内角平分线、外角平分线）。 利用“乘1法”求二元一次式最值的方法。 从特殊到一般的归纳推理方法。 1. 你学到了哪些数学思想方法？ 转化与化归、特殊与一般、类比思想、方程与函数思想。 设计意图：提高学生归纳概括能力，强化对数学思想方法的认识。 八、板书设计 三角形角平分线的最值问题 学生展示区 核心结论 例1（2018江苏卷13题） 解法1：面积法→ 内角平分线模型 解法2：向量法→ 求的最小值 答案： 变式1： 外角平分线模型 模型构建 最小值： （三倒数关系） 变式2：最大值： 变式3：一般角 特殊化 最小值： ： 变式4：外角平分线 ： 最大值： ： 学科网（北京）股份有限公司 $