7.1.2 全概率公式-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

第七章随机变量及其分布 7.1.2 全概率公式 【素养要求】通过学习及运用全概率公式，发展数学抽象及数学运算素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)全概率公式 对任意的事件B二2，P(B)>0,有P(A:|B) 一般地，设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事 P(A)P(BA:2=P(A,)P(BA）,=1,2, P(B) 件，A1UA2U…UAm=2,且P(A;)>0,i=1, P(A:)P(BIA:) 2,…,n,则对任意的事件B二2，有P(B)= …,n. P(A)P(BIA). [即学即练] 一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正 [即学即练] 确答案选出来.某考生知道正确答案的概率为 设袋中共有10个球，其中2个红球，其余为白： 3,在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他 球，两人分别从袋中任取一球，则第二人取得红： 答对了，则他确实知道正确答案的概率是( 球的概率为 .(第一人取出的球不放回) (二)贝叶斯公式* A.3 1 R号 设A1,A2,…,A,是一组两两互斥的事件，AU A2U小…UAn=2,且P(A:)>0,i=1,2,…,n,则 C.4 D. 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一全概率公式的简单计算 对点训练 [典例]设在n张彩票中有一张奖券，求第二个人 摸到奖券的概率是多少？ ：1.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确 听课记录 答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率 为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为 0.25,那么他答对题目的概率为 () A.0.625B.0.75C.0.5D.0 2.某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的 同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为 0.06,乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品 的概率. /方法技巧/ 全概率公式的使用要点 (1)如果所考虑问题的试验分两步，第一步试验： 结果可确定为样本空间的一个划分，求与第二 步试验结果有关的事件的概率，此时可用全概 率公式解决. (2)用全概率公式的关键是确定样本空间的一 个划分，这可以从第二步试验的结果确定： 29 数学选择性必修 第三册 题点二全概率公式在计算条件概率时的应用 :题点三贝叶斯公式及其应用 [典例]10张奖券中3张有奖，甲、乙两人不放回：[典例]设某批产品中，编号为1,2,3的三个厂生 地各从中抽1张，甲先抽，乙后抽.求： 产的产品分别占45%、35%、20%，各厂产品的次 (1)甲中奖的概率； 品率分别为2%、3%、5%.现从中任取一件， (2)乙中奖的概率； (1)求取到的是次品的概率；(2)经检验发现取到 (3)在乙中奖的情况下，甲未中奖的概率. 的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大. 听课记录 听课记录 /方法技巧/ 利用贝叶斯公式求概率的步骤 …/方法技巧/ 第一步：利用全概率公式计算P(A),即 在实际问题中，对于“已知结果求原因”类题目， P(A)=∑P(B:)P(A|B:); 它所求的是条件概率，即在已知某结果发生的 条件下，探求各种原因发生的可能性的大小，所 第二步：计算P(AB:),可利用P(AB:)=P(B:) 以应先利用全概率公式，计算出结果的概率，然 P(AB;)求解； 后再利用条件概率公式求解。 P(AB;) 第三步：代入P(B:|A)= P(A) 求解 对点训练 对点训练 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优 质率的信息如表所示： 设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种 工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依 品牌 甲 乙 其他 次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为 市场占有率 50% 30% 20% 5%,4%,2%.现从这批工件中任取一件： 优质率 95% 90% 70% (1)求取到次品的概率； 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优 (2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概 质品的概率。 率.（精确到0.01） 30 第七章随机变量及其分布 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.某地成年人体重肥胖者(A1)占0.1，中等者(A2) 送“一”时失真的概率为子，则接收台收到“。”时 占0.82，瘦小者(A3)占0.08，又肥胖者、中等者、 瘦小者患高血压病的概率分别为0.2,0.1,0.05. 发射台发出信号恰是“·”的概率为 则该地成年人患高血压病的概率等于 5.已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选 2.一个盒子中有6个白球，4个黑球，从中不放回地： 题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3 每次任取1个，连取2次，则第二次取到白球的： 道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思 概率为 路，有思路的题做对的概率为子，没有思路的题 3.掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，则其 中有一颗为1点的概率为 只好从4个选项中随机选一个答案.小王从这8 4.某电报发射台发出信号“·”和“一”的比例为 题中任选1题，则他做对的概率为 5:3,由于干扰，传送、”时失真的概率为号传 温馨提示 请做课时分层检测（十） 7.2离散型随机变量及其分布列 【素养要求】通过研究离散型随机变量及其分布列，发展数学抽象及数学运算素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)随机变量与离散型随机变量 :(二)离散型随机变量X的分布列 1.随机变量 1.定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1, 一般地，对于随机试验样本空间2中的每个样本点 x2,…,xn,我们称X取每一个值x;的概率P(X 定义w,都有 的实数X()与之对应，我们称X =x:)= ,i=1,2,…,n为X的概率分布 为随机变量 列，简称分布列. 通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字 表示 2.分布列的表格表示 母表示随机变量的取值 X 2.离散型随机变量 P 可能取值为 或可以 的随机变 分布列也可以用等式形式表示：P(X=x:)=:, 量，我们称为离散型随机变量， i=1,2,…,n,还可以用图形表示. [即学即练] 3.离散型随机变量分布列具有的两个性质 1.已知6件同类产品中有2件次品，4件正品，从中 (1)p 0,i=1,2,…,n; 任取1件，则可以作为随机变量的是 ( (2)p1十p2十…十pn= A.取到的产品个数B.取到的正品个数 [即学即练] C.取到正品的概率D.取到次品的概率 1.离散型随机变量X的分布列如表所示，则c等于 2.一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验， 打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则 3 试验次数X的最大可能取值为 ( P 0.2 0.3 0.4 A.6 B.5 C.4 D.2 A.0.1 B.0.24 C.0.01 D.0.76 311(二) P(CIA)=P(AC) 30 P(A) 3 !即学即练 B[设A表示“考生答对”，B表示“考生知道正确答案”，由全概率 10 ..P(BUCA)=P(BA)+P(CA)= 2 5 公式得PA)=P(B)P(A1B)+P(B)P(A|B)=子X1+号× “所末概率为子 子-子又由员叶新公式得P(B1A)=P(R)PAID_言X P(A) 方法二，n(A)=1×C=9, 2 (BUCIA)=C+C=5, ∴P(BUCIA)=n(BUCA)_5 n(A) 9 :关键能力·合作探究 5 所求概率为号 题点一 典例解设A,表示事件“第i个人摸到奖券”，i=1,2,,,则A2 素养演练·提升技能 表示事件“第二个人摸到奖券”： 1,AB[由条件概率公式P(BA) P(AB及0<P(A)≤1知P(BlA)≥ A1是否发生直接关系到A2发生的概率，即 P(A) P(A21A)=0,P(A21A)= 1 P(AB),故A正确：当事件A包含事件B时有P(AB)=P(B),此时 n-11 PBA)=界，故B正确：由于0区PBlA)≤1，PAA)=1,故CD 而PA)=,P国=” 错误.] 由全概率公式，得 2.D[假设事件A:该家庭3个小孩中至少有1个女孩，则包含（女， P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A) 女，男)的可能，事件B:该家庭3个小孩中至少有一个男孩，则包含· =·0+”1.1=1 n∴n-1n (女，女，男)的可能，所以A门B≠心，故A错误：事件“该家庭3个孩对点训练 子都是男孩”与事件“该家庭3个孩子都是女孩”不可能同时发生，：1，A[用A表示事件“考生答对了”，用B表示事件“考生知道正确答 是互斥但不对立事件，故B错误：3个小孩可能发生的事件如下：男 案”，用B表示“考生不知道正确答案”，则P(B)=0.5,P(B)=0.5, 男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男，共8！ P(A|B)=100%,P(A|B)=0.25,则P(A)=P(AB)十P(AB)= 种，其中只有一个男孩的概率为P=令，故C错误：设M=(至少有 P(AB)P(B)+P(AB)P(B)=1×0.5+0.25×0.5=0.625.] 2,解记事件A,B分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品”，则 1个男孩}，N={至少有2个男孩}，由选项C可知，n(MN)=4, 2=AUB,且A,B互斥， n=7,所以P(NM=”=专，故DE境，] ! ①由题意，得PA)-品=号PB=积-号 505 3.A[设第一人抛出虎的图案为A事件，第二人抛出虎的图案为B事： P(CA)=0.06,P(CB)=0.05, 2x122,PAB)=X1=1 件，期P(A=是=1」 2X12=14所以P(B1A)= 由全概率公式， P(C)=P(A)P(CIA)+P(B)P(CIB)-125 7 P(AB)144 30×100 P(A) 1 2,即在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达！ (2)P(A)= 30×100+20×120=9, 12 20×120 4 成的概率为立] P(B)=30×100+20×120-9, P(CA)=0.06,P(CB)=0.05, 4.D[男生甲被选中记作事件A,男生乙和女生丙至少有一个被选中 由全概率公式，得P(C)=P(A)P(CA)十 记作事件B,剥P(A=C=2,P(AB)=CS+C十19 C 35,由条件 p(Bp(CB=号×&+÷×高O- 概丰公式可得PCBA--号】 题点二 典例解(D设“甲中奖”为事件A,则PA)= 2 5. [取出2个球，记事件A=“一个球是白球”，则P(A)= (2)设“乙中奖”为事件B, C十CC=票，取出2个球，记事件B=“号一个球是白球”，则 则P(B)=P(A)P(B|A)十P(A)P(B|A). C -281 又P(A)= 品PBA=号，PB①=令 P(AB) C28=,由条件概率公式得P(BA)=PCAB= C105 P(A) 所以P(B) 5 14 (3)因为P(A) 品PBA)=子 25 ，所以已知一个球是白球，另一个球也是白球的概率 5 2 所以P(A|B)= P(AB)P(A)P(BA) 为号小 P(B) P(B) 7 7.1.2全概率公式 30=7 3 9· 必备知识·自主梳理 (一) :对点训练 即学即练 解用A1,A2,A分别表示事件买到的智能手机为甲品牌、乙品 牌、其他品牌，B表示买到的是优质品的事件，则2=A1UA2UA3, [设A=“第二人取得红球”，B=“第一人取得红球”，则P(B)= 5 且A1,A2,A3两两互斥，依题意，可得P(A1)=50%,P(A2) 品P国=品，PAB)=,PAE)=号，所以PA=PB 2 30%,P(A3)=20%,且P(B|A1)=95%,P(B|A2)=90%,P(B A3)=70%,由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B|A1)十P(A2) PAB+P·PA=品×寸十品×号-÷] 2 1 8 P(B引A2)+P(A)·P(B1A3)=50%×95%+30%×90%+20% ×70%=88.5%. 163 题点三 :(二) 典例解A表示“取到的是一件次品”，B,表示“取到的产品是由第！1.p,3.(1)≥(2)1 i家工厂生产的”(i=1,2,3),显然B1,B2,B3是样本空间S的一个即学即练 划分，且有P(B1)=0.45,P(B2)=0.35,P(B1)=0.2,P(A1B1)=1.A 0.02,P(A|B2)=0.03,P(A1B)=0.05. 12.C[P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+ (1)由全概率公式得，P(A)=P(A1B1)P(B1)十P(AB2)P(B2)十0.22=0.79.] P(A1B)P(B,)=0.02×0.45+0.03×0.35+0.05×0.2=(三) 0.0295. :1-p :即学即练 (2)由贝叶斯公式得，P(BA)= P(A|B1)P(B1)0.02×0.4518 解析 由题意知X服从两点分布，故随机变量X的分布列为 P(A) 0.0295 59 P(B,1A)-PAB,)PB2_0.03X0.35_2头 0 P(A) 0.0295 591 0. 0.9 P(B3A)= P(A|B)P(B2)0.05×0.2020 P(A) 0.0295 59 答案 所以，发现取到的为次品，该次品来自编号为2的工厂的可能性 0 1 最大， 对点训练 P0.10.9 解(1)设事件B1,B2,B分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生 第一课时离散型随机变量及其分布列 产的，A表示“取到的是次品” !关键能力·合作探究 易知B1,B2,B3两两互斥，根据全概率公式， 题点一 可得PA)=2P(B)PAB)=0.25X0,.05十0.35X0.04十0.4×0.02典例】解（1)此人某天上班道到红灯的次教是随机交量，且为离散 型随机变量 =0.0345. (2)某地区今后每一年的人口的出生数为随机变量，且为离散型随 故取到次品的概率为0.0345. 机变量， (2)P(B A)-P(AB)_P(B)P(AIB) (3)某单位全体员工体检时每人的血清转氨酶测定值是随机变量， P(A) P(A) 且为连续型随机变量， -0.25X0.05≈0.36. (4)某水库某一时刻的水位是随机变量，且为连续型随机变量 0.0345 :对点训练 故已知取到的是次品，则它是甲车间生产的概率的为0.36. 解①某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，，是随 素养演练·提升技能 机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量， 1.0.106[令B={某人患高血压}，A,={某人体重的特征}(i=1,2,: ③某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机 3),则B=A1B十A,B+AB. 变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量， 由题意知，P(A1)=0.1,P(B|A1)=0.2,P(A2)=0.82,P(B|A2) ④明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2， =0.1,P(A3)=0.08,P(B|A3)=0.05,由全概率公式得P(B)= 3,·,是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量， P(A1)P(B|A1)十P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(BA3)=0.1×I ⑤由于果汁的容量在498mL~502mL之间波动，是随机变量，但 0.2+0.82×0.1十0.08×0.05=0.106.] 不是高散型随机变量 题点二 2.0.6[设A={第一次取到白球}，B={第二次取到白球}，因为B= ABUAB,且AB与AB互斥，所以P(B)=P(ABUAB)=P(AB)十 :典例解(1)X的所有可能的取位为0,1,2,3. “X=0”表示取出3个黑球； PB=P)P(B+P)P(BA=×号+品×号 “X=1”表示取出1个白球2个黑球： “X=2”表示取出2个白球1个黑球： =0.6.] “X=3”表示取出3个白球 3.号[设事件A为“两颗点数之和为7”，事件B为“一颗点教为1” (2)由题意可得Y=5X十6，而X可能的取值0,1,2,3， 所以Y对应的各值是6,11,16,21， 两颗点数之和为7的种数为6，其中有一颗为1点的种数为2， 故Y的可能取值为6,11,16,21， 故所求概来为P=后=3·] 2 显然Y为离散型随机变量 :对点训练 4.子[设A=(收到”，B=(发出.”，由见叶斯公式得P(B到A)1D[由“X≥5”知，第一枚点数与第二枚点数之差不小于5.故 选D.] 5、3 P(B)P(AB) 8×5 3 12.C[Y表示取出的2个球的号码之和，又1+2=3,1十3=4,1十 P(B)P(A B)+P(B)P(A B) ×号+行 5 3 4=5,1+5=6,2+3=5,2+4=6,2+5=7,3十4=7,3+5=8,4+ 5=9,故Y的所有可能取值为3,4,5,6,7,8,9，共7个，] 题点三 5.影[设小王从这8题中任选1题且微对为事件A,选到能究整微興解 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红 对的5道题为事件B,选到有思路的两道题为事件C,选到完全没有：球，从中摸出2个球，有C=10(种)情况 思路的为车作D,对PB)=÷,PC)=号子，PD)=言由 (1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A,则P(A) C·C3 全概率公式可得P(A)=P(B)P(A|B)十P(C)·P(A|C)十P(D)· 10 51 PAD=号1+×子+g×器] (2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)= 7.2离散型随机变量及其分布列 10 5 必备知识·自主梳理 C 3 P(X=2)=10=1 (一) 故X的分布列为 1.唯一2.有限个 一一列举 即学即练 0 1.B[A、C、D在实验之前能确定取何值，不能做随机变量，] 2B「由于是逐次武验，可能前5次都打不开锁，但是景后一把钥匙 10 5 10 一定能打开锁.」 164