精品解析：福建龙岩市2026年龙岩市九年级学业(升学)质量检查数学试卷

2026年龙岩市九年级学业（升学）质量检查数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意： 请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 在本试题上答题无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2026 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数的性质即可求解． 【详解】解：负数的绝对值是它的相反数， ． 故选：B． 2. 2025年10月23日22时30分，我国在文昌航天发射场使用长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星二十号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 3. 觯（zhi），是古代饮酒用的器皿.《礼记·礼器》中记载“尊者举觯，卑者举角.”说明了古代礼仪中使用不同的酒器，来表达身份的区别.史书记载中，爵为一等酒器，觯为二等酒器，觚（gu）为三等酒器，角为四等酒器，杯为五等酒器.下图为西周小臣单觯，则该“觯”的三视图中图形相同的是（ ） A. 主视图与俯视图 B. 左视图与主视图 C. 俯视图与左视图 D. 左视图、俯视图、主视图均相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图的定义去判断即可． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 【详解】解：该几何体的主视图和左视图相同，俯视图不同， 故选：B． 4. 一副三角板如图所示放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中∠α的度数为（ ） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质及三角形的外角即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵两三角板的斜边互相平行， ∴∠ABC=∠C=45°， 又∵∠α是△ABD的外角， ∴∠α=∠A+∠ABC=45°+30°=75°， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的外角定理，熟练掌握平行线的性质及三角形的外角定理是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：，∴选项A运算正确． 选项B：，∴选项B运算错误． 选项C：与不是同类项，不能合并，∴选项C运算错误． 选项D：，∴选项D运算错误． 6. 如图，与是位似图形，其位似中心为点O，且，若的周长为4，则的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于相似比可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴与的位似比为， ∵的周长为4， ∴的周长为． 7. 某校在一次演讲比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ） A. 95分的人数最多 B. 最高分与最低分的差是15分 C. 参赛学生人数为8人 D. 最高分为100分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查折线统计图数据分析．根据折线统计图对选项中得信息一一判断即可． 【详解】解： A、从统计图可以得出95分的人数最多，为5人，故本选项不符合题意； B、从统计图可以得出最高分为100分，最低分为85分，最高分与最低分差是15分，故本选项不符合题意 C、从统计图可以得出参赛学生人数共有人，故本选项符合题意； D、从统计图可以得出最高分为分，本选项不符合题意． 故选C． 8. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 9. 反比例函数广泛应用于物理、化学等自然学科中．比如在电学的某一电路中（开关闭合），电压不变时，电流（安培）是电阻（欧姆）的反比例函数．当时，．则与之间的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键在于根据题意求出反比例函数解析式．设，利用待定系数法求出解析式，再结合解析式求解，即可解题． 【详解】解：由题意设， ∵当时，， ∴， ∴与之间的函数关系式为：； A、当时，，即在图象上方，故该选项不符合题意； B、当时，，即在图象上方，故该选项符合题意； C、当时，，即在图象上，故该选项不符合题意； D、当时，，即在图象下方，故该选项不符合题意； 故选：B． 10. 若二次函数的图象经过，两点，则的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据判断开口方向，得到开口向上时，点到对称轴的距离越远函数值越大，再比较A、B两点的函数值大小，推导得到的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， 计算得， ∴， ∴A点到对称轴的距离大于B点到对称轴的距离， ∵A点横坐标为，A到对称轴的距离为， ∴， 解不等式得， 观察选项，只有在该范围内，因此的值可能是． 二、填空题：（每题4分，共24分） 11. 负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，其中有“把卖出货物收入的钱记作正，把买入货物支出的钱记作负”．如果收入16元记作，那么支出12元记作________． 【答案】 【解析】 【详解】解：收入元记作， ∴收入记为正，支出记为负， 支出元记作． 12. 在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的．例如，某个测量值的误差范围是，用科学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度，数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定的值和的值，当原数的绝对值小于时，为负数，的绝对值与小数点移动的位数相等． 【详解】解：． 13. 如图，是的平分线，，垂足为，，则点到的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质，过点作于点，根据角平分线性质得到，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 是的平分线，，， ， 点到的距离是， 故答案是：． 14. 一个不透明袋子装有1个红球，2个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．两次摸到的球中至少有一次是红球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图，得出两次摸球所有等可能的结果，再找出至少有一次摸到红球的结果种数，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：将1个红球记为，2个白球分别记为， 由题意，画出树状图如下： 由图可知，两次摸到的球共有9种等可能的结果，其中，两次摸到的球中至少有一次是红球的结果有5种， 所以两次摸到的球中至少有一次是红球的概率是． 15. 如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，掌握不等式与函数图像的关系是解题的关键． 根据不等式与函数图像的关系，可直接判断出一元一次不等式的解集． 【详解】解：∵点为一次函数与的图象交点， 且点的横坐标为， 根据一次函数与不等式的关系， 可判断出的解集为， 故答案为：． 16. 如图，是的直径，，连接交于点，与相切于点，交的延长线于点，连接并延长，交于点，交于点，连接，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，，根据切线的性质，可得，利用直角三角形中，角的等量关系，可得，根据解直角三角形，先求出，得到，再根据，勾股定理的应用，求出，根据，利用线段的等量关系，求出；根据三角形的三线合一，求出，根据，求出，即可． 【详解】解：过点作于点，连接，， ∵， ∴，， ∵，与相切， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】先求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 19. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程中的两个分式化为同分母分式，再去分母化为整式方程，最后对所得的根进行检验． 【详解】解：， ， ， ， ， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 20. 如图1，四边形是的内接四边形，，连接，． （1）求的度数； （2）如图2，，相交于点，若，．求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可求出的度数； （2）先求出，根据勾股定理及三角函数求出，进而求出，可知阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：四边形是的内接四边形， ． ， ． ． ； 【小问2详解】 解：，， ． ，， ． 在中，， ． ， ． ． 21. 在2026年春晚的舞台上，宇树科技与两种型号人形机器人献上表演《武》，以灵动的招式和行云流水的人机比武，赢得满堂喝彩．为了了解学生对与人形机器人表演的满意情况，某校科技兴趣小组对与两种型号的人形机器人进行了满意度测评，并从测评数据中各随机抽取20份数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：非常满意：；满意：；比较满意：；不满意：），下面给出部分信息： 型人形机器人的满意度测评等级为“满意”的数据为： ，，，，，，，； 型人形机器人的评分数据为： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，， 与两种型号人形机器人的满意度测评数据统计表 机器人 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为哪种型号人形机器人测评的满意度更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）在此次满意度测评中，有人对型人形机器人进行评分，请估计此次满意度测评中对型人形机器人的满意度测评等级为“非常满意”有多少人． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）估计型人形机器人的满意度测评等级为“非常满意”有120人 【解析】 【分析】本题考查中位数，众数，利用方差作决策，熟练掌握相关数据的计算方法，是解题的关键． （1）从扇形统计图中，读取信息，根据中位数和众数的确定方法求出的值，根据百分比的计算，求出； （2）利用方差作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可得：不满意的人数为：（人）；比较满意的人数为：（人）， 由题意可得，满意度测评等级为“满意”的人数有人 ∴非常满意的人数为：人； 将的数据排序后，第个数据和第个数据分别为：，， ∴， ∵数据出现次数最多的数据为， ∴， ∵非常满意的人数为：人；， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：型人形机器人的满意度更好．理由： ①型人形机器人测评数据的中位数和众数都比型人形机器人测评数据的中位数和众数大； ②型人形机器人测评数据的方差比型人形机器人测评数据的方差小，更稳定． 【小问3详解】 解：（人）． 答：型人形机器人的满意度测评等级为“非常满意”有人． 22. 如图，在中，，点在上． （1）在上找一点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作线段-垂直平分线，勾股定理的运用，解题的关键是掌握作线段的垂直平分线，勾股定理的知识，进行解答，即可． （1）作线段的垂直平分线，即可； （2）根据等角对等边，可得，根据直角三角形中，两锐角互余，则，求出的值，设，则，根据勾股定理，求出，即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求作的点． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 设，则， 中，， ， 解得， ． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）若，求； （2）若抛物线的顶点坐标为，求的值； （3）若，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据对称性得到对称轴即可； （2）设抛物线的解析式为，再代入即可求解； （3）由题可知，代点可得，再作差证明即可． 【小问1详解】 解：， ∴图象经过点和点． ∴对称轴直线，解得； 【小问2详解】 解：依题意得，设抛物线的解析式为， 把点代入得，， 解得， 抛物线的解析式为， 把代入，得； 【小问3详解】 解：把点代入得； ； 把点代入得； 把代入得即； ， ． ； ． 24. 综合与实践：进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．例如，二进制的基数为2，各数位上的数字为0或1；四进制的基数为4，各数位上的数字为．我们熟知的十进制的基数为10，各数位上的数字为．说明：为了区分不同进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是六进制数235的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 各进制数之间可以进行互相转换．可把其他进制数转换为十进制数，例如，三进制数转换为十进制数：；六进制数转换为十进制数：．可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，即 素材2 若要将十进制数转换为其他进制数，则可逆用素材1中的等式．例如，十进制数27转换为二进制数：因为，所以，；将十进制数75转换为六进制数：因为，所以，． （1）①把二进制数转换为十进制数为__________； ②把十进制数22转换为三进制数为__________； （2）若与转换为十进制数的和能被5整除，且与转换为十进制数的和能被6整除（其中，，且，为整数），求的值； （3）若一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，求证：这个三进制数转换为十进制数能被2整除． 【答案】（1）①13；② （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义转换即可； （2）先把各数转换为十进制，结合整除计算可得，，再求和即可； （3）设三进制数为：，则进而判断即可． 【小问1详解】 ①； ②； 【小问2详解】 ，， ∴它们的和能被5整除， ， ，是整数， ∴当且仅当时，是5的倍数， ，， ∴它们的和能被6整除， ， 代入，得， ，是整数， ∴当且仅当时，是6的倍数， ，， ； 【小问3详解】 设三进制数为：（为正整数）， 则 ， ，，…，，，都是偶数，能被2整除， 又三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除， 即能被2整除， 能被2整除． ∴这个三进制数转换为十进制数能被2整除． 25. 如图1，在中，，，为边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点，关于直线对称，与交于点，连接． （1）求证：； （2）点为的中点，与交于点． ①如图2，连接，若，求的度数； ②如图3，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用对称性质得，再由角度关系得到，即可证明平行； （2）①连接，证明四边形是平行四边形以及四边形是菱形，根据对称性质得到，即可求出； ②连接，求出的长度，连接，过点作于点，过点作于点，构造相似三角形，根据线长比例以及勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 证明：绕点逆时针旋转得到， ， ，，， 点，关于直线对称， ， ， ， ，， ．∴． 【小问2详解】 解：①连接， 为的中点，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ，， ，， 点，关于直线对称， ．，， ． ． ②，，， ， ，， ， ， 连接，点，关于直线对称， ，，， ，， ， ， 连接，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 为的中点，，， ，， ，， ，， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年龙岩市九年级学业（升学）质量检查数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意： 请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 在本试题上答题无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2026 C. D. 2. 2025年10月23日22时30分，我国在文昌航天发射场使用长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星二十号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 觯（zhi），是古代饮酒用的器皿.《礼记·礼器》中记载“尊者举觯，卑者举角.”说明了古代礼仪中使用不同的酒器，来表达身份的区别.史书记载中，爵为一等酒器，觯为二等酒器，觚（gu）为三等酒器，角为四等酒器，杯为五等酒器.下图为西周小臣单觯，则该“觯”的三视图中图形相同的是（ ） A. 主视图与俯视图 B. 左视图与主视图 C. 俯视图与左视图 D. 左视图、俯视图、主视图均相同 4. 一副三角板如图所示放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中∠α的度数为（ ） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与是位似图形，其位似中心为点O，且，若的周长为4，则的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 36 7. 某校在一次演讲比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ） A. 95分的人数最多 B. 最高分与最低分的差是15分 C. 参赛学生人数为8人 D. 最高分为100分 8. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 9. 反比例函数广泛应用于物理、化学等自然学科中．比如在电学的某一电路中（开关闭合），电压不变时，电流（安培）是电阻（欧姆）的反比例函数．当时，．则与之间的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 若二次函数的图象经过，两点，则的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 4 二、填空题：（每题4分，共24分） 11. 负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，其中有“把卖出货物收入的钱记作正，把买入货物支出的钱记作负”．如果收入16元记作，那么支出12元记作________． 12. 在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的．例如，某个测量值的误差范围是，用科学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度，数据用科学记数法表示为________． 13. 如图，是的平分线，，垂足为，，则点到的距离是______． 14. 一个不透明袋子装有1个红球，2个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．两次摸到的球中至少有一次是红球的概率是________． 15. 如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为_____． 16. 如图，是的直径，，连接交于点，与相切于点，交的延长线于点，连接并延长，交于点，交于点，连接，若，则_________． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 19. 解分式方程：． 20. 如图1，四边形是的内接四边形，，连接，． （1）求的度数； （2）如图2，，相交于点，若，．求阴影部分的面积． 21. 在2026年春晚的舞台上，宇树科技与两种型号人形机器人献上表演《武》，以灵动的招式和行云流水的人机比武，赢得满堂喝彩．为了了解学生对与人形机器人表演的满意情况，某校科技兴趣小组对与两种型号的人形机器人进行了满意度测评，并从测评数据中各随机抽取20份数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：非常满意：；满意：；比较满意：；不满意：），下面给出部分信息： 型人形机器人的满意度测评等级为“满意”的数据为： ，，，，，，，； 型人形机器人的评分数据为： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，， 与两种型号人形机器人的满意度测评数据统计表 机器人 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为哪种型号人形机器人测评的满意度更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）在此次满意度测评中，有人对型人形机器人进行评分，请估计此次满意度测评中对型人形机器人的满意度测评等级为“非常满意”有多少人． 22. 如图，在中，，点在上． （1）在上找一点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，，若，，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）若，求； （2）若抛物线的顶点坐标为，求的值； （3）若，，求证：． 24. 综合与实践：进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．例如，二进制的基数为2，各数位上的数字为0或1；四进制的基数为4，各数位上的数字为．我们熟知的十进制的基数为10，各数位上的数字为．说明：为了区分不同进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是六进制数235的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 各进制数之间可以进行互相转换．可把其他进制数转换为十进制数，例如，三进制数转换为十进制数：；六进制数转换为十进制数：．可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，即 素材2 若要将十进制数转换为其他进制数，则可逆用素材1中的等式．例如，十进制数27转换为二进制数：因为，所以，；将十进制数75转换为六进制数：因为，所以，． （1）①把二进制数转换为十进制数为__________； ②把十进制数22转换为三进制数为__________； （2）若与转换为十进制数的和能被5整除，且与转换为十进制数的和能被6整除（其中，，且，为整数），求的值； （3）若一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，求证：这个三进制数转换为十进制数能被2整除． 25. 如图1，在中，，，为边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点，关于直线对称，与交于点，连接． （1）求证：； （2）点为的中点，与交于点． ①如图2，连接，若，求的度数； ②如图3，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $