2.1 不等式及其基本性质 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“不等式及其基本性质”，分3课时系统梳理不等式定义、解与解集、基本性质等核心知识，通过从概念辨析到实际应用再到性质推理的递进设计，搭建连贯的学习支架，帮助学生逐步构建知识体系。 其亮点在于融入体重指数、交通限高、捐款活动等生活实例，引导学生用数学眼光观察现实世界，结合“作差法比较大小”等综合实践发展推理意识，通过符号语言表达数量关系提升应用能力。学生能增强问题解决能力，教师可依托分层练习高效开展教学。

第二章　不等式与不等式组 1 不等式及其基本性质 第二章　不等式与不等式组 不等式及其基本性质(第1课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1．不等式：一般地，用符号_________________________________连接的式子叫作不等式。 2．根据条件列不等式要注意不等号与一些词语含义的对应关系，如 “＞”表示大于、高出、多于、超过等；“＜”表示　　　、　　　、 　　　、　　　等；“≥”表示大于或等于、不小于、不少于、不低于、至少等；“≤”表示　　 　、 、 　、 　　等。  “＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”) 小于　 低于　 少于　 不足　 小于或等于 不大于　 不高于　 至多(答案不唯一) 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．若x＋y□5是不等式，则符号“□”不能是(　　)。　　　　　　　　　　　　　　　 A．－ B．＜ C．＞ D．≤ 2．下列各式中，不是不等式的是(　　)。 A．2x＞1 B．6x2－3x＋1 C．－3＜0 D．3x－2≥7 A　 B　 3．自2024年起，国家卫生健康委启动实施“体重管理年”活动。体重指数(BMI)是衡量人体胖瘦程度的一个常用标准，计算公式是BMI＝。15岁男生BMI(kg/m2)不低于26.6为肥胖，则15岁男生肥胖时BMI满足的不等关系为(　　)。 A．BMI＞26.6 B．BMI＜26.6 C．BMI≥26.6 D．BMI≤26.6 C　 4． 【数学应用】交通法规人人遵守，文明城市处处安全。在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x(m)的范围可表示为(　　)。  A．x≥4.5 B．x＞4.5 C．0＜x＜4.5 D．0＜x≤4.5 D 5．用符号语言来表示下列关系： (1)a是非负数：　　　　　；  (2)x与3的差小于－5：　　　　　；  (3)某食品的保质期为6个月，该食品可以食用的时间为m个月：_______________________　； (4)a的一半与b的差不小于2：_____________________　。 a≥0　 x－3＜－5　 m≤6 a－b≥2 6．一罐饮料净重约300 g，罐上注有“蛋白质含量≥0.6%”，用不等式表示其中蛋白质的含量x(g)的取值范围为　　　　。  7．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车。若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是　 。  x≥1.8 租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人 强化提高 8．设a，b，c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是(　　)。 A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c A　 9． 【数学应用】一瓶某品牌酒精消毒液的体积为200 mL，标注的酒精含量是75%±5%，每毫升酒精消毒液约是0.85 g。设一瓶该品牌酒精消毒液含酒精x g，则x的取值范围约是　　　 　。  10．某次知识竞赛共有20道题，每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分超过90分。设她答对了n道题，则根据题意可列不等式为 　　　　 　　　。  119≤x≤136 10n－5(20－n)＞90 11． 【数学应用】某中学开展“爱心帮扶”捐款活动，其中八年级3个班学生的捐款金额如下表所示： 班级 八(1)班 八(2)班 八(3)班 人均捐款/元 4 6 学生人数 52 48 50 学校会计统计时不小心把墨水滴到了表格内，但他知道八年级3个班学生平均每人捐款的金额不少于5元。设八(3)班人均捐款数为x元，请根据以上信息，列出不等式。 解：由题意，可知52×4＋48×6＋50x≥(52＋48＋50)×5，即496＋50x≥750。 课堂延伸·提升素养 12． 【综合与实践】 (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ①42＋32　　　　2×4×3；  ②(－2)2＋12　　　　2×(－2)×1；  ③22＋22　　　　2×2×2；  ④()2＋　　　　2×；  ⑤(－3)2＋(－3)2　　　　2×(－3)×(－3)。  ＞　 ＞　 ＝　 ＞ ＝ (2)通过观察归纳，写出能反映(1)中规律的一般结论，并说明理由。 解：能反映(1)中规律的一般结论：若a，b为实数，则a2＋b2≥2ab。 理由如下： ∵(a－b)2≥0， ∴a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab。 第二章　不等式与不等式组 不等式及其基本性质(第2课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1．不等式的解：在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的 　　 　　，叫作不等式的解。一般地，不等式的解不止　 个。  2．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的　　　　，组成这个不等式的解集。  3．解不等式：求不等式　　　　的过程叫作解不等式。  未知数的值　 一　 所有解 解集　 4．图2－2－1表示的不等式的解集为　　　　，数轴上的空心圆圈表示这个数　　　这个解集内；图2－2－2表示的不等式的解集为　　　　，数轴上的实心圆点表示这个数　　　　这个解集内。  图2－2－1 图2－2－2 x＞a　 不在　 x≤b　 在 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．下列四个数中，哪个数是不等式x＞3的一个解？(　　)　 　　　　 　　　　 　　　 A．－3 B．5 C． D．0 2．下列说法错误的是(　　)。 A．不等式x＜4的解有无数个 B．不等式x＜4的整数解有无数个 C．－2是不等式x＜4的一个解 D．不等式x＜4的正数解只有有限个 B　 D　 3．不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是(　　)。 A B C D B　 4．如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是(　　)。 A．x＜－1或x≥3 B．x≤－1或x＞3 C．－1≤x＜3 D．－1＜x≤3 5．不等式x＜3的解有　　　个，其中非负整数解有　　　个，它们是 　　 　　。  D 无数　 3　 0，1，2 6．在0，－4，－3，－2，1，2中，　　　　是方程x＋2＝0的解； 　　 　　是不等式x＋2≥0的解；　　　　是不等式x＋2＜0的解。  7．使不等式x＞－和x≤2同时成立的所有整数解的和是　　　　。  8．不等式2x＜6的非负整数解为　　 　　。  x＝－2　 －2，0，1，2　 －3，－4 2　 x＝0，1，2 9．请在数轴上表示下列不等式的解集： (1)x＞－3.5； (2)－1≤x＜3。 解：(1)如图①： 图① (2)如图②： 图② 强化提高 10． 【跨学科】如图，在体育课上，小明的实心球成绩为9.6 m，他投出的实心球落在(　　)。 A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ C　 11． 【数学应用】小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而响起警示音，且这个过程中没有其他人进出。已知当电梯承载的质量超过300 kg时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40 kg，50 kg。若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的质量为x kg，则所有满足题意的x可用不等式表示为(　　)。 A．210＜x≤260 B．210＜x≤300 C．210＜x≤250 D．250＜x≤260 12．已知x≥5的最小值为a，x≤－7的最大值为b，则ab＝　　　　。  A　 －35 13．分别写出满足下列条件的一个不等式： (1)0是这个不等式的一个解； (2)－2，－1，0，1都是不等式的解； (3)0不是这个不等式的解； (4)与x≤－1的解集相同的不等式； (5)不等式的非负整数解只有0，1，2。 解：(1)x＜1(答案不唯一) (2)x＜2(答案不唯一) (3)x＜0(答案不唯一) (4)x＋2≤1(答案不唯一) (5)x＋1≤3(答案不唯一) 14．整式3的值为p。 (1)当m＝5时，求p的值； 解：(1)∵m＝5， ∴3＝1－3m＝1－3×5＝－14。 ∵p＝3， ∴p＝－14。 (2)若某个关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，p为该不等式的一个解，求m的负整数值。 (2)∵p＝3， ∴m＝。 由题图可得p≤5， 要使m为负整数，则p只能取4。 当p＝4时，m＝＝－1。 ∴m的负整数值为－1。 课堂延伸·提升素养 15． 【综合与实践】小华在解不等式x＞2x－1时，发现所有的负数都满足x＞2x，于是他有理有据地说：“如果x＜0，那么x＞2x，而2x＞2x－1，所以x＞2x－1成立。”小华得到了这样的结论： x＞2x－1的解集是x＜0。小华说得对吗？说说你的观点。 解：小华前面说明负数是不等式x＞2x－1的解是对的，但结论不对。 ∵解集包含所有的解，如x＝是不等式x＞2x－1的解，但＞0， ∴x＞2x－1的解集不是x＜0。 第二章　不等式与不等式组 不等式及其基本性质(第3课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1．根据　　　　 　　可以对方程进行变形，进而求解方程。类似地，根据　　 　 　　可以对不等式进行变形，进而解出不等式。  2．如果a＞b，那么b　　a；  如果a＜b，b＜c，那么a　　c。  等式的基本性质 　不等式的基本性质 ＜ ＜ 3．不等式的基本性质： (1)不等式的两边都加(或减)同一个　　　　，不等号的方向　　　　。如果a＞b，那么a±c　　　　b±c。  (2)不等式的两边都乘(或除以)同一个　　　　，不等号的方向　　　　。如果a＞b，c＞0，那么ac　　　　bc，　　　 。  (3)不等式的两边都乘(或除以)同一个　　　　，不等号的方向　　　　。如果a＞b，c＜0，那么ac　　　　bc，　　　 。  代数式　 不变　 ＞ 正数　 不变　 ＞ ＞ 负数　 改变　 ＜ ＜ 基础巩固 1．不等关系在生活中广泛存在。如图，a，b分别表示两名同学的身高，c表示台阶的高度。图中两人的对话体现的数学原理是(　　)。　　　　　　　　　　　　　 A．若a＞b，则a＋c＞b＋c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则 课堂精练·发展能力 A　 2．若x＞y，ax＜ay，则一定有(　　)。 A．a＞0 B．a＜0 C．a＝0 D．a为任何实数 3．已知2m＞4m，那么(　　)。 A．m一定是正数 B．m是0或负数 C．m是非负数 D．m一定是负数 B　 D　 4．若2a＜0，则a　　　　3a。(填“＞”“＜”或“＝”)  5．若关于x的不等式(2－a)x＞3可化为x＜，则a的取值范围是 　　 　　。  6．如果a＜b，那么－2＋2a　　　　－2＋2b。(填“＞”“＜”或“＝”)  7．若关于x的不等式(a－b)x＜a－b满足x＞1，则a，b的大小关系是 a　　　b。(填“＞”“＜”或“＝”)  ＞　 a＞2　 ＜　 ＜ 8．根据不等式的基本性质，把下列不等式表示成x＞a或x＜a的形式： (1)5x＜4x＋3； (2)－3x＜6； (3)6x－2＞4； (4)－2x＋3＜3x－1。 (1)x＜3　 (2)x＞－2　 (3)x＞1　 (4)x＞ 强化提高 9. 2a与3a的大小关系是(　　)。 A．2a＜3a B．2a＞3a C．2a＝3a D．不能确定 10．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是 (　　)。 A．a＞c＞b B．c－a＞b－a C．a＋b＜0 D．ac2＜bc2 D　 D　 11．已知a－1＞0，则下列结论正确的是(　　)。 A．－1＜－a＜a＜1 B．－a＜－1＜1＜a C．－a＜－1＜a＜1 D．－1＜－a＜1＜a 12．若a＞b，则给出下列结论：①a＋x＞b＋x；②；③ax2＞bx2；④－|a|＜－|b|；⑤ab＜b2。其中一定成立的结论是　　　　。(填序号)  B　 ① 13．已知m＜n，试比较－99m＋1与－99n＋1的大小。 解：∵m＜n，第一步 ∴－99m＜－99n，第二步 ∴－99m＋1＜－99n＋1。第三步 问：(1)上述解题过程中，从第　　　　步开始出现错误。  二 (2)错误的原因是什么？ 解：错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变。 (3)请写出正确的解题过程。 解：∵m＜n， ∴－99m＞－99n， ∴－99m＋1＞－99n＋1。 课堂延伸·提升素养 14． 【综合与实践】【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 若a－b＞0，则a＞b； 若a－b＝0，则a＝b； 若a－b＜0，则a＜b。 反之也成立。 这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”。 【理解】 (1)若a－b＋2＞0，则a＋1　　　　b－1。(填“＞”“＜”或“＝”)  ＞ 【运用】 (2)若M＝a2＋3b，N＝2a2＋3b＋1，试比较M，N的大小。 解：∵M＝a2＋3b，N＝2a2＋3b＋1， ∴M－N＝(a2＋3b)－(2a2＋3b＋1) ＝a2＋3b－2a2－3b－1 ＝－a2－1。 ∵－a2－1＜0， ∴M＜N。 【拓展】 (3)请运用“作差法比较大小”解决下面的问题。 制作某产品有两种用料方案。 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板。 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板。每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小。 方案一的总面积记为S1，方案二的总面积记为S2，试比较S1，S2的大小。 (3)解：设A型钢板的面积为a，B型钢板的面积为b。 ∵方案一的总面积记为S1，方案二的总面积记为S2， ∴S1＝5a＋6b，S2＝4a＋7b， ∴S1－S2＝(5a＋6b)－(4a＋7b) ＝5a＋6b－4a－7b ＝a－b。 ∵每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小，即a＜b， ∴a－b＜0， ∴S1＜S2。 $