第10章二元一次方程组 专题练习 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 人教版七年级数学下册第10章二元一次方程组专题练习，覆盖概念、解法及应用，融合《孙子算经》古题、生活购物等情境，体现模型意识与应用意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|6|二元一次方程定义、解的判断、消元法|结合“鸡兔同笼”古题考查建模能力| |填空题|11|方程定义辨析、代入法、非负性应用|含长方形阴影面积等几何与方程结合题| |解答题|8|方程组求解、整数解、新定义运算|设计“邻好关系”“※运算”等创新题型，阶梯水价问题强化应用意识|

第10章二元一次方程组 专题练习 2025-2026学年人教版七年级数学下册期末复习 一．选择题（共6小题） 1．下列各式中，属于二元一次方程的是（　　） A．y﹣x＝1 B．x+xy＝7 C． D．x2﹣2x+1＝0 2．下列是方程x﹣2y＝3的解的一组数是（　　） A． B． C． D． 3．我国古代数学典籍《孙子算经》中记载有“鸡兔同笼”问题：今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问：雉、兔各几何？译文：今有鸡、兔同笼，上有35头，下有94足，问：鸡、兔各有几只？设鸡有x只，兔有y只，则根据题意所列方程组为（　　） A． B． C． D． 4．关于x，y的方程组，下列做法可以消去未知数x的是（　　） A．①×2+②×2 B．①×2+② C．①﹣②×2 D．①+②×2 5．已知方程组中未知数x＝y，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2； ②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变； ④若用x表示y，则y＝﹣； A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 二．填空题（共11小题） 7．若方程（a﹣2）x+3y|a﹣1|＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为　 　 ． 8．已知是二元一次方程2x+3y＝10的一个解，则m的值为　 　 ． 9．解方程组：，将①代入②中，得到的一元一次方程是　 　 ． 10．方程组的解是　 　 ． 11．方程|x﹣2y+4|+（2x+5y﹣1）2＝0，则（x+y）2026＝　 　 ． 12．如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是　 　 cm2． 13．张老师和李老师为了奖励各班上期数学竞赛成绩优异的同学，在某文具店购买了圆规和三角板作为奖品，购买明细见下表： 圆规（个） 三角板（副） 总费用（元） 张老师 14 8 120 李老师 6 12 90 王老师也在该店购买了这种圆规和三角板各15件共用 　 　 元． 14．已知，则x+y+z＝　 　 ． 15．小亮解得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数■和▲，请你帮他找回数■和▲，这两个数中较小的一个数的值是　 　 ． 16．已知方程组的解是，则方程组的解是 　 　 ． 17．一个油罐有进油龙头P和出油龙头Q．油罐空时，同时打开P、Q，4小时可注满油罐．油罐满时，先打开Q，12小时后关上；接着打开P，2小时后关上，此时油罐未满；再打开Q，5小时后油罐恰好流空．那么P的流量是Q的流量的 　 　 倍． 三．解答题（共8小题） 18．解下列方程组 ： （1）； （2）． 19．已知关于x，y的方程组有整数解，即x，y都是整数，a是正整数，求a的值． 20．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． （1）判断方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明理由； （2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； 21．对x，y定义一种新运算“※”，规定：x※y＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1※1＝4，1※2＝3． （1）求m，n的值； （2）求2※1的值． 22．《孙子算经》之“甲乙持钱”问题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”大意是：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的（太半），那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？ 23．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，这两种节能灯的进价、标价如表： 型号 进价（元/只） 标价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）在实际销售过程中，商店按标价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯按标价的九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按标价售出了多少只？ 24．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 b 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求a，b的值． （2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？ 25．根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）如果放入10个球，使水面上升到50cm，放入的大球、小球各多少个？ （2）现放入若干个球，使水面升高21cm，且小球个数为奇数，问有几种可能？请一一列出（写出结果即可）． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．【解答】解：A．y﹣x＝1是整式方程，含x和y两个未知数，所有含未知数的项的次数均为1，符合定义，符合题意； B．x+xy＝7中xy项的次数为2，不符合定义，不符合题意； C． 中是分式，该式不是整式方程，不符合定义，不符合题意； D．x2﹣2x+1＝0只含有一个未知数，且x2的次数为2，不符合定义，不符合题意． 故选：A． 2．【解答】解：把各选项的数据代入方程再逐项分析判断如下： A、将代入x﹣2y＝3，则3﹣0＝3，该选项符合题意； B、将代入x﹣2y＝3，则2﹣2×（﹣1）＝4≠3，该选项不符合题意； C、将代入x﹣2y＝3，则1﹣2×（﹣2）＝5≠3，该选项不符合题意； D、将代入x﹣2y＝3，则4﹣2×1＝2≠3，该选项不符合题意． 故选：A． 3．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只， 由一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，可得方程x+y＝35， 由下面数共有94只脚，可得方程2x+4y＝94， 故可列方程组， 故选：A． 4．【解答】解：根据加减消元法可知： ①﹣②×2得10y＝13， 观察四个选项，选项C符合题意． 故选：C． 5．【解答】解：， ①﹣②得：（3x+2y）﹣（2x+3y）＝（m+2）﹣3m， 即x﹣y＝2﹣2m， 由题意知x＝y， ∴x﹣y＝0， ∴2﹣2m＝0， ∴2m＝2， 系数化为1，得m＝1， 即m的值是1， 故选：B． 6．【解答】解：关于x，y的二元一次方程组， ①+②得，2x+2y＝4+2a， 即：x+y＝2+a， （1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0， ∴a＝﹣2，故①正确， （2）②原方程组的解满足x+y＝2+a， 当a＝1时，x+y＝3， 而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6， 因此②不正确， （3）方程组，解得， ∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3， 因此③是正确的， （4）方程组， 由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得， x﹣y＝3（4﹣x﹣3y）， 即；y＝﹣+ 因此④是正确的， 故选：D． 二．填空题（共11小题） 7．【解答】解：∵方程（a﹣2）x+3y|a﹣1|＝1是关于x，y的二元一次方程， ∴a﹣2≠0且|a﹣1|＝1， 即a≠2且a＝2或0， ∴a＝0． 故答案为：0． 8．【解答】解：把代入二元一次方程2x+3y＝10中，得2×2+3m＝10， 4+3m＝10， 3m＝6， 解得m＝2． 故答案为：2． 9．【解答】解：把方程中的y替换为2x﹣3，得x﹣（2x﹣3）＝﹣5． 故答案为：x﹣（2x﹣3）＝﹣5． 10．【解答】解：， ①×3+②得：10x＝5， 解得：x＝， 把x＝代入①得：2×﹣y＝5， 解得：y＝﹣4， 所以方程组的解是． 故答案为：． 11．【解答】解：∵|x﹣2y+4|+（2x+5y﹣1）2＝0， ∴， ∴x＝﹣2，y＝1， ∴（x+y）2026＝（﹣2+1）2026＝1． 故答案为：1． 12．【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b， 由图可知， 解得， ∴19×13﹣6×10×3＝67， ∴阴影部分的面积是67． 故答案为67． 13．【解答】解：设圆规的单价是x元/个，三角板的单价是y元/副， 根据题意得：， （①+②）×得：15x+15y＝157.5， ∴王老师在该店购买了这种圆规和三角板各15件共用157.5元． 故答案为：157.5． 14．【解答】解：由题意，∵， ∴x+y+y+z+z+x＝2+（﹣3）+5， ∴2（x+y+z）＝2+（﹣3）+5， ∴2（x+y+z）＝4， ∴x+y+z＝2． 故答案为：2． 15．【解答】解：把x＝4代入方程x﹣y＝7， 得y＝﹣3， ∴△＝﹣3， 把x＝4，y＝﹣3代入方程3x+2y＝□， 得□＝6， ∵﹣3＜6， ∴这两个数中较小的一个数的值为﹣3， 故答案为：﹣3． 16．【解答】解：将代入， 得， 方程组转化为： 则， 解得． 故答案为：． 17．【解答】解：设P的工作效率为x，Q的工作效率为y，依题意得 ①， 解得y＝（与Q的工作效率不大于不相符，舍去）； ②， 解得， ∴x÷y＝， 故答案为． 三．解答题（共8小题） 18．【解答】解：（1）， 将①代入②解得：x＝2， 将x＝2代入①得：y＝2×2﹣3＝1， 则原方程组的解是； （2）， ②×2﹣①解得：y＝2， 把y＝2代入②解得：x＝5， 则原方程组的解为． 19．【解答】解：①×2﹣②式，得 （2a+1）y＝﹣5． ∵a是正整数，y为整数 ∴2a+1＝5，y＝﹣1， 解得：a＝2． 此时，x＝2，符合题意． ∴a＝2． 20．【解答】解：（1）方程组的解x与y不是具有“邻好关系”，理由如下： ， ①﹣②得：y＝1， 把y＝1代入②得：x＝5， ∴方程组的解， ∵|x﹣y|＝|5﹣1|＝4≠1， ∴方程组的解x与y不是具有“邻好关系”； （2）， ①+②得：x＝m+1， 把x＝m+1代入①得：y＝2m+4， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴|m+1﹣（2m+4）|＝1， |m+1﹣2m﹣4|＝1， |﹣m﹣3|＝1， ﹣m﹣3＝±1， 解得：m＝﹣2或﹣4； 21．【解答】解：（1）根据题意可知，， 解得：， ∴m的值为5，n的值为﹣1； （2）由（1）得， ∴x※y＝5x﹣y， ∴2※1＝5×2﹣1＝9， ∴2※1的值为9． 22．【解答】解：设甲原来有x钱，乙原来有y钱， 根据题意得：， 解得：． 答：甲原来有36钱，乙原来有24钱． 23．【解答】解：（1）设该商店购进x只甲型号节能灯，y只乙型号节能灯， 根据题意得：， 解得：． 答：该商店购进60只甲型号节能灯，40只乙型号节能灯； （2）设乙型号节能灯按标价售出了m只，则按标价的九折售出了（40﹣m）只， 根据题意得：25×60+40m+40×0.9（40﹣m）﹣2600＝380， 解得：m＝10． 答：乙型号节能灯按标价售出了10只． 24．【解答】解：（1）根据题意可得， ， 解得，， 即a的值是2.2，b的值是4.2； （2）设小王家6月份用水x吨， 根据题意知，30吨的水费为：17×2.2+13×4.2+30×0.8＝116， ∵184＞116， ∴小王家6月份计划用水超过了30吨 ∴6.0（x﹣30）+116+0.80×（x﹣30）＝184， 解得，x＝40 即小王家6月份用水量40吨． 25．【解答】解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得3x＝32﹣26，解得x＝2； 设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得2y＝32﹣26，解得：y＝3． 所以，放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm， 设应放入大球m个，小球n个．由题意， 得， 解得：， 答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个； （2）设放入小球a个，大球b个， 根据题意，得：2a+3b＝21， ①当a＝0时，b＝7； ②当a＝3时，b＝5； ③当a＝6时，b＝3； ④当a＝9时，b＝1． 又∵小球个数为奇数个， ∴a＝3，b＝5或a＝9，b＝1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $