宁夏吴忠市吴忠中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

**基本信息** 高二数学期中试卷涵盖概率统计、函数导数、排列组合等模块，以排课问题、昼夜温差发芽数统计等实例，融合数学眼光观察、思维推理与语言表达，适配期中阶段性能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|排列、概率、导数应用|第1题以排课情境考有限制条件排列，体现数学眼光| |多选题|3/18|统计回归、函数性质|第9题结合利润数据考回归分析，强化数据观念| |填空题|3/15|二项式定理、涂色问题|第13题圆环涂色考分步计数，注重逻辑推理| |解答题|5/77|统计建模、导数综合、椭圆证明|15题用温差与发芽数数据建回归模型，19题导数极值点讨论，突出数学语言表达与创新应用|

吴忠中学中学2025—2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷（答案） 1．C 【详解】优先安排受限科目外语，外语只能排第、节，共种排法. 剩余语文、数学、体育三门课全排列，有种排法. 由分步乘法计数原理，总排课方法：种. 2．B 【分析】根据分布列的性质可得出关于的等式或不等式，解之即可. 【详解】由分布列的性质可得，即，解得. 3．A 【详解】设事件为第一次取出白球，事件为第二次取出红球， 则，， 所以． 4．B 【详解】由二项式系数的对称性可知，当只有第4项的二项式系数最大时，共有7项，即， 由可知，第项， 当时，解得，则的系数为. 5．C 【分析】令，计算可判断A；由相关系数的性质可判断B；对所给式两边取自然对数，计算可判断C；利用二项式展开式的通项公式计算可判断D. 【详解】对于A，令，可得二项展开式中所有系数之和为，故A错误； 对于B，样本相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强，反之，线性相关程度越弱，故B错误； 对于C，对，两边取对数得， 设，则，又线性回归方程，则， 则，，故C正确； 对于D，的展开式的通项公式为， 令，解得，所以常数项是第10项，故D错误. 故选：C. 6．C 【分析】直接构造函数，再用导数判断函数的单调性，进而可判断AC选项，对BD选项通过举反例可得. 【详解】令，则，所以在上单调递减， 因为，所以，即，故A错误，C正确； 对于BD，举反例，取，则， 若，则，得， 若，则，，得， 所以BD选项无法对任意成立，故BD错误. 7．D 【分析】构造函数 ，将问题转化为比较函数值大小即可. 【详解】设，可得，，， 对求导得，令，解得； 当时，，即，在上单调递减. 因为，由单调性得 ，即 . 8．B 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合函数性质作函数的图象，条件 恰有个零点可转化为直线与的图象恰有2个交点，结合图象求结论. 【详解】当时，，则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数的取值范围为． 作出的大致图象，如图所示． 由，得， 由图可知，当时，直线与的图象恰有2个交点， 即恰有2个零点． 所以的取值范围是. 9．ACD 【分析】根据回归方程判断与成正相关，即可判断A；求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，即可判断BC；令求出，即可预测第7年的利润，即可判断D. 【详解】因为回归直线方程为，且，所以与成正相关，故A正确； 由题意可得：，， 因为回归直线方程为必过样本中心点，故B错误； 则，解得，故C正确； 当时，，即该公司第7年的利润约为9亿元，故D正确. 10．BD 【详解】由得，，故，故A错误； 当时，，故，故B正确； 由得；由得； 则在上单调递增，在上单调递减， 故的最小值为，故C错误，D正确. 11．ACD 【分析】分析可知，，进而列举.对于A：可知的最大值为，即可判断；对于B：结合二项式性质分析判断即可；对于C：分析数的正负性结合组合数分析求解；对于D：分类讨论和项是否为0，结合组合数运算求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为，， 则，， 可得依次为. 对于选项A：因为的最大值为，所以，，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：若两个数的积为正数，则从任取两项或从任取两项， 所以不同的取法共有种，故C正确； 对于选项D：因为，共有4组， 若从选择一组，再从剩余的数中选择1个，不同的取法共有种； 检验可知，不同的取法共有种； 综上所述：不同的取法共有种，故D正确； 故选：ACD. 12．672 【分析】根据二项展开式的通项公式即可求解． 【详解】的展开式的通项公式为， 令，即， 所以常数项为． 13．12 【详解】若AD同色，3种颜色（全部用完），有种， 若BC同色，3种颜色（全部用完），有种， 所以共有6+6=12种. 14． 【分析】通过，对于结合基本不等式求得最小值，对于通过求导确定最小值，即可求解. 【详解】对任意，存在使得， 等价于 ， ， 令，得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 因此最小值为： ， ， ， ， 当且仅当等号成立， ，故 因为，所以，即， ， 因此正数的最小值为. 15．(1) (2)， 【分析】（1）根据条件，直接计算，即可求解； （2）根据条件，直接求出，即可求出线性回归方程，再将代入，即可求解. 【详解】（1）相关系数． （2）由题意得，， 所以，， 所以所求的经验回归方程是， 当时，， 故当昼夜温差为时，这种植物种子当日百粒发芽数为． 16．(1)增区间为，减区间为，极小值为 (2) 【分析】（1）直接对已知函数求导，根据导数符号与原函数单调性的关系即可得解； （2）分离参数，将原问题等价变形为当时，“”恒成立，构造函数，，利用导数求出它的最大值即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，. 令，解得. 与在区间上的情况如下： x - 0 + 极小值 故的增区间为，减区间为，在处有极小值为； （2）当时，“”恒成立等价于当时，“”恒成立， 令，，则，. 当时，，所以在区间上单调递减. 当时，，所以在区间上单调递增. 而，， 所以在区间上的最大值为. 所以当时，对于任意，都有. 综上所述，满足题意的实数的取值范围是. 17．(1) (2)， 【分析】（1）根据等差中项的性质、等比数列的通项公式以及前项和公式即可求解； （2）根据裂项相消求出，然后由数列的单调性即可求出的取值范围. 【详解】（1）设等比数列的公比为，首项为 由是和的等差中项可得： ， 代入等比通项，约去非零的得： ，因为，所以， 又，代入等比前项和公式： ， 因此通项公式为： . （2） ， 则， ，且随增大单调递减，因此单调递增，所以， 故满足题意的的取值范围为. 18．(1) (2)证明见解析，定点E为． 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量，即可得出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，设点，，， 将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线并化简，由此可得出直线所过定点的坐标. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆C的方程为． （2）由对称性，若直线BD过定点E，则该定点E必在x轴上， 由题得，设直线， 设，，， 联立方程，得， 所以有，， 因为，所以直线BD的方程为， 令，得 由，，得， 将代入（*）， 则， 故直线BD过定点，即定点E为． 19．(1) (2)当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在给定点的切线斜率列方程求解即得； （2）将函数求导后，根据参数的取值进行分类，判断导函数的符号，即可确定函数的单调性； （3）由（2）的结论分析得，易得，设，则有，计算并化简得，设，求导分析其单调性可得，再由，利用函数单调性即可求得答案. 【详解】（1）由求导得， 依题意，，解得 （2）因函数的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 即此时函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减； 若，由解得， 由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）分析可知，存在两个极值点，则 此时是方程的两个实根，则. 由 ， 设，则，将代入，化简得，， 则，， 设，则，故函数在上单调递增， 由题意，，且，即有，故可得， 又因，函数在上单调递增，故， 又因，故得. 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠中学中学2025—2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．某班上午要上语文、数学、外语和体育四门课，外语老师因故不能上第三节和第四节，不同的排课方法有（   ） A．6种 B．8种 C．12种 D．20种 2．离散型随机变量的分布列为：则（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知一个袋中有大小相同的5个红球，3个白球，从中不放回地依次摸取2个球，则第二次取出红球的前提下，第一次取出白球的概率是（    ） A． B． C． D． 4．若二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的的系数为（   ） A．20 B． C． D．15 5．下列说法正确的是（   ） A．二项展开式中所有系数之和为 B．样本相关系数r越大，两个变量的线性相关程度越强，反之，线性相关程度越弱 C．以模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性回归方程，则c，k的值分别是和0.3 D．展开式中，常数项是第9项 6．已知函数在其定义域内可导，且满足，则对任意的实数，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，其中为自然常数（），则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分． 9．某公司近5年的利润情况如下表所示： 第年 1 2 3 4 5 利润/亿元 2 3 4 5 7 利用最小二乘法计算数据，得到的经验回归方程为，则（   ） A．变量与正相关 B．回归直线一定过点 C． D．预测该公司第7年的利润约为9亿元 10．已知函数，则（   ） A． B．当时， C．在上单调递增 D．的最小值为 11．若，则（   ） A．（） B． C．从，，…，这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种 D．从，，，…，这8个数中任取3个，这三个数的和等于，，，…，中某数的取法有28种 三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分． 12．的展开式中的常数项为________．（用数字表示） 13．如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为_______.（用数字作答） 14．函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数k的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．为研究昼夜温差（单位：）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示： 日期编号 1 2 3 4 5 6 温差 9 13 11 15 10 14 百粒发芽数 23 28 26 31 25 29 (1)根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）； (2)求百粒发芽数关于温差的经验回归方程，并估计昼夜温差为时，这种植物种子当日的百粒发芽数． 参考公式：相关系数， ，， 参考数据：，，，． 16．已知函数. (1)求的单调区间和极值； (2)若对于任意，都有，求实数的取值范围. 17．已知为等比数列的前n项和，若是和的等差中项，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前n项和为，求的表达式；若恒成立，求实数m的取值范围. 18．已知椭圆的离心率为，其短轴长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线，过椭圆右焦点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，过点A作，垂足为D．求证：直线BD过定点E，并求出定点E的坐标； 19．已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第10页，共11页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $