精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试卷

平罗中学2025-2026学年度第二学期期中考试试卷 高二数学 满分：150分 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为 6. 已知函数是周期为的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的点数为，第二次正面向上的点数为b，记事件“a为奇数”，事件“”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在的展开式中，则（ ） A. 展开式共有7项 B. 常数项是第4项 C. 各二项式系数的和为 D. 各项系数的和为 10. 已知随机变量，.若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则__________． 13. 某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有______种（用数字作答）． 14. 三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值． 16. 盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出一个黑色球得分，现从盒内任取3个球. （1）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； （2）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望. 17. 2025年由教育部及各省教育厅组织的九省联考，全程模拟高考及考后的志愿填报等．某高中分别随机调研了50名男同学和50名女同学对计算机专业感兴趣的情况，其中男同学感兴趣有40名，女同学不感兴趣有20名. （1）请完善下面列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关； 对计算机专业感兴趣 对计算机专业不感兴趣 合计 男同学 女同学 合计 （2）将样本的频率作为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，求其中对计算机专业感兴趣的学生人数的期望和方差． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 附：，其中． 18. 为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）. 月份编号 1 2 3 4 5 日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 1.5 根据表格数据得到如图所示的散点图. （1）根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； （2）由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数； （3）假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天. 附： ①样本相关系数； ②回归直线的斜率的最小二乘估计为； ③； ④若，则. 19. 甲对某运动项目进行挑战，若第一天挑战不成功，则第二天继续挑战；若第一天挑战成功，则第二天休息一天，第三天继续挑战，依此类推…假设甲挑战成功的概率均为，设第天甲挑战的概率为． （1）求，； （2）求证数列为等比数列，并求； （3）若随机变量服从两点分布，且，，则．记前天（即从第1天到第天）中甲挑战的天数为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年度第二学期期中考试试卷 高二数学 满分：150分 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定是：“，” 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】化简条件，根据充分、必要条件的概念判断“”是“”的关系. 【详解】因为. 由“”能推出“”，但“”不能推出“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 5. 已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归方程为过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 6. 已知函数是周期为的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用周期为和奇函数的性质将转化为，再结合时，，求出，进而得出结果. 【详解】因为函数是周期为的奇函数，所以， 又当时，，所以，则. 故选：A. 7. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的点数为，第二次正面向上的点数为b，记事件“a为奇数”，事件“”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求与，利用条件概率计算公式进行计算即可. 【详解】试验的样本点用表示，则满足的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，所以. 又其中为奇数的有9个，即. 所以. 故选：D. 8. 已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】换元转化令，由指数函数性质得，原函数可转化为二次函数： 恒成立等价于对任意恒成立， 分离参数求范围对（）移项得：对任意恒成立， 因此只需， 对有： 当且仅当即时取等号，因此， 即，故的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在的展开式中，则（ ） A. 展开式共有7项 B. 常数项是第4项 C. 各二项式系数的和为 D. 各项系数的和为 【答案】ABC 【解析】 【详解】由知，其展开式共有7项，且二项式系数的和为，A、C对， 由该二项式的展开式的通项为， 令，则常数项为第四项，B对， 令，则各项系数的和为，D错. 10. 已知随机变量，.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由条件结合正态分布对称性求即可判断，对于B，由正态分布的期望结论求，由二项分布的期望公式求，列方程求即可判断，对于C，根据正态分布的方差结论求，根据二项分布方差公式求，由此即可判断，对于D，根据方差性质即可判断. 【详解】对于A，因为，，所以，A正确. 对于B，由，得，则，解得，B正确. 对于C，，，所以，C错误. 对于D，，D错误. 11. 已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇函数定义求出判断A；由指数函数单调性确定单调性判断B；求出值域判断C；利用性质求出解集判断D. 【详解】A选项，因为为奇函数，且定义域为，所以，代入解得：， 验证：当时，，，即，所以A选项正确； B选项，由A选项解析得：，即， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 则在上单调递增，所以B选项错误； C选项，令，则，，因为，所以，， ，则：，的值域为，所以C选项正确； D选项，因为，所以，又因为是奇函数，所以， 原不等式变形为：，由B选项解析得：在上单调递增， 所以需满足，解得：，所以D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】代入计算即可. 【详解】. 故答案为： 13. 某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有______种（用数字作答）． 【答案】18 【解析】 【分析】结合排列组合知识，按照分类加法原理和分步乘法原理求解即可. 【详解】先将3名男生和2名女生按要求分成两组，有两类分组方法： 第一类：由1男1女组成一组，其余2男1女组成一组，有种分法； 第二类：由1男2女组成一组，其余2男组成一组，有种分法. 所以共有种分组方法. 再将分好的两组分配到甲、乙两地参加社会调研，有种分法， 根据乘法分步原理，不同的安排方案有种. 14. 三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】用表示“取到第批产品”，用表示“取到次品” 则，， 则 ； . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值． 【答案】（1）， （2）9 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集，确定且的两根为和，再结合韦达定理即可求解； （2）先由题中条件，得到，再由展开后利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）不等式的解集为，则，且的两根为和， 则，所以； （2）由，可得，即. 又，所以， 当且仅当时，即时等号成立. 16. 盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出一个黑色球得分，现从盒内任取3个球. （1）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； （2）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式求解即可； （2）由已知可得的可能取值，然后分别计算概率即可得分布列，根据数学期望的计算公式求解即可. 【小问1详解】 从个球中任取个球，总的基本事件个数为， 若取出的3个球得分之和恰为1分，包含的情况有两种： 红白，包含的基本事件个数为， 红黑，包含的基本事件个数为， 所以取出的3个球得分之和恰为1分的概率为； 【小问2详解】 由已知可得的可能取值为，，，， ，， ，， 的分布列为 . 17. 2025年由教育部及各省教育厅组织的九省联考，全程模拟高考及考后的志愿填报等．某高中分别随机调研了50名男同学和50名女同学对计算机专业感兴趣的情况，其中男同学感兴趣有40名，女同学不感兴趣有20名. （1）请完善下面列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关； 对计算机专业感兴趣 对计算机专业不感兴趣 合计 男同学 女同学 合计 （2）将样本的频率作为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，求其中对计算机专业感兴趣的学生人数的期望和方差． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 附：，其中． 【答案】（1） 对计算机专业感兴趣 对计算机专业不感兴趣 合计 男同学 40 10 50 女同学 30 20 50 合计 70 30 100 认为该校学生对计算机专业感兴趣与性别无关； （2）期望为21，方差为6.3 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，完善列联表，再计算的观测值，与临界值表比对即可. （2）求出该校学生对计算机专业感兴趣概率，利用二项分布的期望、方差公式求解. 【小问1详解】 依题意，列联表为： 对计算机专业感兴趣 对计算机专业不感兴趣 合计 男同学 40 10 50 女同学 30 20 50 合计 70 30 100 零假设：该校学生对计算机专业感兴趣与性别无关， 根据列联表中数据经计算得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此认为成立，即认为该校学生对计算机专业感兴趣与性别无关. 【小问2详解】 由（1）得该校学生对计算机专业感兴趣概率， 从全校的学生中随机抽取30名学生，对计算机专业感兴趣的学生人数为， 则，， 所以对计算机专业感兴趣的学生人数的期望为21，方差为6.3. 18. 为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）. 月份编号 1 2 3 4 5 日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 1.5 根据表格数据得到如图所示的散点图. （1）根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； （2）由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数； （3）假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天. 附： ①样本相关系数； ②回归直线的斜率的最小二乘估计为； ③； ④若，则. 【答案】（1）0.997，与的线性相关程度强； （2），1.78 （3）该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天. 【解析】 【分析】（1）由散点图可知与之间线性相关，用不同公式计算可知相关系数，即线性相关程度强； （2）用不同的公式计算出回归直线方程为，将代入可得出估计值为1.78. （3）依题意可知，再结合正态分布的对称性计算即可. 本小题主要考查变量间的相关关系､样本相关系数､一元线性回归方程､正态分布的等知识；考查运算求解能力等；考查数形结合思想､化归与转化思想､或然与必然思想等；体现综合性､应用性，导向对数学建模､数学运算核心素养的关注. 【小问1详解】 解法一： 根据散点图直观判断与之间线性相关. 因为， 所以与的线性相关程度强； （也可利用“”或“接近1”判断相关程度强） 解法二： 根据散点图直观判断与之间线性相关. 因为， ，，， ， 所以与的线性相关程度强； （也可利用“”或“接近1”判断相关程度强） 【小问2详解】 解法一： 设，则， 所以， 故时，. 解法二： 设，则， 所以， 故时，. 【小问3详解】 依题意，得， 由正态分布性质，可知. 因为， 所以. 因为， 所以该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天. 19. 甲对某运动项目进行挑战，若第一天挑战不成功，则第二天继续挑战；若第一天挑战成功，则第二天休息一天，第三天继续挑战，依此类推…假设甲挑战成功的概率均为，设第天甲挑战的概率为． （1）求，； （2）求证数列为等比数列，并求； （3）若随机变量服从两点分布，且，，则．记前天（即从第1天到第天）中甲挑战的天数为，求． 【答案】（1），. （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据对立事件概率公式和独立事件乘法公式求解即可； （2）由，即可得，即可利用等比数列定义证明结论，然后利用等比数列的通项公式求解即可； （3）利用两点分布求得，然后利用等比数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 根据题意，. 【小问2详解】 当时，，所以，又, 所以是以为首，为公比的等比数列，所以， 即. 【小问3详解】 因为，， 所以，     因为，， 所以当时，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $