7.4 直线、平面垂直的判定与性质 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质核心考点，涵盖线面角、二面角等高考高频内容，按知识清单梳理定义定理、自主诊断辨析易错点、命题点分类突破、跟踪训练强化应用的逻辑架构组织，通过考点梳理、方法指导、真题演练环节帮助学生构建空间垂直关系的认知体系。 讲义采用问题链驱动与模型建构教学法，如例2结合矩形模型通过线线垂直转化证线面垂直，跟踪训练衔接教材题培养推理能力，设置基础诊断、中档例题、综合训练分层练习，助力学生提升空间观念与规范证明能力，为教师精准把控复习节奏、高效突破高考难点提供实用指导。

第四节　直线、平面垂直的判定与性质 知识清单 1.直线与平面垂直 (1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. (2)判定定理与性质定理 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的________所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是________． (2)范围：________． 3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的________所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作________________的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围：________． 4．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 【常用结论】 1．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． 2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 5．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(　　) (2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　) (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面．(　　) (4)垂直于同一个平面的两个平面平行．(　　) 2．(人教A版必修二P162习题T1(1))若空间中四条不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下面结论正确的是(　　) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C.l1，l4既不垂直也不平行 D．l1，l4的位置关系不确定 3．(人教A版必修二P159练习T2)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　　) A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥α，a∥β D．a∥α，a⊥β 4．(人教A版必修二P152T4)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心； (2)若PA＝PB＝PC，∠ACB＝90°，则点O是AB边的________点； (3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的________心． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　与线、面垂直相关命题的判定 例1 (2026·重庆渝北模拟)已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，则下面命题正确的是(　　) A．m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β⇒α∥β B．l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α⇒l⊥α C．m⊥α，m∥n，n⊥β⇒α∥β D．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l⇒m⊥α [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)借助几何图形来说明． (2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确． (3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明． 跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P171复习参考题T16)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　) A．α∥β，l∥α B．α与β相交，且交线平行于l C．α⊥β，l⊥β D．α与β相交，且交线垂直于l 命题点二　直线与平面垂直的判定与性质 例2 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F. (1)求证：AE⊥平面PBC； (2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD. [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)证明线面垂直的关键是证线线垂直，寻找线线垂直则需借助线面垂直的性质以及勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线、矩形邻边垂直、菱形对角线垂直等． (2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α. ②a∥β，a⊥α⇒α⊥β. 跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P171复习参考题T12)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证： (1)B1D⊥平面A1BC1； (2)B1D与平面A1BC1的交点H是△A1C1B的重心． 命题点三　平面与平面垂直的判定与性质 考向1　平面与平面垂直的判定 例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱长均为2，四边形ABCD是矩形，BC＝8，CD＝12. 证明：平面PCD⊥平面PAB. [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)两种方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β). (2)一个转化：利用面面垂直的判定定理证明两个平面垂直，通常是通过线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的． 跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P165习题T21)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 考向2　平面与平面垂直的性质 例4 如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC＝2. 证明：EF⊥BD. [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，因此已知条件中涉及面面垂直时，常在一个平面内作交线的垂线，将其转化为线面垂直． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P164复习参考题T14)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点． 求证：AM⊥平面PCD. 提示：请完成课时作业42 第四节　直线、平面垂直的判定与性质 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)任意一条　(2)两条相交直线　m⊂α　n⊂α　m∩n＝P　l⊥m　l⊥n　a⊥α　b⊥α 2．(1)射影　　0　(2) 3．(1)两个半平面　(2)垂直于棱l　(3)[0，π] 4．(1)直二面角　(2)垂线　a⊂α　a⊥β　交线　α⊥β　α∩β＝a　l⊥a　l⊂β 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．答案：D 3．解析：对于A，由α⊥γ，β⊥γ，得α与β可能平行，故A错误；对于B，当α与β相交但不垂直时，也会有b⊥a，b⊂β，故B错误；对于C，当a∥α，a∥β时，α与β可能平行，故C错误；对于D，当a∥α，a⊥β时，过直线a做平面与平面α交于直线b，∴a∥b，又∵a⊥β，∴b⊥β，又∵b⊂α，∴α⊥β，故D正确．故选D. 答案：D 4． 解析：(1)因为PO⊥α，且OA，OB，OC⊂α，所以PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，因为PA＝PB＝PC，所以△POA≌△POB≌△POC，所以OA＝OB＝OC，因此点O是△ABC的外心． (2)由(1)知，点O是△ABC的外心，因为△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，所以点O是AB边的中点． (3)因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC，因为PO⊥α，BC⊂α，所以PO⊥BC，因为PA∩PO＝P，PA，PO⊂平面PAO，所以BC⊥平面PAO，又因为AO⊂平面PAO，所以AO⊥BC，同理可证BO⊥AC，CO⊥AB，因此点O是△ABC的垂心． 答案：(1)外　(2)中　(3)垂 考教衔接·活用教材 例1　解析：对于A，当m∩n＝A时，若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则由面面平行的判定定理可得α∥β，当m∥n时，则α，β平行或相交，故A错误；对于B，当m∩n＝A时，若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则由线面垂直的判定定理可得l⊥α，当m∥n时，则l与α不一定垂直，故B错误；对于C，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又因为n⊥β，所以α∥β，故C正确；对于D，当m⊂β时，若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则由面面垂直的性质可得m⊥α，当m⊄β时，则m⊂α或m与α相交，故D错误．故选C. 答案：C 跟踪训练　解析：如果α∥β，由m⊥α，可得m⊥β，又n⊥β，可得m∥n，与m，n为异面直线矛盾，故A错误；如果α⊥β，又m⊥平面α，n⊥平面β，由线面垂直和面面垂直的性质，可得m⊥n，将m，n平移至相交直线，可得l垂直于相交直线确定的平面，可得l可能平行于β，故C错误；平移m，n至相交直线，设相交直线确定的平面为γ，可得α⊥γ，β⊥γ，由α，β相交，设交线为b，可得b⊥γ，由l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，可得l⊥γ，所以l∥b，故B正确，D错误．故选B. 答案：B 例2　证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB. ∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PA， 又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB， 又AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC， 又AE⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC. (2)∵PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC， 又AF⊥PC，AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF， ∴PC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴PC⊥AG， ∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD， ∵PA⊥平面ABCD， ∴CD⊥PA，又PA∩AD＝A，AD，PA⊂平面PAD， ∴CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，∴CD⊥AG， 由PC⊥AG，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AG⊥平面PCD， ∵PD⊂平面PCD，∴AG⊥PD. 跟踪训练　证明：(1)连接B1D1，BD，则B1D1⊥A1C1. 又因为BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1. 又因为BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， 所以A1C1⊥平面BB1D1D. 又因为B1D⊂平面BB1D1D，所以B1D⊥A1C1. 同理，B1D⊥A1B. 又因为A1B∩A1C1＝A1，A1B，A1C1⊂平面A1BC1， 所以B1D⊥平面A1BC1. (2)连接BH，C1H，A1H，由(1)知A1C1⊥BH，A1B⊥C1H， 所以H为△A1C1B的高的交点，H为△A1C1B的垂心． 又因为△A1C1B为正三角形，所以H为△A1C1B的重心． 例3　 证明：连接AC，BD交于点O，记AB，CD的中点分别为G，F，连接PG，GF，PF，PO， 在△PAC，△PBD中，PA＝PC，PB＝PD，O是AC，BD的中点， 所以PO⊥AC，PO⊥BD， 因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD， 因为AB⊂平面ABCD，所以PO⊥AB， 在矩形ABCD中，GF⊥AB， 因为PO∩GF＝O，PO，GF⊂平面PGF，所以AB⊥平面PGF， 因为PF⊂平面PGF，所以AB⊥PF， 由PF＝，同理得PG＝4，又GF＝BC＝8， 所以GF2＝PF2＋PG2，即PF⊥PG， 因为AB∩PG＝G，AB，PG⊂平面PAB，所以PF⊥平面PAB, 因为PF⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAB. 跟踪训练　解析：平面AEF与平面PBC相互垂直． 证明如下：∵PA⊥底面ABCD，AB，BC⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥BC，又PA＝AB， ∴△PAB为等腰直角三角形． ∵E为线段PB的中点，∴AE⊥PB. ∵底面ABCD为正方形，∴AB⊥BC. ∵PA⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB. ∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC. ∵AE⊥PB，BC∩PB＝B，PB，BC⊂平面PBC， ∴AE⊥平面PBC. ∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC. 例4　证明：过点D作DO⊥AC于点O，连接OB， 因为平面ACFD⊥平面ABC，交线为AC，DO⊂平面ACFD， 所以DO⊥平面ABC， 因为BC⊂平面ABC，所以DO⊥BC， 因为∠ACD＝45°，所以CD＝CO， 又DC＝2BC＝2，所以CO＝2，BC＝， 又∠ACB＝45°，在△OBC中， 由余弦定理得BO＝ ＝ ， 故BO2＋BC2＝CO2，由勾股定理逆定理得BO⊥BC， 因为DO∩BO＝O，DO，BO⊂平面BOD，所以BC⊥平面BOD， 又BD⊂平面BOD，所以BC⊥BD， 又三棱台ABCDEF中，EF∥BC，所以EF⊥BD. 跟踪训练　证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD， 又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD， 所以CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD， 所以CD⊥AM， 因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，则AM⊥PD， 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， 所以AM⊥平面PCD. 学科网（北京）股份有限公司 $