7.3 直线、平面平行的判定与性质 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦直线、平面平行的判定与性质高考核心考点，以定义、定理为基础，梳理平行间转化关系及常用结论，构建“知识清单-自主诊断-命题点探究”的复习体系，通过考点梳理、方法指导（如辅助线构造策略）、真题训练（教材衔接例题及跟踪练习），帮助学生系统突破线面、面面平行证明难点。 讲义突出分层教学与素养导向，采用“辨析-证明-应用”递进设计，如线面平行判定中引导学生用中位线或平行四边形构造线线平行，培养推理意识与空间观念。设置基础诊断、典例精讲、分层训练环节，配合学霸笔记总结方法，确保学生高效掌握解题逻辑，为教师精准把控复习进度、提升学生应考能力提供有力支持。

第三节　直线、平面平行的判定与性质 知识清单 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． (2)直线与平面平行的判定定理与性质定理 剖析　(1)证明线面平行常用的方法是证明这条直线与平面内的某条直线平行．但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内． (2)辅助线(面)是解(证)线面平行的关键，为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线(面)． 2．平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面． (2)平面与平面平行的判定定理与性质定理 剖析　(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)判定定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行． 【常用结论】 1．平行间的三种转化关系 2．平行问题中的唯一性 (1)过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条． (2)过平面外一点，与该平面平行的平面有且只有一个． 3．(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (3)同一条直线与两个平行平面所成角相等． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　　) (2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　) (3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　) (4)若α∥β，且直线a∥α，则直线a∥β.(　　) 2．(人教A版必修二P143T1(1))若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　　) A．α内所有的直线都与a异面 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内所有的直线都与a相交 D．直线a与平面α有公共点 3．(人教A版必修二P143T1(2))如果直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线(　　) A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，且不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 4．(人教A版必修二P143T2)已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，则α与β的位置关系是________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　与线、面平行相关命题的判定 例1 已知l，m，n是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列结论正确的是(　　) A．若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β B．若l∥α，l∥β，则α∥β C．若l∥m，m⊂α，则l∥α D．若α∥β，β∥γ，则α∥γ [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． 跟踪训练　已知直线a和平面α，若a∥α，则下列说法正确的是(　　) A．若b⊂α，则b∥a B．若α∥β，则a∥β C．若b∥α，则b∥a D．若a∥b，b⊄α，则b∥α 命题点二　直线与平面平行的判定与性质 考向1　直线与平面平行的判定 例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，该长方体的高为4，E为线段AB的中点，F为线段CA1的中点． 求证：EF∥平面ADD1A1. [听课笔记]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)利用线面平行的判定定理．解题的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行及面面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行． (2)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 　跟踪训练　 (衔接·人教A版必修二P143T5)如图，在四面体D-ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证： (1)BD∥平面EFG； (2)AC∥平面EFG. 考向2　直线与平面平行的性质 例3如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PA＝，AD＝1.若四边形ABCD是以AD为上底的梯形，线段PC的中点M满足DM∥平面PAB，求BC的长． [听课笔记]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行，在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行． 判断线段比例或点所在位置或是求线段长度，通过线面平行结合题意构造线线平行，从而找到相似比． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P138例3)如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′C′. (1)要经过平面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ (2)所画的线与平面AC是什么位置关系？ 命题点三　平面与平面平行的判定与性质 例4 如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点． (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF. (2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)证明面面平行的三种常用方法： ①利用面面平行的判定定理； ②利用垂直于同一条直线的两个平面平行； ③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)． (2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P145T13)如图，α∥β∥γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A，B，C和点D，E，F，求证：. 第三节　直线、平面平行的判定与性质 必备知识·助学教材 知识清单 1．(2)此平面内　a⊄α　b⊂α　a∥b　相交　a∥α　a⊂β　α∩β＝b 2．(2)相交直线　a⊂β　b⊂β　a∩b＝P　a∥α　b∥α　相交　交线　α∥β　α∩γ＝a　β∩γ＝b 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．解析：因为直线a与平面α不平行，所以直线a在平面内，或者直线a与α相交，所以直线a与平面α至少有一个公共点． 答案：D 3．解析：根据直线与平面平行的性质定理可知该直线为点P和直线a所确定的平面与平面α的交线，故该直线在平面α内有且只有一条． 答案：C 4．解析：若α∥β，可以保证存在直线a⊂α，直线b⊂β，c⊂β，且a∥b∥c，若α与β相交，交线为l，则也能保证存在直线a⊂α，直线b⊂β，c⊂β，且a∥b∥c. 答案：平行或相交 考教衔接·活用教材 例1　解析：对于A，若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α，β平行或相交，A错误；对于B，若l∥α，l∥β，则α，β平行或相交，B错误；对于C，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，C错误；对于D，若α∥β，β∥γ，则α∥γ，D正确．故选D. 答案：D 跟踪训练　解析：对于A，a∥α，b⊂α，则b，a平行或异面，A错误；对于B，a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β，B错误；对于C，a∥α，b∥α，则b，a可能平行、相交、异面，C错误；对于D，a∥α，则平面α中必存在一条直线l∥a，而a∥b，则l∥b，b⊄α，l⊂α，故b∥α，D正确．故选D. 答案：D 例2　证明：取A1D的中点N，连接NF，AN， 因为F为线段CA1的中点，所以NF为△A1DC的中位线， 故NF∥CD，且NF＝CD， 又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD且AB＝CD， 又E为线段AB的中点，所以AE∥CD且AE＝CD， 所以NF∥AE且NF＝AE，故四边形AEFN为平行四边形， 所以AN∥EF， 又AN⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1，所以EF∥平面ADD1A1. 跟踪训练　证明：(1)∵F，G分别是BC，CD的中点， ∴FG是△BCD的中位线，∴FG∥BD， ∵BD⊄平面EFG，FG⊂平面EFG， ∴BD∥平面EFG. (2)∵E，F分别是AB，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC， ∵AC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG， ∴AC∥平面EFG. 例3　解析：取PB的中点E，连接AE，EM， 因为E，M分别为PB，PC的中点，所以ME∥BC，ME＝BC， 由于ABCD为梯形，且AD∥BC，所以ME∥AD，即ADME四点共面； 因为DM∥平面PAB，DM⊂平面ADME，平面ADME∩平面PAB＝AE， 所以AE∥DM； 又ME∥BC，所以四边形ADME是平行四边形，有ME＝AD， 所以AD＝BC，则BC＝2. 跟踪训练　 解析：(1)如图所示，在平面A′C′内，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，D′C′于点E，F，连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线． 理由是由于BC∥平面A′C′，BC⊂平面BCC′B′，平面BCC′B′∩平面A′C′＝B′C′， 所以BC∥B′C′. 由于EF∥B′C′，所以EF∥BC， 所以B，C，F，E四点共面． (2)由(1)知，EF∥BC，而BC⊂平面AC，EF⊄平面AC， 所以EF∥平面AC.显然，BE，CF都与平面AC相交． 例4　证明：(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点， ∴EF∥A1C1， ∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G， ∴EF∥平面A1C1G， 又F，G分别为A1B1，AB的中点， ∴A1F＝BG，又A1F∥BG， ∴四边形A1GBF为平行四边形， 则BF∥A1G， ∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G， ∴BF∥平面A1C1G， 又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF. ∴平面A1C1G∥平面BEF. (2)∵平面ABC∥平面， 平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1， 平面A1C1G与平面ABC有公共点G， 又平面A1C1G∩BC＝H，GH⊂平面ABC，∴A1C1∥GH，得GH∥AC， ∵G为AB的中点，∴H为BC的中点． 跟踪训练　 证明：如图，连接AF交β于点M，连接MB，CF，ME，AD. 因为β∥γ，β∩平面ACF＝BM，γ∩平面ACF＝CF， 所以BM∥CF，所以. 同理ME∥AD，且， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $