微专题9 重构数列问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦数列重构问题，涵盖公共项问题（等差-等差、等比-等比、等差-等比类型）和添减项问题等核心考点，按问题类型分视角系统梳理，通过考点解析、方法总结（学霸笔记）、真题训练（跟踪训练）等环节，帮助学生构建解题框架，突破数列综合应用难点。 讲义采用分类突破策略与分层训练设计，如公共项问题总结不同数列类型规律，添减项问题通过分组求解培养数学思维，跟踪训练改编自教材习题贴近高考。结合例题精讲与即时巩固，提升学生抽象能力与推理意识，为教师把控复习节奏、学生高效备战提供有力支持。

微专题9　重构数列问题 视角一　公共项问题 例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝，数列{bn}为等比数列，公比为2，且b1，b2＋1，b3为等差数列． (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn. [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)“等差—等差”型：两个等差数列的公共项也构成等差数列，公差为两等差数列公差的最小公倍数(考查较多)． (2)“等比—等比”型：两个等比数列的公共项构成等比数列，公比由原数列的两个公比共同决定，需就题具体分析(考查较少)． (3)“等差—等比”型：此类数列的公共项一般很难找到规律，采用列举法求解即可． 　跟踪训练　(衔接·人教A版选修二P25习题T8改编)已知等差数列{an}：5，8，11，…和等差数列{bn}：3，7，11，…各有100项，问它们有多少个相同的项？记这些共同的项从小到大依次构成数列{cn}，问数列{cn}是否为等差数列？ 视角二　添项或减项问题 例2 (2026·无锡模拟)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，数列{bn}满足b1＋＝n. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)将{bn}中的项按从小到大的顺序插入{an}中，且在任意的ak，ak＋1之间插入(2k－1)项，从而构成一个新数列{cn}，设{cn}的前n项和为Tn，求T100(请用数字作答)． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：第1步：分析原数列→确定原数列的类型，求出原数列的通项公式，对原数列的性质“心中有数”． 第2步：确定原则→提取关键信息，是添项还是减项，如何添、减？若对抽象的数学语言无法理解，就取特例分析． 第3步：分组求解→分组之后，找组与组之间的共性与区别，分析组内数列的项的特征，由此求值或求和． 第4步：做好总结→注意总结每组的情况，最后从“大局”出发给出结论． 　跟踪训练　(2026·衡阳模拟)数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足bn＝nan(n∈N*)，且数列{bn}的前n项和为(n－1)Sn＋2n. (1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式； (2)抽去数列{an}中点第1项，第4项，第7项，…，第(3n－2)项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n. 微专题9　重构数列问题 例1　解析：(1)由Sn＝，得当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，当n＝1时，上式也成立， 所以an＝3n－1. 依题意，b1＋b3＝2(b2＋1)，即b1＋b1·22＝2(b1·2＋1)， 解得b1＝2，所以bn＝2n. (2)数列{an}和{bn}的公共项从小到大依次为21，23，25，27，…， 所以21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，所以cn＝2×4n－1，则Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＝(4n－1)． 跟踪训练　解析：由题易得an＝3n＋2，bn＝4n－1. 假设数列{an}的第n项与数列{bn}的第k项相同，即有3n＋2＝4k－1，所以n＝k－1. 而n∈N*，k∈N*，则k必是3的倍数． 设k＝3t(t∈N*)，所以n＝4t－1. 由题设知，两数列各有100项， 则解得≤t≤， 又t∈N*，故两数列共有25个相同的项． 将n＝4t－1代入an＝3n＋2(或将k＝3t代入bk＝4k－1)， 得a4t－1＝3(4t－1)＋2＝12t－1(或b3t＝12t－1)， 所以ct＝a4t－1＝12t－1，ct＋1＝12(t＋1)－1＝12t＋11，ct＋1－ct＝12(常数)， 故数列{cn}是以12为公差的等差数列． 例2　解析：(1)an＋1＋1＝2(an＋1)，a1＋1＝4≠0，＝2(非0常数)， ∴{an＋1}是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴an＋1＝4×2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－1， b1＋＋…＋＝n　①， b1＋＋…＋＝n－1　②，n≥2， ①－②得＝1，bn＝2n－1(n≥2)． 令n＝1，b1＝1成立，∴bn＝2n－1. (2)　　　a1　　a2　　a3　　a4　…　ak　　ak＋1 　　　　↑　　↑　　↑　 　…　 　↑ 插入 　　 　1项　3项　 5项　　…　　(2k－1)项 项数有 　 　2项　4项　 6项　　…　　　2k项 新数列在ak＋1之前共有项，则≤100， (k＋1)k≤100，k≤9， 当k＝9时，＝90， ∴T100＝(a1＋a2＋…＋a10)＋(b1＋b2＋…＋b90)＝－10＋＝4 096－4－10＋8 100＝12 182. 跟踪训练　解析：(1)由题意得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n，　① 当n＝1时，a1＝2， 当n＝2时，a1＋2a2＝S2＋4＝a1＋a2＋4，所以a2＝4. 当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)，　② ①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝Sn＋(n－2)an＋2， 所以Sn＝2an－2(n≥2)， 当n＝1时，a1＝2，也适合上式， 所以Sn＝2an－2(n∈N*)， 所以Sn－1＝2an－1－2(n≥2)，两式相减得an＝2an－1(n≥2)， 所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＝2n. (2)抽去数列{an}中第1，4，7，…，3n－2项后， 余下的项为a2，a3，a5，a6，a8，a9，…，a3n－1，a3n， 即新数列{cn}的前2n项为c1＝a2，c2＝a3，c3＝a5，c4＝a6，…，c2n－1＝a3n－1，c2n＝a3n， 分组求和：T2n＝(a2＋a3)＝(a5＋a6)＋…＋(a3n－1＋a3n)， 每一组的和为a3k－1＋a3k＝23k－1＋23k＝23k－1(1＋2)＝3·23k－1， 因此T2n＝3·(22＋25＋28＋…＋23n－1) 这是首项为22＝4，公比为23＝8的等比数列求和，项数为n， T2n＝3·＝. 学科网（北京）股份有限公司 $