微专题7平面向量中的最值、范围问题讲义——2027届高三数学一轮复习

微专题7　平面向量中的最值、范围问题 视角一　与平面向量基本定理有关的最值、范围问题 例1 (2026·衡阳模拟)如图，在△ABC中，PC＝2BP，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB＝mAM，AC＝nAN，则的最小值为(　　) A． B． C．3 D．4 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：首先利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系，再运用基本不等式或函数的性质解决． 　跟踪训练　如图，在△ABC中，M为边BC上不同于B，C的任意一点，点N满足.若，则x2＋9y2的最小值为________. 视角二　与数量积有关的最值、范围问题 例2 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是BC边上靠近B点的三等分点，E是BC边上的动点，则的取值范围为(　　) A． B． C． D． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)坐标法：通过建立平面直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理； (2)向量法：运用向量数量积的定义、不等式、函数性质等有关知识解决． 　跟踪训练　(2026·马鞍山模拟)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·的最小值是(　　) A．－ B．－ C．－1 D．－ 视角三　与向量的模有关的最值、范围问题　 例3 (2026·宜昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，＝＝⊥.已知点C(3，4)，则的取值范围是(　　) A．[6，12] B．[6，14] C．[8，12] D．[8，14] [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式，三角函数，再用求最值的方法求解； (2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、平行，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图形求解． 　跟踪训练　已知平面向量x，y，z满足x＝(2，0)，z＝(0，1)，x·y＝2，则|x＋y－z|的最小值为(　　) A． B．1 C．2 D．3 视角四　与向量的夹角有关的最值、范围问题 例4 (2026·周口模拟)平面向量a，b满足|b|＝2|a|，且|a－b|＝3，则b与a－b夹角的余弦值的最大值是(　　) A．－ B．－ C． D． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：求向量夹角的最值、范围问题要根据夹角余弦值的不等式，采用基本不等式或函数的性质求解． 　跟踪训练　已知向量a，b满足|a＋b|＝2|a－b|，则sin 〈a，b〉的最大值为(　　) A． B． C． D． 微专题7　平面向量中的最值、范围问题 例1　解析：＝＝＝)＝，因为AB＝mAM，AC＝nAN，所以＝＋，又M，P，N三点共线，所以＝1.由于m>0，n>0，所以＝()()＝＋2＝，当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．故的最小值为.故选B. 答案：B 跟踪训练　解析：根据题意得＝＝xy.因为M，B，C三点共线，设＝λ(0<λ<1)，则＝λ()，所以＝(1－λ)＋λ，所以所以有x＋y＝1，即x＋y＝(0<y<)，所以x2＋9y2＝(－y)2＋9y2＝10y2－y＋＝10(y－)2＋(0<y<)，所以当y＝时，x2＋9y2取得最小值. 答案： 例2　解析：由cos ∠BAC＝＝－，解得||＝.设＝λ，0≤λ≤1，则·＝()·＝(＋λ)·＝＝·()＋λ＝·＋λ＝－λ∈[－]. 答案：C 跟踪训练　 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，以BC的中点为坐标原点，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，则·()＝2x2－2y＋2y2＝2[x2＋(y－)2－]，∴当x＝0，y＝时，取得最小值2×(－)＝－.故选A. 答案：A 例3　 解析：如图，因为||＝||＝，⊥，则||2＝()2＝＋2·＝4，即||＝2，因为＝＝，又C(3，4)，则||＝5，则||＝|＋2|，因为|||－2|||≤|＋2|≤||＋2||，当且仅当与同方向时，|＋2|max＝||＋2||＝2＋10＝12；当且仅当与反方向时，|＋2|min＝|||－2|||＝10－2＝8，即8≤||≤12.故选C. 答案：C 跟踪训练　解析：设y＝(m，n)，因为x＝(2，0)，x·y＝2，所以2m＝2，得m＝1，得x＋y－z＝(2，0)＋(1，n)－(0，1)＝(3，n－1)，则|x＋y－z|＝，当n＝1时，|x＋y－z|取得最小值3.故选D. 答案：D 例4　解析：由|a－b|＝3，两边平方得a2－2a·b＋b2＝9，又|b|＝2|a|，所以2a·b＝a2＋b2－9＝5a2－9，所以cos 〈b，a－b〉＝＝＝＝＝－(|a|＋)≤－，当且仅当|a|＝时，等号成立，所以b与a－b夹角的余弦值的最大值为－.故选A. 答案：A 跟踪训练　解析：因为|a＋b|＝2|a－b|，两边平方得a2＋b2＋2a·b＝4(a2＋b2－2a·b)，整理得a·b＝(|a|2＋|b|2)，cos 〈a，b〉＝··＝，当且仅当|a|＝|b|时等号成立，所以sin 〈a，b〉≤ ＝.故sin 〈a，b〉的最大值为.故选D. 答案：D 学科网（北京）股份有限公司 $