精品解析：山东省济南市市中区育英中学2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试卷

2025级育英教育集团学科综合能力展示 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法运算，积的乘方，合并同类项逐项进行判断即可． 【详解】A、，原计算错误，该选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； D、，原计算正确，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，积的乘方，合并同类项，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 一个不等边三角形的两边长分别为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边的关系．设第三边长为，根据三角形三边的关系得，据此求解即可． 【详解】解：设第三边长为， 根据题意得，即， 又三角形为不等边三角形，且第三边长为偶数， 为8、12、14，符合条件的三角形有3个， 故选：B． 4. 如图，数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ） A. 边角边 B. 三角形的稳定性 C. 边边边 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的应用，根据O是与的中点，得到，，根据，推出，是． 【详解】解：∵O是与的中点， ∴，， ∵， ∴． 故选：A． 5. 小明为了解水温变化规律，测量并记录了一杯开水在室温下的温度变化情况，如下表： 时间t/min 0 10 20 30 40 50 60 水温/℃ 98 55 35 24 22 22 22 下列说法不正确的是（ ） A. 自变量是时间，因变量是水温 B. 水温随着时间的推移逐渐减小，最后保持不变 C. 依据表格中反映出的规律可知：当min时，水温是 D. 时间每增加10min，水温则降低 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，理解表格是解题的关键． 根据表格的内容，逐一分析判断，即可解答． 【详解】解：选项A：自变量是时间，因变量是水温．自变量是主动变化的量（时间），因变量是随自变量变化的量（水温），描述正确． 选项B：水温随时间逐渐减小，最后保持不变．观察数据，0~40分钟水温从98℃降至22℃，之后稳定在22℃，描述正确． 选项C：当min时，水温为22℃．因40分钟后水温已稳定在22℃，推断70分钟时仍为22℃，描述正确． 选项D：时间每增加10min，水温降低42℃．计算各时段降温幅度： 0~10min：98→55℃，降43℃； 10~20min：55→35℃，降20℃； 20~30min：35→24℃，降11℃； 30~40min：24→22℃，降2℃． 降温幅度并非每10min固定42℃，描述错误． 故选D． 6. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数，下列说法正确的是（ ） A. 出现点数为2的概率是 B. 出现点数为0是随机事件 C. 出现点数为奇数是不可能事件 D. 出现点数为偶数是必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等可能事件的概率计算方法，结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：∵掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数共有6种等可能的结果， ∴对于A选项，出现点数为2的结果只有1种，因此概率为，A正确； 对于B选项，骰子的点数为1到6，不可能出现点数0，因此出现点数为0是不可能事件，B错误； 对于C选项，点数1,3,5都是奇数，可能发生，因此出现点数为奇数是随机事件，C错误； 对于D选项，向上一面的点数也可能是奇数，因此出现点数为偶数是随机事件，D错误． 7. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，，， ， ， ， 故选：B． 8. 在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的形状判定，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①因为，又，所以，解得，能确定是直角三角形； ②设，因为，所以，即，解得，则，能确定是直角三角形； ③由，可得，那么，能确定是直角三角形； ④因为，所以，则，所以是直角三角形； ⑤设，因为，所以， 由，可得，即，解得，则，不能确定是直角三角形． 综上，能确定是直角三角形的条件有①②③④，共4个， 故选：C． 9. 如图，在ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使，则∠FE的度数是（　　） A. B. 90°﹣ C. α﹣90° D. 2α﹣180° 【答案】D 【解析】 【分析】设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，利用平行线的性质，三角形内角和定理构建方程组即可解决问题． 【详解】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x， ∵， ∴，， ∴γ+β＝∠B+∠C＝α， ∵EB′∥FG， ∴∠CFG＝∠CEB′＝y， ∴x+2y＝180°①， 根据平行线的性质和翻折的性质可得：，， ∴， ∵γ+y＝2∠B， 同理可得出：β+x＝2∠C， ∴γ+y+β+x＝2α， ∴x+y＝α②， ②×2﹣①可得x＝2α﹣180°， ∴∠C′FE＝2α﹣180°． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 10. 已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（ ） A. ①③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出的值即可判断④． 【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒， 点运动路程为． 若，则点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意； 对于②，当点到达点时，秒， ，故②符合题意； 对于③，如图所示， 当，时， 点运动的路程为，点运动的路程为． ，， ，． ， ， ， 和不全等， ． ， ， ， 与不垂直，故③不符合题意； 对于④，当时，则，． ， ， ， ， ， ； 当时，则，． ， ， ． ， ， ， 若与全等，则或，故④不符合题意． 综上所述，符合题意的结论为①②． 【点睛】本题是一道动点问题，考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是能充分把握运动过程，找出符合条件时点的位置及满足的数量关系，分类时做到不重不漏． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先把等式两边统一成以为底的幂，再根据同底数幂相等则指数相等列方程求解． 【详解】解：，则， 可得， 解得． 12. 一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），昆虫停在阴影部分的概率为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，会求几何图形的概率是解题的关键； 先求出阴影部分的面积和整个图形的面积，再求概率． 【详解】由图得，阴影部分的面积为：，整个图形的面积为， 昆虫停在阴影部分的概率为． 故答案为：． 13. 如图，在中，的平分线交于点，若，，是的高，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，利用角平分线的定义求出的度数，根据高的定义得出，最后利用直角三角形两锐角互余解答即可求解． 【详解】解：，，  ，  平分，  ，  是 的高，  ，  ，  ． 14. 端午节三天假期的某一天，小明一家上午8点自驾小汽车从家出发，到某旅游景点游玩，该小汽车离家的距离S（千米）与离家的时间t（时）的关系如图所示，则小明一家开车回到家的时间是____点． 【答案】17 【解析】 【分析】利用函数图象中横、纵坐标的意义分别求解． 【详解】解：由图象可得，景点离小明家180千米； 小明从景点回家的行驶速度为：（千米时）， 所以小明一家开车回到家的时间是：（时． 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查对函数图象的理解和掌握，能根据实际问题所反映的内容来观察与理解图象是解答此题的关键． 15. 希望小组的同学在求式子的值（结果用和表示）时遇到了困难．经过合作探究他们想出了如图所示的图形来解释这个式子：设△ABC的面积为，取BC的中点，则有△ABD的面积为，再取AD的中点E，则有△ACE的面积为，再取CE的中点F，则有△DEF的面积为，……照此思路持续取下去．就可利用这个图形求得 的值＝___________． 【答案】 【解析】 【分析】设Sn=，两边都乘以2得2Sn=，然后两式相减即可． 【详解】解：设Sn=， ∴2Sn=， ∴2Sn- Sn=-（）， ∴Sn=． 故答案为． 【点睛】本题考查整式的加减法，掌握整式加减中规律探索的方法是解题关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 当时， 原式 ； 18. 已知：如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是得到． 证明，即可解答． 【详解】证明：， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ． 19. 如图所示的是人民公园的一块长为米，宽为米的空地，预计在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示． （1）请用m，n表示观景台的面积；（结果化为最简） （2）如果修建观景台的费用为每平方米200元．若，那么修建观景台需要费用多少元？ 【答案】（1）观景台的面积为平方米 （2）修建观景台需要费用为29400元 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值： （1）用最大的长方形面积减去三块空白部分的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求结合，求出观景台的面积，进而求出费用即可． 【小问1详解】 解：阴影部分的面积为： ， 答：观景台的面积为平方米； 【小问2详解】 解：当，时， 原式（平方米）， （元）． 答：修建观景台需要费用为29400元． 20. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中白球比红球的倍多个，已知从袋中摸出一个球是黄球的概率是． （1）求袋中黄球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是红球的概率； （3）现向袋中放入个白球，同时拿出红球和黄球共个，若从袋中摸出一个球是白球的概率为，求的值． 【答案】（1）个； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）用乘以摸到黄球的概率即可求解； （）设袋中有个红球，则白球有个，根据题意，列出方程求出红球的个数，再根据概率公式计算即可求解； （）由（）可得袋中白球的个数，再根据概率公式即可求解； 本题考查了概率的计算，一元一次方程的应用，掌握概率的计算公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，袋中黄球的个数为个； 【小问2详解】 解：设袋中有个红球，则白球有个， 由题意可得，， 解得， ∴袋中有个红球, ∴从袋中摸出一个球是红球的概率为； 【小问3详解】 解：由（）可得袋中白球的个数为个， 由题意可得，， 解得， ∴的值为． 21. 某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员在配送途中也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图中自变量是 ，因变量是 （2）出发地到派送点的路程是 米，小李在便利店停留了 分钟； （3）快递员小李出发多长时间，距离派送点300米？ 【答案】（1）时间，距出发地距离 （2）1500，4 （3）快递员小李出发6分钟或分钟，距离派送点300米 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可知纵坐标是离出发地距离，横坐标是时间，从而得出自变量是时间，因变量是距出发地距离； （2）因为y轴表示离出发地距离，起点是出发地，终点是派送点，故小李从出发地到派送点的路程是1500米；与x轴平行的线段表示路程没有变化，观察图象分析其对应时间即可； （3）结合图象分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：图中自变量是时间，因变量是距出发地距离； 【小问2详解】 解：出发地到派送点的路程是1500米，小李在便利店停留了分钟； 【小问3详解】 解：解：由图象可知，当时，距离派送点米， 当时， 速度为（米/分钟）， （分钟）， 所以快递员小李出发6分钟或分钟，距离派送点300米． 22. 为测量一块区域间的距离，提供了以下方案：如图1，先在平地上取一个可直接到达的点，连接，并分别延长至点，延长至点，使，最后测出的长即为间的距离． （1）请你说说该方案可行的理由； （2）由于在处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照题干的方案测出的长，但在图2中可测得，请据此求出间的距离． 【答案】（1）该方案可行，理由见解析 （2），之间的距离为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）该方案是利用全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； （2）延长，交于，根据平角的定义得到，根据三角形的内角和定理得到，由知识窗求得，于是得到结论． 【小问1详解】 解：该方案可行，理由如下：； 在和中， ， ， ； 故该方案可行； 【小问2详解】 解：如图②，延长，交于， ， ， ，， ， ， ， ， 由（1）知， 故，之间的距离为． 23. 《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 （1）如图1，为等边三角形，点在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点．则 ，判定依据为 ， ，并直接写出的度数 ． 【应用模型】 （2）如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； （3）如图3，在Rt中，，，点是外一点，连接，，．当5，时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1），SAS，AD， （2）见解析 （3）12.5 【解析】 【分析】(1) 观察图形可知，结合已知条件可以确定全等的判定方法，然后利用全等三角形的对应角相等，再通过进一步推导可以求出； (2) 首先结合第 (1) 问的图形结构证明 ，然后利用全等的性质和已知条件确定 的度数，进而证明即可； (3) 依据前 2 问的解题经验，构造类似的图形结构，通过作辅助线把四边形的面积进行转化而求解． 【小问1详解】 解：如图1，设，交于点． ， 为等边三角形， ，，， ，即 ， ， ，， 又， ； 【小问2详解】 证明： 线段绕点 逆时针旋转 得到， ，， ． 为等边三角形， ，， ，即 ． 在 和 中， ， ． 三点共线，， ， ， ， ，即平分； 【小问3详解】 解：答案12.5．理由： 如图 2，延长到，使 ． ，， 在四边形中， ． ， ． 在 和 中， ． ，， ， ． ，， ． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形（等边三角形）的性质．能够在探究的过程中掌握基本图形的结构并加以应用是解题的关键． 24. 对于任意有理数，我们规定 （1）已知，则 ； （2）对于有理数若是一个完全平方式，则 ； （3）对于有理数，若． （i）求的值； （ii）将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在边上，连接，．若，，图中阴影部分的面积为174，求的值． （4） 【答案】（1）3 （2） （3）（i）；（ii）的值为2 【解析】 【分析】（1）由新定义求出，然后利用因式分解计算即可； （2）先根据新定义变形，再根据完全平方式有和差两种形式解答即可； （3）①根据新定义，得，然后根据完全平方公式进行变形，最后整体代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ②由题图知， 所以， 化简，得． 因为， 所以． 因为由①知， 所以， 解得． 25. 育英中学“巅峰数学”兴趣小组对三角形全等模型展开探究． （1）初步探究：如图1，小华绘制的中，，，过点作直线，于，于，求证：； （2）探究升级：如图2，小丽绘制了另外一个，，，上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于．小丽说点必为线段的中点．你同意她的观点吗？请说明理由． （3）思维发散：在等腰直角三角形中，，，直线过点且，过点为一锐角顶点作，，且点在直线上（不与点重合），如图3，边与线段交于点，连接．试运用所学全等三角形的知识说明是等腰直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）同意，理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，然后根据即可证明； （2）过点作于点，证明得．再证明得，可得点为线段的中点； （3）过点作交于点，证明得，进而可证是等腰直角三角形． 【小问1详解】 证明：于于， ， ， ， ， 在和中， ； 【小问2详解】 解：同意．理由如下： 如图2，过点作于点， ， ∴． 由旋转的性质得，， ， ． 在和中， ， ． ， ， ，点为线段的中点； 【小问3详解】 解：如图3，过点作交于点， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ，， ∴， ， ∴， ． 在与中， ， ∴． 又， 为等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级育英教育集团学科综合能力展示 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个不等边三角形的两边长分别为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图，数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ） A. 边角边 B. 三角形的稳定性 C. 边边边 D. 全等三角形的对应角相等 5. 小明为了解水温变化规律，测量并记录了一杯开水在室温下的温度变化情况，如下表： 时间t/min 0 10 20 30 40 50 60 水温/℃ 98 55 35 24 22 22 22 下列说法不正确的是（ ） A. 自变量是时间，因变量是水温 B. 水温随着时间的推移逐渐减小，最后保持不变 C. 依据表格中反映出的规律可知：当min时，水温是 D. 时间每增加10min，水温则降低 6. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数，下列说法正确的是（ ） A. 出现点数为2的概率是 B. 出现点数为0是随机事件 C. 出现点数为奇数是不可能事件 D. 出现点数为偶数是必然事件 7. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 8. 在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 如图，在ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使，则∠FE的度数是（　　） A. B. 90°﹣ C. α﹣90° D. 2α﹣180° 10. 已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（ ） A. ①③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 已知，则___________． 12. 一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），昆虫停在阴影部分的概率为________________． 13. 如图，在中，的平分线交于点，若，，是的高，则______． 14. 端午节三天假期的某一天，小明一家上午8点自驾小汽车从家出发，到某旅游景点游玩，该小汽车离家的距离S（千米）与离家的时间t（时）的关系如图所示，则小明一家开车回到家的时间是____点． 15. 希望小组的同学在求式子的值（结果用和表示）时遇到了困难．经过合作探究他们想出了如图所示的图形来解释这个式子：设△ABC的面积为，取BC的中点，则有△ABD的面积为，再取AD的中点E，则有△ACE的面积为，再取CE的中点F，则有△DEF的面积为，……照此思路持续取下去．就可利用这个图形求得 的值＝___________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）； 17. 化简求值：，其中． 18. 已知：如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：． 19. 如图所示的是人民公园的一块长为米，宽为米的空地，预计在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示． （1）请用m，n表示观景台的面积；（结果化为最简） （2）如果修建观景台的费用为每平方米200元．若，那么修建观景台需要费用多少元？ 20. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中白球比红球的倍多个，已知从袋中摸出一个球是黄球的概率是． （1）求袋中黄球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是红球的概率； （3）现向袋中放入个白球，同时拿出红球和黄球共个，若从袋中摸出一个球是白球的概率为，求的值． 21. 某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员在配送途中也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图中自变量是 ，因变量是 （2）出发地到派送点的路程是 米，小李在便利店停留了 分钟； （3）快递员小李出发多长时间，距离派送点300米？ 22. 为测量一块区域间的距离，提供了以下方案：如图1，先在平地上取一个可直接到达的点，连接，并分别延长至点，延长至点，使，最后测出的长即为间的距离． （1）请你说说该方案可行的理由； （2）由于在处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照题干的方案测出的长，但在图2中可测得，请据此求出间的距离． 23. 《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 （1）如图1，为等边三角形，点在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点．则 ，判定依据为 ， ，并直接写出的度数 ． 【应用模型】 （2）如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； （3）如图3，在Rt中，，，点是外一点，连接，，．当5，时，请直接写出四边形的面积． 24. 对于任意有理数，我们规定 （1）已知 ，则 ； （2）对于有理数若是一个完全平方式，则 ； （3）对于有理数，若 ． （i）求的值； （ii）将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在边上，连接，．若，，图中阴影部分的面积为174，求的值． （4） 25. 育英中学“巅峰数学”兴趣小组对三角形全等模型展开探究． （1）初步探究：如图1，小华绘制的中，，，过点作直线，于，于，求证：； （2）探究升级：如图2，小丽绘制了另外一个，，，上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于．小丽说点必为线段的中点．你同意她的观点吗？请说明理由． （3）思维发散：在等腰直角三角形中，，，直线过点且，过点为一锐角顶点作，，且点在直线上（不与点重合），如图3，边与线段交于点，连接．试运用所学全等三角形的知识说明是等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $