立体几何、统计测试题(08)-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学单元复习专项训练，聚焦立体几何与统计，以教材改编题为主，注重数学眼光观察现实世界、数学思维逻辑推理及数学语言表达数据与空间关系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计|11题（如方差计算、分位数、图表分析）|概念辨析、数据处理、实际应用|从基础数据特征（方差、分位数）到综合统计分析（直方图、分层抽样），形成数据意识与应用能力| |立体几何|7题（如二面角、线面垂直证明）|空间关系证明、空间角计算|以线面垂直为基础，推导二面角求法，培养空间观念与逻辑推理能力|

永年二中高一数学必修二——立体几何、统计测试题08 班级 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【人教A版必修二教材9.2.4练习第1题改编】下列各组数据中，方差最大的是（ ） A. 5，5，5，5，5，5，5，5，5 B. 4，4，4，5，5，5，6，6，6； C. 3，3，4，4，5，6，6，7，7 D. 2，2，2，2，5，8，8，8，8. 【答案】D 【分析】把四组数据用条形图表示出来，可以看出它们的集中与分散程度，数据越集中，波动小，方差越小． 【详解】A、B、C、D四组样本数据的条形图分别是：          由数据的条形图知，A中数据最集中，D中数据最分散，故各组数的方差从小到大依次为A、B、C、D. 2．样本数据的分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据百分位数的定义可得结果. 【详解】将给定样本从小到大排列，得到： ，样本容量 .计算分位数位置： ,根据高中百分位数的计算规则，若不是整数，将向上取整，对应位置的数据即为所求分位数。 此处向上取整为，对应排序后第3个数据，为.所以样本数据的分位数为. 3、【人教A版必修二教材152页练习第2题改编】如图，四棱锥的底面是正方形，平面，则下列说法中错误的是（ D） A．是二面角的平面角 B．二面角为直二面角 C．是直线与平面所成的角 D．是二面角的平面角 【答案】D 【解析】根据直线与平面所成的角及二面角平面角的定义，可知ABC错误，故选D. 4．某校为调查高一年级的某次考试的数学情况，选取高一年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生数学成绩的平均数为90，方差为3，乙班学生数学成绩的平均数为81，方差为5，且甲乙两班的学生人数之比为，则这两班数学的总成绩平均分和方差分别为（   ） A．85.5； B．； C．85.5； D．； 【答案】B 【详解】设两个班级的总人数为，则甲班的学生数为，乙班学生数为，所以两班数学的总成绩平均分为，两班数学的方差为. 5．某单位职工进行了体检，其中体重（单位：）体检结果统计如下表格： 则（   ） A．157 B．159 C．162 D．165 【答案】B 【分析】先根据分层平均数公式算出单位职工体重的平均数 ，再利用分层方差的合并公式，代入已知的总方差，解出女性体重的方差 . 【详解】计算单位职工体重的平均数：.已知单位职工体重方差为，则,化简得. 6．在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则侧面与底面所成的二面角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可推出，，可知为侧面与底面所成的二面角的平面角，由可得答案. 【详解】∵底面，平面，∴，又底面是正方形，∴， 而，∴平面，得，可知为侧面与底面所成的二面角的平面角.在中，由，可得.即侧面与底面所成的二面角的大小是. 7．下图是国家统计局发布的2024年10月份至2025年10月份商品零售额与餐饮收入的同比增长速度折线图，下列说法错误的是（   ） A．2025年10月份商品零售额同比增长速度为 B．2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为 C．2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同 D．2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为 【答案】D 【分析】根据折线图逐一计算判断即可 【详解】对于A，2025年10月份商品零售额同比增长速度为，故A正确；对于B，2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为，故B正确；对于C，2025年前四个月商品零售额同比增速平均值为，2025年前四个月商品餐饮收入同比增速平均值为，故2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同，故C正确；对于D，因为，所以2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为，故D错误.故选：D. 8．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值为（ ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】由线面垂直的判定和性质，结合二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果. 【详解】设，连接， 平面，平面，，，四边形为正方形，，，平面，平面，又平面，，是二面角的平面角， 由，得：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9、【人教A版必修二教材158页练习第3题改编】（多选题）如图，平面，，则下列说法中正确的是（ ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【解析】平面，平面，平面，∴平面平面， 平面平面.平面，平面，. 又，,平面.平面， ∴平面平面. 11．某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试（满分10分），其中男生135人，女生90人.现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有8位女生的测试成绩，分别是6，7，7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为7.5，则（    ） A．样本中有12位男生的测试成绩 B．样本中女生测试成绩的70%分位数是8.5 C．样本中女生测试成绩的方差为2 D．样本中所有学生测试成绩的平均数为7.75 【答案】AC 【分析】根据分层抽样的定义可知样本容量为20，进而求出样本中男生人数即可判断A，再结合百分位数、方差和平均数的定义求解，进而判断BCD. 【详解】高一年级男生、女生之比为，由样本中有8位女生的成绩，则样本中有12位男生的测试成绩，故A正确；由，则样本中女生测试成绩的70%分位数是第6项9，故B错误；样本中女生测试成绩的平均数为8，则其方差为，故C正确；样本中所有学生测试成绩的平均数为，故D错误.故选：AC 10．某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（    ） A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份 B．这10个月营业额的平均数为32.5万元 C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D．这10个月营业额数据的第70百分位数为43 【答案】AC 【分析】对A ，计算相邻月份营业额的变化量，找出下降幅度最大的区间判断；对 B ，将 10 个月的营业额数据求和，再除以 10 得到平均数，与 32.5 万元对比；对 C ，分别计算前 5 个月和后 5 个月营业额的方差，比较两者大小；对 D ，将数据排序后，根据百分位数公式计算第 70 百分位数进行判断. 【详解】对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元，六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元，十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确；对于B：由，即这10个月的营业额的平均数为万元，B错误；对于C：前5个月的平均数，方差；后5个月的平均数，方差因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确；对于D：将10个数据从小到大排序：因为，所以第百分位数取第7项和第8项的平均数，D错误.故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的第80百分位数是_____， 方差是______. 【答案】4， 【详解】由于，所以第80百分位数是； 因为样本数据的平均数为，则该样本数据的方差为. 13．甲､乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为72分，方差为90；乙班的平均成绩为90分，方差为60.那么甲､乙两班全部90名学生的平均成绩是__________分，方差是_________. 【答案】 【分析】根据平均数公式及方差公式计算可得. 【详解】甲､乙两班全部名学生的平均成绩为分， 方差为. 14．三棱锥 中，已知平面 .则二面角的正弦值为_____. 【答案】 【分析】取BC的中点D，连结PD，AD，根据线面垂直关系可知即为二面角的平面角，根据所给边长关系可求得的正弦值. 【详解】取BC的中点D，连结PD，AD，因为，所以，因为平面ABC，平面ABC，所以，因为平面PAD，平面PAD，，所以平面PAD，因为平面PAD，所以，所以即为二面角的平面角，因为，所以，，即二面角的正弦值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 【人教A版必修二教材9.2.4练习第2题】数据的方差和标准差分别为.数据的方差和标准差分别为，若成立，a，b为常数，证明. 【详解】证明：设数据的平均数，数据的平均数为，则. ， . 16．从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单位：分）：，2；，3；，10；，15；，12；，8． (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在分的学生所占总体的百分比． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3) 【分析】（1）根据题中所给数据 即可得出频率分布表； （2）根据频率分布表画出频率分布直方图即可； （3）根据频率分布直方图即可得解. 【详解】（1）频率分布表如下： 成绩分组 频数 频率 2 0.04 3 0.06 10 0.20 15 0.30 12 0.24 8 0.16 合计 50 1.00 （2）由题意知组距为10，取小矩形的高根据表格画出如下的频率分布直方图： （3）由频率分布直方图，可估计成绩在分的学生所占总体的百分比是. 17．如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）与平面的交点H是的重心. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）结合正方体的结构特征，以及线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）连接，根据，得出点H为的外心，进而得到点H也是的重心. 【详解】（1）如图所示，连接，则，平面，， 又，平面，平面，平面. 平面.，同理，，平面. （2）连接，由，得，因此点H为的外心，又为正三角形，∴点H也是的重心. 18．为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和，计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为，频率分布直方图组距为2，故.所有区间频率和为，即，解得，所以. （2）餐厅满意指数平均数；餐厅满意指数平均数.因为，所以餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数. （3）餐厅第三组频率为0.4，人数为，平均数7，方差2；第四组人数为，平均数9，方差1，混合数据平均数， 方差. 19．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，． (1)求证：； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面和平面夹角的余弦值的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）利用线面垂直的性质即得； （2）利用锥体的体积公式即得； （3）利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得是平面和平面的夹角，结合条件即得. 【解析】（1）因为平面，平面，所以； （2）因为平面，．四边形是矩形，所以，是三棱锥的高，∴； （3）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以是平面和平面的夹角，由于，，所以，所以，所以平面与平面的夹角余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二——立体几何、统计测试题08 班级 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【人教A版必修二教材9.2.4练习第1题改编】下列各组数据中，方差最大的是（ ） A. 5，5，5，5，5，5，5，5，5 B. 4，4，4，5，5，5，6，6，6； C. 3，3，4，4，5，6，6，7，7 D. 2，2，2，2，5，8，8，8，8. 2．样本数据的分位数为（   ） A． B． C． D． 3、【人教A版必修二教材152页练习第2题改编】如图，四棱锥的底面是正方形，平面，则下列说法中错误的是（ D） A．是二面角的平面角 B．二面角为直二面角 C．是直线与平面所成的角 D．是二面角的平面角 4．某校为调查高一年级的某次考试的数学情况，选取高一年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生数学成绩的平均数为90，方差为3，乙班学生数学成绩的平均数为81，方差为5，且甲乙两班的学生人数之比为，则这两班数学的总成绩平均分和方差分别为（   ） A．85.5； B．； C．85.5； D．； 5．某单位职工进行了体检，其中体重（单位：）体检结果统计如下表格： 则（   ） A．157 B．159 C．162 D．165 6．在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则侧面与底面所成的二面角的大小是（    ） A． B． C． D． 7．下图是国家统计局发布的2024年10月份至2025年10月份商品零售额与餐饮收入的同比增长速度折线图，下列说法错误的是（   ） A．2025年10月份商品零售额同比增长速度为 B．2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为 C．2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同 D．2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为 8．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值为（ ） A． B． C．2 D．2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9、【人教A版必修二教材158页练习第3题改编】（多选题）如图，平面，，则下列说法中正确的是（ ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 11．某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试（满分10分），其中男生135人，女生90人.现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有8位女生的测试成绩，分别是6，7，7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为7.5，则（    ） A．样本中有12位男生的测试成绩 B．样本中女生测试成绩的70%分位数是8.5 C．样本中女生测试成绩的方差为2 D．样本中所有学生测试成绩的平均数为7.75 10．某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（    ） A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份 B．这10个月营业额的平均数为32.5万元 C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D．这10个月营业额数据的第70百分位数为43 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的第80百分位数是_____， 方差是______. 13． 甲､乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为72分，方差 为90；乙班的平均成绩为90分，方差为60.那么甲､乙两班全部90名学生的平均成绩是__________分，方差是_________. 14．三棱锥 中，已知平面 .则二面角的正弦值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 【人教A版必修二教材9.2.4练习第2题】数据的方差和标准差分别为.数据的方差和标准差分别为，若成立，a，b为常数，证明. 16．从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单位：分）：，2；，3；，10；，15；，12；，8． (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在分的学生所占总体的百分比． 解析（1） 17．如图，在正方体中，求证： （1）平面；（2）与平面的交点H是的重心. 18．为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 19．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，． (1)求证：； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面和平面夹角的余弦值的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $