2026年内蒙古初三年级中考数学全真模拟测试(九)

**基本信息** 融合文化传承与现实应用，梯度覆盖几何、函数、统计等核心知识，突出数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|立体图形主视图（空间观念）、概率计算（数据意识）、古代数学问题（《张邱建算经》）|结合传统文化素材，考查基础概念辨析| |填空题|4/12|一次函数平移（模型观念）、传统支摘窗问题（几何直观）、正方形中点计算（推理能力）|设置开放性答案，关联生活实际| |解答题|6/64|阅读时间统计分析（数据意识）、吊桥抛物线模型（应用意识）、菱形旋转综合（创新意识）|设计分层任务，从基础运算到复杂建模，适配中考命题趋势|

2026年内蒙古初三年级中考数学全真模拟测试（九) 考试时长：90分钟满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.如图是一个由9个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是( D 正面 【答案】D 【解析】解：主视图为： 故选：D 根据主视图是从前面看到的图形，进行判断即可. 本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键 2.如图，一只松鼠先经过第一道门(A,B或C,再经过第二道门D或E)出去，则松鼠走出笼子的路线 是“先经过A门，再经过E门的概率是( A B c D.c 【答案】D 【解析】解：画树状图如下： 第1页，共21页 开始 DE 共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的只有1种结果， 所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门的概率为后 故选：D. 画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的结果 数，再根据概率公式求解即可. 此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于 两步完成的事件：树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与 总情况数之比. 3.下列说法正确的是( A.小强连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，3次都是正面朝上是随机事件 B.了解全国某品牌新能源电车电池的衰减情况适合全面调查 C.10张彩票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人比后摸的人中奖概率大 D.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较小 【答案】A 【解析】解：A、小强连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，3次都是正面朝上可能发生也可能不发 生，是随机事件，正确，符合题意： B、了解全国某品牌新能源电车电池的衰减情况，范围广，数量众多且具有破坏性，适合抽样调查， 原说法错误，不符合题意； C、10张彩票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到奖票的概率都是。中奖概率和摸奖顺序无关，原 说法错误，不符合题意： D、由题意得，取得奇数的概率为，取得偶数的概率为，故取得奇数的可能性较大，原说法错误， 不符合题意 故选：A. 根据随机事件的定义，全面调查与抽样调查的适用情形、概率公式进行分析判断即可. 本题考查的是可能性的大小，随机事件，全面调查与抽样调查，熟知以上知识是解题的关键 第2页，共21页 4.已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：2)是反比例函数关 系，它的图象如图所示，则当电阻为42时，电流为( ) A.3A I/A↑ B.4A C.6A D.8A 【答案】C 8 R/O 【解析】解：设1-是 图象过(8,3)， U=24, =0 当电阻为60时，电流为：I=兰=6(A). 故选：C. 根据函数图象可设I=是再将(3,3)代入即可得出函数关系式，从而解决问题。 本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式。 5我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三 斛，得酒五斗，问清醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子， 现在拿30斗谷子，共换了5斗酒.问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为() A.10(5-X)+3x=30 B.10x+3(5-X)=30 c吾+=5 D.+0=5 310 【答案】B 【解析】解：设清酒x斗，则醑酒（⑤-x斗， 由题意可得：10x+3(5-x)=30, 故选：B。 根据共换了5斗酒，其中清酒x斗，则可得到醑酒(5一x)斗，再根据拿30斗谷子，共换了5斗酒，即 可列出相应的方程 本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程. 第3页，共21页 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE, 点B、C的对应点分别为点D、E,AD与BC相交于点F,当DE/IAB时，则DF的长是() E D C B A号 B a D 【答案】A 【解析】解：~∠ACB=90°，AC=6,BC=8, ..AB=VAC2+BC2=10, △ABC绕点A旋转得到△ADE, ∴∠D=∠B,AD=AB=10, DE平行于AB, ∠DAB=∠D=∠B, ..AF=BF, 设CF=x, 则AF=BF=8-X, ∠ACB=90°， ·AF2=AC2+CF2, 即(8-x)2=62+x2, 解得：X=子 DF=AD-AF=AD-BF=AD-(BC-CF)=AD-BC+CF=10-8+7=15, 4-4 故选：A. 根据勾股定理求出AB,根据旋转的性质得到△ADE和△ABC的对应边和对应角相等，设CF=X, 利用勾股定理列方程求出CF,再在Rt△ACF中用勾股定理以及线段的和差求得DF. 本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键. 第4页，共21页 7.如图，正六边形ABCDEF对角线AD的长为8，则正六边形ABCDEF的边 长为( A.2 B.2W2 C.2W3 D.4 【答案】D 【解析】解：设正六边形的中心为O,连接OB,OC,如图， ∴.∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，OA=OB=OC=OD: ∴.OA=OB=AB, :正六边形ABCDEF对角线AD的长为8， .AB=OA=OD=AD=4. 故选：D 设正六边形的中心为O,连接OB,OC,则△OAB,△OBC,△OCD是等边三角形，据此即可求 解. 本题主要考查了正多边形的性质和等边三角形的判定与性质，掌握正多边形的性质是解题的关键. 8.如图，有两个正方形ABCD、EFGH,点E、F、G、H分别在AB、BC、 CD、AD边上，连结CE,已知AE=3,CF=4,则CE等于() A.V73 H B.2W13 C.65 D.4V3 【答案】C 第5页，共21页 【解析】解：如图所示： H D G 四边形ABCD是正方形， .∠A=∠B=∠BCD=90°， 四边形EFGH是正方形， .EH=EF=FG,∠HEF=∠EFG=90°， 在△AEH中，∠A=90°， ∴.∠1+∠2=90°， 又∠1+∠3=180°-∠HEF=90°， ·∠2=∠3， 在△AEH和△BFE中， (LA=∠B=90° L2=L3 EH=EF △AEH≌△BFE(AA), ·AE=BF AE=3, BF=3, 同理：△BEF≌△CFG(AAS), ..BE=CF, .…C℉=4， .BE=4, BC=BF+CF=3+4=7, 在△CBE中，∠B=90°， 由勾股定理得：CE=VBE+BC=V42+7下=√65 故选：C 由正方形性质得LA=∠B=∠BCD=90°，EH=EF=FG,∠HEF=∠EFG=90°，证明△AEH和 △BFE全等得AE=BF=3,同理证明△BEF和△CFG全等得BE=CF=4,进而得BC=7,在Rt△ 第6页，共21页 CBE中，由勾股定理可CE的长. 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握 全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键， 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.将直线y=x-3向上平移m个单位，若平移后的直线经过第三、二、一象限，那么常数m的值可 以是 (写出一个即可) 【答案】4（答案不唯一）. 【解析】解：根据“上加下减的平移法则可知： 将直线y=x-3向上平移m个单位长度后，所得直线的函数解析式为y=x-3+m, 则平移后的直线与y轴的交点坐标为(0，一3+m), -3+m>0, 解得m>3, ∴.m的值可以是4. 故答案为：4（答案不唯一）. 根据“上加下减的平移法则，表示出平移后的直线解析式，再由平移后的直线经过第一、第二、第三 象限得出m的取值范围即可. 本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键 10.某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量y1(单位：万件)是销售单价x(单位：元)的反比例函 数，其图象如图所示该产品的月供应量y2(单位：万件)是销售单价x的一次函数，若销售单价为20 元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件.当该产品的月需求量和月供 应量相等时，其销售单价为 元 y/万件 40 x/元 【答案】30 第7页，共21页 【解析】解：设月需求量y1(单位：万件)与销售单价x(单位：元)的函数解析式为y1= 点(40,15)在该函数图象上， 15=0 解得k=600, 即月需求量y1(单位：万件)与销售单价x(单位：元)的函数解析式为1= 设产品的月供应量y2(单位：万件)与销售单价x的函数解析式为y2=x+n, 销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件， .f20m+n=10 (40m+n=30 解得m=1 n=-10 即产品的月供应量y(单位：万件)与销售单价x的函数解析式为y2=x-10, 令y1=y2, 要=x-10, 解得x1=30,3=-20(不合题意，舍去)， 当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为30元， 故答案为：30. 根据题意可以求出反比例函数解析式和一次函数解析式，然后令这两个函数值相等，求出相应的x的 值即可. 本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解 答 11.如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇 可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，AB=BC= 50cm.如图②，当窗户推开角度∠B=o(sina=0.8),则支撑窗扇的杆子AC长为 cm B 图① 图② 第8页，共21页 【答案】20v5. 【解析】解：如图，过A点作AD 1 BC于点D, B 图② 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=a(sina=0.8),AB=50cm, .AD=AB.sina=50×0.8=40(cm), .BD=VAB2-AD2=V502-402=30(cm), .BC=50cm, ∴CD=BC-BD=20(cm), AC=VAD2+CD2=V402+202=20W5(cm), 故答案为：20W5. 根据题意，作AD 1 BC,在Rt△ABD中求出AD,利用勾股定理求BD,则得到CD长，利用勾股定 理即可求出AC长， 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键. 12.如图，正方形ABCD中，AB=3,点E在边BC上，且EC=2BE. 7 D ①线段AE的长为 M I)F为CD的中点，M为AF的中点，N为AE上一点， 若∠AMN=75°，则线段N的长为 水 【解析】解：①正方形ABCD中，AB=3, E C LABC=∠D=LC=90°，BC=AB=AD=CD=3, .EC=2BE, .BE=-BC=1,EC=2BE=2, 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=√AB2+BE=√3？+1严=√10： )F为CD的中点， .DF=CF=CD= 第9页，共21页 在直角三角形ADF中，由勾股定理得：AF=VAD+DP=√32+()F=5 在直角三角形CF中，由勾股定理得：EF=V√EC+C=,2+()=子， M为AF的中点， ·AM=AP=3, 4 延长CB至G使BG=DF-多，连接AG,过M作MH1AE于H, M N G B E C AB=AD,∠ABG=∠D=90°， △ABG≌△ADF(SAS), ∴.AG=AF,∠DAF=∠BAG, ∴.∠DAF+∠BAF=∠BAG+∠BAF, ∴.∠BAD=∠GAF=90° AE=AE,AG-AF,GE-BG+BE-+1--EF, ∴△AEG≌△AEF(SSS), ∴.∠GAE=∠FAE, ∠GAE=∠FAE=5LGAF=45O, .∠AMH=90°-∠FAE=45°， ..AH=HM, .AH2+HM2=AM2, .AH=HM=AM-x5 4 8 ∠AMN=75°， ∠HMN=∠AMN-∠AMH=30°， ..HN =MN, 在直角三角形NMH中，由勾股定理得：N2+H2=NM, 第10页，共21页 (MN)+()-MN, 解得：MN=(负值舍去). 四由正方形ABCD得到BC=AB=AD=CD=3,再根据EC=2BE,得到BE=BC=1,EC= 2BE=2,最后根据勾股定理求AE的长； (四由两个中点可得EF=,AM-AF-平，延长CB至G使BG=DP=连接AG,过M作 MH L AE于H,先证明△ABG≌△ADF(SAS),得到AG=AF,∠DAF=∠BAG,∠BAD=∠GAF= 90,再证明△AEG≌△AEF(SSS),得到∠GAE=∠FAE=∠GAF=45,即可得到△AMH是等腰直 角三角形，△MN是30直角三角形，即可求出AH=M=AM=①，N=MN,MN= 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，含30度角 的直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理， 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分) (1)计算：2sin60°-(m+2021)”-W3-1+(-)2. @化简：(+2)÷ a-b 【答案】4带 【解析】解：(1)2sin60°-(m+2021)°-N3-1+(-)2 -1-5-)*4 2x3 =√3-1-V3+1+4 =4: e a2-b2 a-b -a -)÷ ab a-b =a2+b2+2ab1 ab a+b =(a+b)21 ab a+b 第11页，共21页 (I)根据特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值和负整数指数幂进行计算即可求解； (2)根据分式的混合运算进行计算即可求解. 本题考查的是分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂及特殊角的三角函数值，熟知 分式混合运算的法则是解题的关键， 14.(本小题7分) 中华民族素有崇尚读书、尊重知识的优良传统，“耕读传家”、“诗书继世”的价值理念己深深融入民族 精神血脉提倡全民阅读、建设书香社会，需要全社会共同参与，每年4月第四周是全民阅读活动周】 为迎接全民阅读活动周，某校从七、八年级各随机抽取20名学生，调查他们平均每周的课外阅读时 间，并对数据进行收集、整理、分析。 学生阅读时间x(小时)分为5组： A:0≤x<2;B:2≤x<4:C:4≤x<6:D:6≤x<8;E:8≤x≤10. 信息2： 七年级学生阅读时间在C组的数据：4,4,4,4,5,5,5 八年级学生阅读时间的平均数： 1×2+2×2+3×1+4×6+5×2+6×2+7×3+8×1+9×m =4.65 20 信息3： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 4.75 5.09 八年级 4.65 4.83 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：a= ,b= ,m= (②)请根据以上数据，就每周阅读时间，你认为哪个年级开展的阅读活动更好，并说明理由： (3)若该校七、八年级均有600人，请估计该校七、八年级每周阅读时间不少于6小时学生共有多少 第12页，共21页 人？ 信息1： 七年级学生每周的课外阅读时间统计图八年级学生每周的课外阅读时间统计图 人数 E 10% 8 B 6 0 15% 2 C E组别 b% 【答案】4.5；40；1我认为七年级开展的阅读活动更好，理由如下： 从七八年级的平均数来看，七年级大于八年级，从中位数来看，七年级比八年级大，所以七年级开展 的阅读活动更好该校七、八年级每周阅读时间不少于6小时学生共有420人 【解析】解：(1)由统计图可知：2+4+7=13， a=45=4.5: 由图可知：D组所对的圆心角度数为90，则该组所占百分比为×100%=25%， ·.b=100-10-15-25-10=40: 由八年级学生阅读时间的平均数： 1x2+2x2+3×1+4×6+5×2+6x2+7x3+8×1+9xm=4.65可年知： 20 m=20-2-2-1-6-2-2-3-1=1: 故答案为：4.5；40；1： (2)我认为七年级开展的阅读活动更好，理由如下：从七八年级的平均数来看，七年级大于八年级，从 中位数来看，七年级比八年级大，所以七年级开展的阅读活动更好： (3)由题意可直接列式进行求解可得： 600×号+600×(250%+1090=420（人）： 答：该校七、八年级每周阅读时间不少于6小时学生共有420人. (1)根据统计图结合中位数及平均数可进行求解： (2)根据平均数和中位数可进行求解： (3)由题意可直接列式进行求解。 本题考查了方差、用样本估计整体、中位数、众数，熟练掌握以上知识点是关键， 第13页，共21页 15.(本小题10分) 为丰富学生课后服务活动，某校准备花5800元添置篮球和足球共60个，已知篮球每个120元，足球 每个80元，求新添置篮球和足球各多少个？ 为解决问题，明明和雯雯给出了两种方法如下： (1)填空： 【明明】解：设一，根据题意，得：120x+80(_①)=5800①一 【雯雯】解：设一根据题意，得：品+品=60② (2)学校准备制作篮球和足球置物架各一个安放新添置的球，已知篮球置物架一层最多能放6个篮球， 足球置物架一层最多能放7个足球，问篮球置物架和足球置物架各至少做几层？ 【答案】(I)新添置篮球有x个 ;60-x :新添置篮球花费y元：5800-y (2)解：设新添置篮球有x个，根据题意，得： 120x+80(60-x)=5800, 解得：x=25, 60-25=35（个)， 所以篮球有25个，足球有35个， 25÷6-4…1,4+1=5（层)， 35÷7=5(层)， 答：篮球架要5层，足球架要5层. 【解析】 1.本题考查了一元一次方程的应用，有理数除法的应用，根据题意正确列出方程进行求解是解答本题 的关键 分别利用设新添置篮球有x个，设新添置篮球花费y元，两种方法进行列式即可； 【详解】解：明明：设新添置篮球有x个，根据题意，得：120x+80(60-x)=5800, 雯安：设新添置篮球花费y元，根据题意，得品+0=60， 80 故答案为：新添置篮球有x个，60-x;新添置篮球花费y元，5800-y; 2.设新添置篮球有ⅹ个，根据题意列方程分别求出篮球和足球的数量，再利用有理数除法进行求解即 可. 第14页，共21页 16.(本小题12分) 如图，在△ABC中，AB=AC,过点D作DF 1 AC,垂足为点F. E B D (I)求证：直线DF是⊙O的切线： (2)求证：BC2=4CF·AB; (3)若⊙0的半径为2，∠CDF=22.5°，求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)连接OD,如图： B D .AB=AC, .∠B=LC, .'OB=OD, .∠B=LODB, ∴.∠C=LODB, ∴.OD//AC, .'DF 1AC, ..OD I DF, OD为半径， .直线DF是⊙O的切线： 第15页，共21页 (2)连接AD,如图： A E F B D ,AB为⊙O直径， .LADB=∠ADC=90°， .'DF 1 AC, .∠DAC=90°-∠ADF=FDC, 而LC=∠C, ..ADC DFC, 是-S,即cD-GAc, AB=AC,∠ADB=∠ADC=90°， ..CD=BC, .(5BC)=CF·AB, .BC2=4CF·AB; (3)连接AD、OE 4 B D .DF1AC,∠CDF=22.5°， ..∠C=∠B=90°-∠CDF=67.5°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=45°， .OA=OE, 第16页，共21页 ∴.∠OEA=∠OAE=45。, ∴.LAOE=90°， ,⊙0的半径为2， 六S眉形A0B-0E2 360 =LSaA0E=号X2×2=2, S阴影=S扇形AOE-SAAOE=T-2. 【解析】 1.本题考查了圆的切线判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及扇形和三角形面积的 计算，解题的关键是熟练运用圆的相关性质、相似三角形的判定定理及面积计算公式，通过添加辅助 线构建所需的几何关系 连接OD,证明OD∥AC,结合由DF⊥AC,得到OD 1 DF: 2述按AD,由·ADCDFG,可得器-S,即cCD-CF:AC,再证明CD-BC即可； 3.连接AD、OE,根据已知求出LAOE=90°，从而可得S扇形AOE和SAOE,即可得到答案. 第17页，共21页 17.(本小题12分) 根据背景素材，探索解决问题. 探索吊桥 如图①，平堡黄河吊桥位于甘肃省靖远县平堡乡乌金峡口西端黄河之上，被誉为”中国 农民第一桥”，其主索可近似看作抛物线，从主索上设置与桥面垂直的吊索承接桥面的 素材1 重量 如图②，两桥塔AD=BC=15m,桥面AB水平间距约为200m,主索最低点为点P, 素材2 距桥面约为2m. 吊桥 桥面 问题解决 任务1 在图②中，以CD的中点为原点O,CD所在直线为x轴，过点O且垂直于CD的直线为 建立 y轴，建立平面直角坐标系，并求出主索的抛物线对应的函数解析式： 模型 任务2 利用 若距离点P水平距离为50m处的两条吊索需要更换，求更换的吊索总长度为多少m? 模型 【答案】解：任务1：建立平面直角坐标系如解图， 由解图可知，点P坐标为(0，-13)，点C的坐标为(100,0) 设该抛物线对应的函数解析式为y=a(x-0)2-13(a≠0)，即y=ax2-13, 将c1o.0代入y=a议-13，得a=品 y=品x2-13 注索的抛物线对应的函数解析式为y=品x2-13(-100≤x≤100： 第18页，共21页 吊桥 桥面 任务2由题意得，当x=50时，y=品×502-13=-旱 此时吊索的长度为15-翌=斗m, 由抛物线的对称性得，当x=-50时， 此时吊索的长度也为m, +头=m, 44 答：更换的吊索总长度为号m 18.(本小题13分) 已知四边形ABCD为菱形，∠BAD=m(0<m<180),将边AB绕点A逆时针旋转a(0°<a°<m) 到AE的位置，连接BE,DE,DE的延长线交射线BC于点F. D D E F B B C F 图1 图2 图3 (I)如图1，点F在边BC上，当m=90时，直接写出四边形ABCD的形状及∠BEF的度数： (2)如图2，点F在边BC上，请判断∠BEF与∠BAD之间的数量关系，并证明： (3)如图3，当m=120,a=90时，点F在边BC的延长线上，若AB=4,求CF的长. 【答案】(1)解：，四边形ABCD是菱形，且∠BAD=90, .四边形ABCD是正方形； 由旋转得，AB=AE=AD, ∠BAE=a, ∴.∠DAE=90°-a°， ∠AEB=(180-∠BAE)=(180°-a)=90°-a°， 第19页，共21页 ∠AED=号(180°-∠DAE)=号(180°-90°+a)=45°+号a°， 又∠BEF+∠BEA+∠AED=180°， ∴∠BBr+90-m+45+a=180%, .∠BEF=45°； (②)解：BF=BAD 证明：由旋转得，AB=AE=AD, ∠BAE=a°，∠BAD=m°， ∴.∠DAE=m°-a°， LAEB=(180°-LBAE)=(180°-a)=90°-a°， ∠AED=(180°-∠DAE)=(180°-m°+a)=90°-m+a°， 又∠BEF+∠BEA+∠AED=180°， .∠BEF+90-a+90°-m+片a=180, LBEF=m°=BAD: (3)解：由(2)得∠BEF=BAD=号×120°=60°， 由旋转得，AB=AE=BC=4, ∠BAE=90°， .∴.∠ABE=45°，BE=VAB2+AE2=4V2, 过点F作PIBE于点P,设P=x, A D E B C F ÷器=tan☑FEp=tan60 ∴=， 理号× 第20页，共21页 ∴BP=BE-EP=4W2-9x 在菱形ABCD中，BAD=120°， ∴.∠ABC=60° .∠CBE=60°-45°=15°： 如图，在Rt△BFP中，∠PBF=15°，在BP边上取一点Q,连接FQ,使FQ=BQ, .∠PQF=30°， ,FP=x,则FQ=BQ=2x,PQ=√③x ..BP=(3+2)x,BF=VBP2+PF=(6+2)x, =-y=2-V3sml5--a .'.tan15=FP= x=V6-√顶 4 “g2-V3 解得，x=4v6-6W2, 器=sin∠PBF=sin15, 4y-2=G- BF 4 ∴.BF=12-4V3, .CF=BF-BC=12-4V3-4=8-4V3. 【解析】 1.本题主要考查正方形的判定，菱形的性质以及解直角三角形： 直角根据“有一个角是直角的菱形是正方形”进行判断即可；根据旋转的性质和等腰三角形的性质结合 三角形内角和定理得出∠AEB=90°-Q°，∠AED=45+Q°，最后由平角的定义得出∠BEF=45; 2.方法同I)可得∠BEF=号∠BAD: 3.由(2)得∠BEF=60°，由旋转得AB=AE=BC=4,由勾股定理求出BE=4V2,过点F作FP1BE于点 P,设FP=X,求出P-号x,BP=4W万-x求得amI5=2-V3.ml5-,,解R△B即， 求出x=4V6-6W2,求得BF=12-4V3,从而可求出CF=8-4V3 第21页，共21页2026年内蒙古初三年级中考数学全真模拟测试（九) 考试时长：90分钟满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.如图是一个由9个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是( 正面 2.如图，一只松鼠先经过第一道门(A,B或C,再经过第二道门D或E)出去，则松鼠走出笼子的路线 是“先经过A门，再经过E门”的概率是( A B c D 3.下列说法正确的是() A.小强连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，3次都是正面朝上是随机事件 B.了解全国某品牌新能源电车电池的衰减情况适合全面调查 C.10张彩票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人比后摸的人中奖概率大 D.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较小 4.己知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：2)是反比例函数关 系，它的图象如图所示，则当电阻为42时，电流为() I/A A.3A B.4A C.6A D.8A 0 R/2 第1页，共8页 5我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟 三斛，得酒五斗，问清醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷 子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为() A.10(5-9+3x=30B.10x+3(5-x=30 C音+0号=5 D.号+05=5 10 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE, 点B、C的对应点分别为点D、E,AD与BC相交于点F,当DE/AB时，则DF的长是() A号 B号 c号 D 7.如图，正六边形ABCDEF对角线AD的长为8，则正六边形ABCDEF的边长为( ) A.2 B.2V2 C.2W3 D.4 8.如图，有两个正方形ABCD、EFGH,点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上，连结CE, 已知AE=3,CF=4,则CE等于( ) A.V73 B.2W13 C.√6 D.4v3 E .D C D G 第6题图 第7题图 第8题图 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.将直线y=x-3向上平移m个单位，若平移后的直线经过第三、二、一象限，那么常数m的值可 以是 (写出一个即可)： 10.某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量y1(单位：万件)是销售单价x(单位：元)的反比例函 数，其图象如图所示该产品的月供应量y(单位：万件)是销售单价x的一次函数，若销售单价为20 元，则月供应量为10万件：若销售单价为40元，则月供应量为30万件.当该产品的月需求量和月供 应量相等时，其销售单价为 元 y/万件 x/元 第2页，共8页 11如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇 可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，AB=BC= 50cm.如图②，当窗户推开角度∠B=c(sina=0.8),则支撑窗扇的杆子AC长为 cm. 12.如图，正方形ABCD中，AB=3,点E在边BC上，且EC=2BE. (I)线段AE的长为 (I)F为CD的中点，M为AF的中点，N为AE上一点，若LAMN=75°，则线段N的长为 B D M N 图① 图② B 第11题图 第12题图 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分) (1)计算：2sin60°-(m+2021)°-W3-1+(-)2. (2化简：(#2+2)÷-2 ab a-b 第3页，共8页 14.(本小题7分) 中华民族素有崇尚读书、尊重知识的优良传统，“耕读传家”、“诗书继世”的价值理念已深深融入 民族精神血脉.提倡全民阅读、建设书香社会，需要全社会共同参与，每年4月第四周是全民阅读活动 周 为迎接全民阅读活动周，某校从七、八年级各随机抽取20名学生，调查他们平均每周的课外阅读时 间，并对数据进行收集、整理、分析 学生阅读时间x(小时)分为5组： A:0≤x<2;B:2≤x<4;C:4≤x<6;D:6≤x<8;E:8≤x≤10 信息2： 七年级学生阅读时间在C组的数据：4,4,4,4,5,5,5 八年级学生阅读时间的平均数： 1×2+2×2+3×1+4×6+5×2+6×2+7×3+8×1+9xm=4.65 20 信息3： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 4.75 5.09 八年级 4.65 A 4.83 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：a= ,b= ,1m= (2)请根据以上数据，就每周阅读时间，你认为哪个年级开展的阅读活动更好，并说明理由： (3)若该校七、八年级均有600人，请估计该校七、八年级每周阅读时间不少于6小时学生共有多少 人？ 信息1 七年级学生每周的课外阅读时间统计图八年级学生每周的课外阅读时间统计图 人数 E 10% B D 15% BcDE组别 b% 第4页，共8页 15.(本小题10分) 为丰富学生课后服务活动，某校准备花5800元添置篮球和足球共60个，已知篮球每个120元，足球 每个80元，求新添置篮球和足球各多少个？ 为解决问题，明明和雯雯给出了两种方法如下： (1)填空： 【明明】解：设 根据题意，得：120x+80(①)=5800 ① 【雯雯】解：设 根据题意，得：六+g=60 ② (②)学校准备制作篮球和足球置物架各一个安放新添置的球，已知篮球置物架一层最多能放6个篮 球，足球置物架一层最多能放7个足球，问篮球置物架和足球置物架各至少做几层？ 第5页，共8页 16.(本小题12分) 如图，在△ABC中，AB=AC,过点D作DF 1 AC,垂足为点F (I)求证：直线DF是⊙O的切线： (2)求证：BC2=4CF·AB; (3)若⊙0的半径为2，∠CDF=22.5°，求图中阴影部分的面积. O B D 第6页，共8页 17.(本小题12分) 根据背景素材，探索解决问题 探索吊桥 如图①，平堡黄河吊桥位于甘肃省靖远县平堡乡乌金峡口西端黄河之上，被誉为”中国 农民第一桥”，其主索可近似看作抛物线，从主索上设置与桥面垂直的吊索承接桥面的 素材1 重量 如图②，两桥塔AD=BC=15m,桥面AB水平间距约为200m,主索最低点为点P, 素材2 D 距桥面约为2m. 吊桥 桥面 问题解决 任务1 在图②中，以CD的中点为原点O,CD所在直线为x轴，过点O且垂直于CD的直线 建立模 为y轴，建立平面直角坐标系，并求出主索的抛物线对应的函数解析式： 型 任务2 利用模若距离点P水平距离为50m处的两条吊索需要更换，求更换的吊索总长度为多少m? 型 第7页，共8页 18.(本小题13分) 已知四边形ABCD为菱形，∠BAD=m°(0<m<180),将边AB绕点A逆时针旋转(0°<a°<m) 到AE的位置，连接BE,DE,DE的延长线交射线BC于点F A A D A O E B B R B C F 图1 图2 图3 (1)如图1，点F在边BC上，当m=90时，直接写出四边形ABCD的形状及∠BEF的度数： (2)如图2，点F在边BC上，请判断∠BEF与∠BAD之间的数量关系，并证明： (3)如图3，当m=120,a=90时，点F在边BC的延长线上，若AB=4,求CF的长. 第8页，共8页 2026年内蒙古初三年级中考数学全真模拟测试（九） 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图是一个由个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：主视图为：． 故选：． 根据主视图是从前面看到的图形，进行判断即可． 本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键． 2.如图，一只松鼠先经过第一道门或，再经过第二道门或出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率是(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的只有种结果， 所以松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率为． 故选：． 画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的结果数，再根据概率公式求解即可． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 3.下列说法正确的是(     ) A. 小强连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，次都是正面朝上是随机事件 B. 了解全国某品牌新能源电车电池的衰减情况适合全面调查 C. 张彩票中有张奖票，人去摸，先摸的人比后摸的人中奖概率大 D. 从，，，，中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较小 【答案】A  【解析】解：、小强连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，次都是正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件，正确，符合题意； B、了解全国某品牌新能源电车电池的衰减情况，范围广，数量众多且具有破坏性，适合抽样调查，原说法错误，不符合题意； C、张彩票中有张奖票，人去摸，每人摸到奖票的概率都是，中奖概率和摸奖顺序无关，原说法错误，不符合题意； D、由题意得，取得奇数的概率为，取得偶数的概率为，故取得奇数的可能性较大，原说法错误，不符合题意． 故选：． 根据随机事件的定义，全面调查与抽样调查的适用情形、概率公式进行分析判断即可． 本题考查的是可能性的大小，随机事件，全面调查与抽样调查，熟知以上知识是解题的关键． 4.已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设， 图象过， ， ， 当电阻为时，电流为：． 故选：． 根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题． 本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式． 5.我国古代数学名著张邱建算经中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，现在拿斗谷子，共换了斗酒问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设清酒斗，则醑酒斗， 由题意可得：， 故选：． 根据共换了斗酒，其中清酒斗，则可得到醑酒斗，再根据拿斗谷子，共换了斗酒，即可列出相应的方程． 本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 6.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，与相交于点，当时，则的长是(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，，， ， 绕点旋转得到， ，， 平行于， ， ， 设， 则， ， ， 即， 解得：， ， 故选：． 根据勾股定理求出，根据旋转的性质得到和的对应边和对应角相等，设，利用勾股定理列方程求出，再在中用勾股定理以及线段的和差求得． 本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 7.如图，正六边形对角线的长为，则正六边形的边长为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设正六边形的中心为，连接，，如图， ，， ， 正六边形对角线的长为， ． 故选：． 设正六边形的中心为，连接，，则，，是等边三角形，据此即可求解． 本题主要考查了正多边形的性质和等边三角形的判定与性质，掌握正多边形的性质是解题的关键． 8.如图，有两个正方形、，点、、、分别在、、、边上，连结，已知，，则等于(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图所示： 四边形是正方形， ， 四边形是正方形， ，， 在中，， ， 又， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 同理：≌， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：． 故选：． 由正方形性质得，，，证明和全等得，同理证明和全等得，进而得，在中，由勾股定理可的长． 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.将直线向上平移个单位，若平移后的直线经过第三、二、一象限，那么常数的值可以是         写出一个即可． 【答案】答案不唯一．  【解析】解：根据“上加下减”的平移法则可知： 将直线向上平移个单位长度后，所得直线的函数解析式为， 则平移后的直线与轴的交点坐标为， ， 解得， 的值可以是． 故答案为：答案不唯一． 根据“上加下减”的平移法则，表示出平移后的直线解析式，再由平移后的直线经过第一、第二、第三象限得出的取值范围即可． 本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键． 10.某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量单位：万件是销售单价单位：元的反比例函数，其图象如图所示该产品的月供应量单位：万件是销售单价的一次函数，若销售单价为元，则月供应量为万件；若销售单价为元，则月供应量为万件当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为         元 【答案】  【解析】解：设月需求量单位：万件与销售单价单位：元的函数解析式为， 点在该函数图象上， ， 解得， 即月需求量单位：万件与销售单价单位：元的函数解析式为， 设产品的月供应量单位：万件与销售单价的函数解析式为， 销售单价为元，则月供应量为万件；若销售单价为元，则月供应量为万件， ， 解得， 即产品的月供应量单位：万件与销售单价的函数解析式为， 令， ， 解得，不合题意，舍去， 当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为元， 故答案为：． 根据题意可以求出反比例函数解析式和一次函数解析式，然后令这两个函数值相等，求出相应的的值即可． 本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 11.如图，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，如图，当窗户推开角度，则支撑窗扇的杆子长为         ． 【答案】．  【解析】解：如图，过点作于点， 在中，，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 根据题意，作，在中求出，利用勾股定理求，则得到长，利用勾股定理即可求出长． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 12.如图，正方形中，，点在边上，且． Ⅰ线段的长为         ； Ⅱ为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为         ． 【解析】解：Ⅰ正方形中，， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得：； Ⅱ为的中点， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 为的中点， ， 延长至使，连接，过作于， ，， ≌， ，， ， ， ，，， ≌， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：负值舍去． Ⅰ由正方形得到，再根据，得到，，最后根据勾股定理求的长； Ⅱ由两个中点可得，，延长至使，连接，过作于，先证明≌，得到，，，再证明≌，得到，即可得到是等腰直角三角形，是直角三角形，即可求出，，． 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，含度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：． 化简：． 【答案】   【解析】解： ； ． 根据特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值和负整数指数幂进行计算即可求解； 根据分式的混合运算进行计算即可求解． 本题考查的是分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂及特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 14.本小题分 中华民族素有崇尚读书、尊重知识的优良传统，“耕读传家”、“诗书继世”的价值理念已深深融入民族精神血脉提倡全民阅读、建设书香社会，需要全社会共同参与，每年月第四周是全民阅读活动周． 为迎接全民阅读活动周，某校从七、八年级各随机抽取名学生，调查他们平均每周的课外阅读时间，并对数据进行收集、整理、分析． 学生阅读时间小时分为组： ：；：；：；：；：． 信息： 七年级学生阅读时间在组的数据：，，，，，， 八年级学生阅读时间的平均数： 信息： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： 填空：______，______，______； 请根据以上数据，就每周阅读时间，你认为哪个年级开展的阅读活动更好，并说明理由； 若该校七、八年级均有人，请估计该校七、八年级每周阅读时间不少于小时学生共有多少人？ 【答案】  我认为七年级开展的阅读活动更好，理由如下： 从七八年级的平均数来看，七年级大于八年级，从中位数来看，七年级比八年级大，所以七年级开展的阅读活动更好  该校七、八年级每周阅读时间不少于小时学生共有人  【解析】解：由统计图可知：， ； 由图可知：组所对的圆心角度数为，则该组所占百分比为， ； 由八年级学生阅读时间的平均数： 可知： ； 故答案为：；；； 我认为七年级开展的阅读活动更好，理由如下：从七八年级的平均数来看，七年级大于八年级，从中位数来看，七年级比八年级大，所以七年级开展的阅读活动更好； 由题意可直接列式进行求解可得： 人； 答：该校七、八年级每周阅读时间不少于小时学生共有人． 根据统计图结合中位数及平均数可进行求解； 根据平均数和中位数可进行求解； 由题意可直接列式进行求解． 本题考查了方差、用样本估计整体、中位数、众数，熟练掌握以上知识点是关键． 15.本小题分 为丰富学生课后服务活动，某校准备花元添置篮球和足球共个，已知篮球每个元，足球每个元，求新添置篮球和足球各多少个？ 为解决问题，明明和雯雯给出了两种方法如下： 填空： 【明明】解：设          ，根据题意，得：            【雯雯】解：设          ，根据题意，得：             学校准备制作篮球和足球置物架各一个安放新添置的球，已知篮球置物架一层最多能放个篮球，足球置物架一层最多能放个足球，问篮球置物架和足球置物架各至少做几层？ 【答案】(1)新添置篮球有个 ;​​​​​​​;新添置篮球花费y元;​​​​​​​  (2)解：设新添置篮球有x个，根据题意，得： ， 解得：， （个）， 所以篮球有25个，足球有35个， 256=41，（层）， （层）， 答：篮球架要5层，足球架要5层． 【解析】  本题考查了一元一次方程的应用，有理数除法的应用，根据题意正确列出方程进行求解是解答本题的关键． 分别利用设新添置篮球有个，设新添置篮球花费元，两种方法进行列式即可； 【详解】解：明明：设新添置篮球有个，根据题意，得：， 雯雯：设新添置篮球花费元，根据题意，得， 故答案为：新添置篮球有个，；新添置篮球花费元，；  设新添置篮球有个，根据题意列方程分别求出篮球和足球的数量，再利用有理数除法进行求解即可． 16.本小题分 如图，在 中 ，过点作 ，垂足为点． 求证：直线 是 的切线； 求证： ； 若 的半径为 ，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)连接 ，如图： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，  为半径， ∴直线 是 的切线； (2)连接 ，如图： ∵ 为 直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 而 ， ∴ ， ∴ ，即 • ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ；   (3)连接 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，  ， ∴ ， ∵ 的半径为2， ∴ ， ∴ 【解析】  本题考查了圆的切线判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及扇形和三角形面积的计算，解题的关键是熟练运用圆的相关性质、相似三角形的判定定理及面积计算公式，通过添加辅助线构建所需的几何关系． 连接 ，证明 ，结合由 ，得到 ；  连接 ，由 ，可得 ，即 ，再证明 即可；  连接 ，根据已知求出 ，从而可得 和 ，即可得到答案． 17.本小题分 根据背景素材，探索解决问题． 探索吊桥 素材 如图，平堡黄河吊桥位于甘肃省靖远县平堡乡乌金峡口西端黄河之上，被誉为中国农民第一桥，其主索可近似看作抛物线，从主索上设置与桥面垂直的吊索承接桥面的重量． 素材 如图，两桥塔，桥面水平间距约为，主索最低点为点，距桥面约为． 问题解决 任务建立模型 在图中，以的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，并求出主索的抛物线对应的函数解析式； 任务利用模型 若距离点水平距离为处的两条吊索需要更换，求更换的吊索总长度为多少 【答案】解：任务建立平面直角坐标系如解图， 由解图可知，点坐标为，点的坐标为， 设该抛物线对应的函数解析式为，即， 将代入，得． ， 主索的抛物线对应的函数解析式为 任务由题意得，当时，， 此时吊索的长度为， 由抛物线的对称性得，当时， 此时吊索的长度也为， ， 答：更换的吊索总长度为 18.本小题分 已知四边形为菱形，，将边绕点逆时针旋转到的位置，连接的延长线交射线于点． 如图，点在边上，当时，直接写出四边形的形状及的度数； 如图，点在边上，请判断与之间的数量关系，并证明； 如图，当时，点在边的延长线上，若，求的长． 【答案】(1)解：∵四边形是菱形，且 ∴四边形是正方形； 由旋转得， ， ∴， ∴ ， 又 ∴ ∴； (2)解： 证明：由旋转得， ， ∴， ∴ ， 又 ∴ ∴； (3)解：由（2）得 由旋转得， ∵ ∴ 过点作于点，设， ∴ ∴ ∴ ∴ 在菱形中， ∴ ∴； 如图，在中，，在边上取一点，连接使 ∴ ∵则 ∴， ∴ ∴ 解得，， 又 ∴ ∴ ∴． 【解析】  本题主要考查正方形的判定，菱形的性质以及解直角三角形： 直角根据“有一个角是直角的菱形是正方形”进行判断即可；根据旋转的性质和等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出最后由平角的定义得出；  方法同可得；  由得由旋转得由勾股定理求出过点作于点，设，求出求得，解，求出，求得从而可求出 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古初三年级中考数学全真模拟测试（九） 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图是一个由个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是(     ) A. B. C. D. 2.如图，一只松鼠先经过第一道门或，再经过第二道门或出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率是(     ) A. B. C. D. 3.下列说法正确的是(    ) A. 小强连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，次都是正面朝上是随机事件 B. 了解全国某品牌新能源电车电池的衰减情况适合全面调查 C. 张彩票中有张奖票，人去摸，先摸的人比后摸的人中奖概率大 D. 从，，，，中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较小 4.已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为(     ) A. B. C. D. 5.我国古代数学名著张邱建算经中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，现在拿斗谷子，共换了斗酒问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为(     ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，与相交于点，当时，则的长是(     ) A. B. C. D. 7.如图，正六边形对角线的长为，则正六边形的边长为(     ) A. B. C. D. 8.如图，有两个正方形、，点、、、分别在、、、边上，连结，已知，，则等于(     ) A. B. C. D. 第6题图 第7题图 第8题图 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.将直线向上平移个单位，若平移后的直线经过第三、二、一象限，那么常数的值可以是      写出一个即可． 10.某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量单位：万件是销售单价单位：元的反比例函数，其图象如图所示该产品的月供应量单位：万件是销售单价的一次函数，若销售单价为元，则月供应量为万件；若销售单价为元，则月供应量为万件当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为       元 11.如图，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，如图，当窗户推开角度，则支撑窗扇的杆子长为       ． 12.如图，正方形中，，点在边上，且． Ⅰ线段的长为       ； Ⅱ为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为       ． 第11题图 第12题图 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：．化简：． 14.本小题分 中华民族素有崇尚读书、尊重知识的优良传统，“耕读传家”、“诗书继世”的价值理念已深深融入民族精神血脉提倡全民阅读、建设书香社会，需要全社会共同参与，每年月第四周是全民阅读活动周． 为迎接全民阅读活动周，某校从七、八年级各随机抽取名学生，调查他们平均每周的课外阅读时间，并对数据进行收集、整理、分析． 学生阅读时间小时分为组： ：；：；：；：；：． 信息： 七年级学生阅读时间在组的数据：，，，，，， 八年级学生阅读时间的平均数： 信息： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： 填空：______，______，______； 请根据以上数据，就每周阅读时间，你认为哪个年级开展的阅读活动更好，并说明理由； 若该校七、八年级均有人，请估计该校七、八年级每周阅读时间不少于小时学生共有多少人？ 15.本小题分 为丰富学生课后服务活动，某校准备花元添置篮球和足球共个，已知篮球每个元，足球每个元，求新添置篮球和足球各多少个？ 为解决问题，明明和雯雯给出了两种方法如下： 填空： 【明明】解：设           ，根据题意，得：               【雯雯】解：设           ，根据题意，得：              (2) 学校准备制作篮球和足球置物架各一个安放新添置的球，已知篮球置物架一层最多能放个篮球，足球置物架一层最多能放个足球，问篮球置物架和足球置物架各至少做几层？ 16.本小题分 如图，在 中 ，过点作 ，垂足为点． 求证：直线 是 的切线； 求证： ； 若 的半径为 ，求图中阴影部分的面积． 17.本小题分 根据背景素材，探索解决问题． 探索吊桥 素材 如图，平堡黄河吊桥位于甘肃省靖远县平堡乡乌金峡口西端黄河之上，被誉为中国农民第一桥，其主索可近似看作抛物线，从主索上设置与桥面垂直的吊索承接桥面的重量． 素材 如图，两桥塔，桥面水平间距约为，主索最低点为点，距桥面约为． 问题解决 任务建立模型 在图中，以的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，并求出主索的抛物线对应的函数解析式； 任务利用模型 若距离点水平距离为处的两条吊索需要更换，求更换的吊索总长度为多少 18.本小题分 已知四边形为菱形，，将边绕点逆时针旋转到的位置，连接的延长线交射线于点． 如图，点在边上，当时，直接写出四边形的形状及的度数； 如图，点在边上，请判断与之间的数量关系，并证明； 如图，当时，点在边的延长线上，若，求的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $