2026年内蒙古中考数学模拟试卷（九）考前冲刺卷

2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数 学 模 拟 试 卷 （九） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。本套试卷满分100分，测试时间90分钟； 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的相反数是(    ) A. B. C. D. 2.福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”云纹青铜大铙，如图云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌图为其示意图，它的主视图是(    ) A. B. C. D. 3.如图，是的角平分线按以下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点；作射线，与相交于点，与边相交于点则下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 4.手工社团的同学制作两种手工艺品和，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如表． 材料类别 彩色纸张 细木条捆 手工艺品 手工艺品 如果一共用了张彩色纸和捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品有个，手工艺品有个，则和满足的方程组是(    ) A. B. C. D. 5.已知反比例函数，下列选项正确的是(    ) A. 函数图象在第一、三象限 B. 随的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. 随的增大而增大 6.如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 7.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 且 8.已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个黄球、个绿球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率为      ． 10.弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力的大小与弹簧伸长或压缩的长度成正比，即，其中为常数，是弹簧的劲度系数；质量为的物体重力为，其中为常数如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为厘米在其弹性限度内：当所挂物体的质量为千克时，弹簧长度为厘米，那么，当弹簧长度为厘米时，所挂物体的质量为          千克． 11.无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向如图，在高速公路上，交警在处操控无人机巡查，无人机从点处飞行到点处悬停，探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障测得处到处的距离为，从点观测点的仰角为，，则处到处的距离为           12.如图，，分别是正方形边，上的点，且的周长是正方形边长的倍，交于点，交于点，若，则         ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； ，求代数式的值． 14.本小题7分 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间单位：，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图和图． 请根据相关信息，解答下列问题： Ⅰ填空：的值为 ______，图中的值为 ______，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为 ______和 ______； Ⅱ求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； Ⅲ根据样本数据，若该校共有名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是的人数约为多少？ 15.本小题分 某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为件公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的倍先由甲、乙两个车间共同完成件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用天完成这批订单． 求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； 首批订单完成后，公司将继续生产天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的倍，要使这天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 16.本小题分 如图，中，，是角平分线，是上一点，经过点、点的分别交，于点，点． 判断与的位置关系，并说明理由； 求证：； 若，求的长． 17.本小题分 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器高度不计竖直向上弹射一个小钢球忽略空气阻力，在秒时，它们距离地面都是米，在秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度米与小钢球运动时间秒之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度米与它的运动时间秒之间的函数关系如图中抛物线所示． 直接写出与之间的函数关系式； 求出与之间的函数关系式； 小钢球弹射秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 18.本小题分 综合与探究 问题情境：在中，，点是边上一点不与端点重合，连接将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． 猜想求解：如图，若，，求的度数； 拓展延伸： 如图，，，过点作，交的延长线于，连接，求证：； 如图，点是的中点，点是的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 【解答】 解：的相反数是． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案． 本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的视图是主视图． 【解答】 解：从正面看，可得选项A的图形． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：由作图过程可知，． 是的角平分线， ． ，， ， ， ， 故D选项一定正确． 故选：． 由作图过程可知，，由角平分线的定义可得根据，，可得，进而可得，则，即可得出答案． 本题考查作图基本作图、角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4.【答案】  【解析】【分析】 根据“一共用了张彩色纸和捆细木条，”即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【解答】 解：根据题意可列方程组． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 根据反比例函数的性质判断即可． 本题考查了反比例函数的性质，熟悉反比例函数的图象是解题的关键． 【解答】 解：反比例函数，， 函数图象在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， 故选项C符合题意． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：直线， ：：， ，，， ：：， ． 故选：． 由平行线分线段成比例定理推出：：，即可求出的长． 本题考查平行线分线段成比例，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 7.【答案】  【解析】解：由题意得，且， 且． 故选：． 根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解决问题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【解答】 解：， 当时，， 抛物线过点， ， 抛物线的开口向上， 且对称轴为， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ， ， ，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：从袋子中随机取出个球共有种等可能结果，其中它是绿球的有种结果， 所以从袋子中随机取出个球，是绿球的概率为， 故答案为：． 从袋子中随机取出个球共有种等可能结果，其中它是绿球的有种结果，再根据概率公式求解即可． 本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 10.【答案】  【解析】【分析】 利用待定系数法求出与的函数关系式，将，代入解析式即可求出的值． 本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 【解答】 解：将，代入得：， 解得， 与的函数关系式为， 将代入得：， ， 当弹簧长度为厘米时，所挂物体的质量为千克． 故答案为：． 11.【答案】  【解析】【分析】 根据三角函数的定义即可得到结论． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【解答】 解：在中， ，，， ， 答：处到处的距离为． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：过点作，交的延长线于点，过点作交于点，连接，如图所示： ，， 四边形是正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 的周长是正方形边长的倍， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 即， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在中，， 由勾股定理得：， ． 故答案为：． 过点作，交的延长线于点，过点作交于点，连接，证明，进而依据“”判定和全等得，，由此得，再根据的周长是正方形边长的倍得，继而得，则，进而依据“”判定和中全等得，证明和全等得，，再证明和全等，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，正确添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 13.【答案】   【解析】解：原式    ；  ，  ，  原式      ． 利用绝对值及二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算后再算加减即可；  由已知条件易得，将原式化简后代入数值计算即可． 本题考查分式的化简求值，实数的运算，，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 14.【答案】        【解析】由题意可知，，  ，即，  统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数是，中位数是，  故答案为：，，，；  观察条形统计图，  ，  这组数据的平均数是  在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是的学生占，  根据样本数据，估计该校名学生中，每月参加志愿服务的时间是的学生约占，有人，  估计该校学生每月参加志愿服务的时间是的人数约为人． 用每月参加志愿服务的时间为的人数除以其所占百分比可得样本容量，用每月参加志愿服务的时间为的人数除以样本容量求得的值；再根据众数和中位数的定义解答即可；  根据加权平均数公式解答即可；  用总人数乘样本中每月参加志愿服务的时间是的人数所占百分比即可． 本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15.【答案】甲车间每天生产件产品，乙车间每天生产件产品；   要使这天的生产总量最大，应安排甲车间生产天，乙车间生产天．  【解析】设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 件． 答：甲车间每天生产件产品，乙车间每天生产件产品； 设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这天的生产总量为件， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 安排甲车间生产的天数不多于乙车间的倍， ， 解得：， 当时，取得最大值，此时天． 答：要使这天的生产总量最大，应安排甲车间生产天，乙车间生产天． 设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品，利用工作时间工作总量工作效率，结合前后共用天完成这批订单，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值即乙车间每天生产产品的数量，再将其代入中，即可求出甲车间每天生产产品的数量； 设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这天的生产总量为件，利用工作总量工作效率工作时间，可找出关于的函数关系式，由安排甲车间生产的天数不多于乙车间的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 16.【答案】解：与的位置关系为与相切，理由： 连接，如图， 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 与相切； 证明：连接，，如图， 由知：， ， ． 为的直径， ， ． ， ， ， ， ∽， ， ； 解：连接，，如图， 设的半径为，则，，， 由知：， ， ， ， ． 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：； 当时，， 的图象是过原点的抛物线， 设， 点，在抛物线上， 解得：， ， 即与的函数关系式为； 设小钢球和无人机的高度差为米， 由得，或， 时， ， 抛物线开口向下， 又， 当时，的最大值为； 时，， ， 抛物线开口向上， 又对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， ， 当时，的最大值为， ， 小钢球和无人机的高度差的最大值为米．  【解析】解：设与之间的函数关系式为， 函数图象过点和， ， 解得：， 与之间的函数关系式为； 见答案； 见答案． 先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可； 用待定系数法求函数解析式即可； 当时小钢球在无人机上方，因此求，当时，无人机在小钢球的上方，因此求，然后进行比较判断即可． 本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差． 18.【答案】；     如图，连接，      ，，   ，   由旋转知，，   ，   即，   ，   ≌，   ，，   ，   ，      ，   ，   ，   ≌，   ，；    ，理由如下：   连接，      点是的中点，，   ，   ，   ，   ，即   点是的中点，，   ，   ，   是等腰直角三角形，   ，   即，     【解析】解：，，  是等边三角形，  ，  由旋转得，  ，  ；  证明：如图，连接，    ，，  ，  由旋转知，，  ，  即，  ，  ≌，  ，，  ，  ，    ，  ，  ，  ≌，  ，；  解：，理由如下：  连接，    点是的中点，，  ，  ，  ，  ，即  点是的中点，，  ，  ，  是等腰直角三角形，  ，  即，  ． 先说明是等边三角形，可得，再根据旋转的性质求出，然后根据得出答案；  连接，由题意得，，再说明，根据“边角边”说明≌，可得，进而得出，然后证明，接下来根据“边角边”证明≌，即可得出答案；  连接，根据直角三角形的性质得，再说明，然后根据直角三角形的性质得，即可得出是等腰直角三角形，最后根据勾股定理得出答案． 本题主要考查了，掌握其相关知识点是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $