2026年内蒙古自治区初中学业水平考试中考全真模拟卷（三）

2026年内蒙古自治区初中学业水平考试中考全真模拟卷（三） 数学学科中考备考资料 绝密★启用前 2026年内蒙古自治区初中学业水平考试中考全真模拟卷（三） 数 学 学 科 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的相反数是(    ) A. B. C. D. 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.文房四宝是中国古代传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚，也是安徽的特产，被联合国中如教科文组织列为世界级“非物质文化遗产”，如图是一个砚台，则其俯视图是(    ) A. B. C. D. 4.如图，两个平面镜平行放置，入射光线经过两个平面镜反射后，与其反射光线平行，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.关于的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是(    ) A. B. C. D. 6.中国古代的“四书”是指论语、孟子、大学和中庸，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分下面是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同将这张书签背面向上，洗匀放好从中随机抽取张书签恰好是“论语”和“大学”的概率是(    ) A. B. C. D. 7.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(    ) A. 抛物线的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 8.已知点在直线上，点，在抛物线上，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力阻力臂动力动力臂小明欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，动力臂为时，则撬动这块大石头至少需要动力是        10.如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为            ． 11.小明与小亮相约到某旅游风景区登山如图，他们由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处已知点、、、、在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶处与处的水平距离约为则山的高度为        参考数据：，， 12.如图，在矩形中，，，点在边上，且，为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为      ． 第11题图 第12题图 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：． 解方程：． 14.本小题分 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用，，，表示，并将测试结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题： 本次抽取的学生共有______人，扇形统计图中所对应扇形的圆心角是______，并把条形统计图补充完整； 依次将优秀、良好、及格、不及格记为分、分、分、分，则抽取的这部分学生书写成绩的中位数是______分，平均数是______分； 若该校共有学生人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有______人； 等级的名学生中有名女生和名男生，现在需要从这人中随机抽取人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的人恰好是名男生名女生的概率． 15.本小题分 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某农村合作社销售我区西部山区出产的甲、乙两种西红柿已知箱甲种西红柿和箱乙种西红柿的售价之和为元；箱甲种西红柿和箱乙种西红柿的售价之和为元． 求甲、乙两种西红柿每箱的售价． 某公司计划从该合作社购买甲、乙两种西红柿共箱，且乙种西红柿的箱数不超过甲种西红柿的箱数求该公司最少需花费多少元？ 16.本小题分 如图，为的直径，为的弦，交于点，延长至点，连接并延长与的延长线交于点，． 求证：为的切线； 若，，求的长． 17.本小题分 【问题背景】我国利用“大数据农业”思维构建标准化、智能化育种体系，将数据采集、智能温控等信息技术引入农业生产，实现标准化管理，提高农业生产的质量和效益． 【素材】如图，某种植基地的大棚的横截面是由抛物线和矩形构成，已知矩形长米，宽米抛物线最高点到地面的距离为米． 【素材】种植某农作物时，每棵农作物高大约，为了保证生长空间，相邻两棵农作物种植点之间间隔，农作物顶部不触碰大棚，且种植后农作物成轴对称分布． 【解决问题】 如图，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，通过素材提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数表达式无需写出自变量的取值范围； 在图的平面直角坐标系中，在不影响农作物生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围，并求出最前排符合所有种植条件的农作物最大数量； 为了安全，需安装“支撑架”对大棚进行加固，“支撑架”由三根支架构成，其中，垂直于地面，平行于地面，且点，均在抛物线上经考察，当“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强，此时为最安全的状态请通过计算说明最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是多少米． 18.本小题分 如图，正方形的对角线上有两点，，且，连接，，，  猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由  发现探索：如图，隐去对角线，将图中的四边形绕点逆时针旋转，得到四边形，连接，若：：，猜想线段与的数量关系，并说明理由  深入探索：在的条件下，请求出当点落在直线上时的度数  绝密★启用前 2026年内蒙古自治区初中学业水平考试中考全真模拟卷（三） 数 学 学 科 评 分 标 准 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A A C D D 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9. 0 10. 11.   12.    三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13. 解：原式.......................................................3分 .....................................................................................................5分 ， 方程两边同乘以得，， 移项，得， 解得：.........................................................................................3分 当时，， 是原分式方程的解.......................................................5分 【考点解析】 先算负整数指数幂、绝对值化简、特殊角三角函数，最后算加减即可； 先化成整式方程，再求解即可． 本题考查了解分式方程，实数的运算，负整数指数幂，特殊角三角函数值，掌握解分式方程的方法，实数的运算，负整数指数幂，特殊角三角函数值是解题的关键． 14.解：根据题意可得，人， 则， 则人，...........................................1分 补全条形图如下： ...........................................2分 故答案为：，， 中位数为排在第，名的平均数， 由条形统计图可知，，， 得出第，名的书写能力等级在等级， 即这部分学生书写成绩的中位数是分， 依题意，分.........................................4分 故答案为：，； 依题意，人． 故答案为：； 画树状图为： ...........................................5分 则共有种等可能情况，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的有种情况， 被抽取的人恰好是名男生名女生的概率为...........................................7分 【考点解析】 先运用等级的人数除以占比得出总人数，然后算出的占比，再与相乘得出其的圆心角，再运算出等级的人数，最后补全条形图，即可作答． 结合中位数的定义进行作答，再结合平均数的公式列式计算，即可作答． 运用样本估计总体的公式进行列式计算即可作答． 先画树状图，再得出共有种等可能情况，满足条件的结果是种等可能情况，运用概率公式列式计算，即可作答． 15.解：设每箱甲种西红柿的售价为元，每箱乙种西红柿的售价为元，  根据题意得：.................................3分 解得：  答：每箱甲种西红柿的售价为元，每箱乙种西红柿的售价为元.................................5分 设购买箱甲种西红柿，则购买箱乙种西红柿，  根据题意得：，  解得：， .................................7分 设该公司需花费元，则，  即，.................................8分  ，  随的增大而增大，  当时，取得最小值，最小值为元  答：该公司最少需花费元.................................10分 【考点解析】 本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题关键是： 找准等量关系，正确列出二元一次方程组； 根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 16. 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ，即， ， 是圆的半径， 为的切线...........................5分 解：， ， ， ， ， ，...........................7分 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得， ...........................12分 【考点解析】 连接，由得，由得，再根据可得，即可得出结论； 先由已知证明，即可得，设，则，，，，再由勾股定理可求出和的长． 本题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键． 17.解：由题意，，，， 设， 把，代入得，解得， 抛物线的函数表达式...................3分 当时， 解得， ，； 相邻两棵农作物种植点之间间隔，农作物顶部不触碰大棚，且种植后农作物成轴对称分布， 在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植棵...................8分 平行于地面，且点，均在抛物线上， ，关于轴对称， ，垂直于地面， ，关于轴对称，， “支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强， ，， 设，则， 解得或舍去，...................10分 ， ，． 故最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是米．...................12分 【考点解析】 根据题意，求出，，的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； 令，求出的值，进而求出种植点的横坐标的取值范围，由题意可得在距离轴的两侧开始种植，进而求出最前排可种植的棵数即可； 根据题意，易得，设，代入函数解析式进行求解，进而得到的长，即可得出结果． 本题考查二次函数的应用，正方形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 18.解：四边形是菱形；理由如下：  四边形是正方形，如图，连接交于，    ，，，  ，        ，  ，  四边形是平行四边形，  又，  四边形是菱形； ...................5分 ；理由如下：  如图，连接、，连接交于，    四边形绕点逆时针旋转，得到四边形，  ，，，  ，  ∽，  ，  四边形是菱形，  ，，，，  ，  ：：，  ，  ，  ，则，  ，  ； ...................9分 当点落在直线上时，分两种情况讨论：  当点在延长线上时，如图，连接，    四边形是正方形，  ，  四边形是菱形；  四边形绕点逆时针旋转，得到四边形，  ，，，  ，  ，  ；  当点在延长线上时，如图，连接，    同理，由旋转性质得，，，  ，  ，  ；  综上，当点落在直线上时，的度数为或．...................13分 【考点解析】 连接交于，先利用正方形的性质，结合已知证明四边形是平行四边形，进而利用菱形的判定可得结论；  连接、，连接交于，由旋转性质和相似三角形的判定证明∽，利用相似三角形的对应边成比例得到，根据已知条件，结合菱形的性质得到，，，然后根据含度角的直角三角形的性质和勾股定理得到，进而可求解；  根据题意分当点在延长线上时和当点在延长线上时两种情况，分别利用旋转性质和菱形的性质，结合等腰三角形的性质分别求解即可． 本题属于四边形综合题，主要考查旋转的性质、正方形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，涉及知识点较多，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论求解是解答的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $