小升初专题精练：比和比例（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

**基本信息** 以“概念辨析-性质应用-实际建模”为主线，通过正反比例判断、比例性质迁移、比例尺与图形变换等模块，系统培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-6/填空7|正反比例三要素（定量关系/比值/乘积）|从比的意义到比例性质，构建“概念-判断-应用”链条| |性质应用|填空8-12/计算21|比例基本性质交叉相乘/图形缩放倍数关系|比例性质→解比例→图形变换中的不变量| |实际问题|解答22-27|比例方程建模/比例尺换算/锯木次数规律|实际情境→等量关系→比例模型，培养应用意识|

小升初专题精练：比和比例-2025-2026学年数学六年级下册人教版 一、选择题 1．下列关系式中，a和b（a、b均不为0）不成正比例关系的是（    ）。 A． B． C． D． 2．在中，如果把外项3增加6，要使比例成立，那么另一个外项30应（    ）。 A．增加6 B．减少16 C．除以2 D．减少20 3．把甲班人数的20%调到乙班后，两班人数相等，原来甲乙两班人数比是（    ）。 A．3∶5 B．3∶8 C．5∶3 D．5∶8 4．如下表，如果x和y成正比例，那么“？”处应填（    ）。 x 5 ？ y 7 14 A．2 B．10 C．3.6 D．2.5 5．一根圆柱形钢材，锯成5段需要8分钟。照这样计算，如果锯成10段，需要多少分钟？设需要x分钟，下面所列比例正确的是（    ）。 A． B． C． D． 6．下面说法正确的有（    ）句。 ①在比例尺是5∶1的图纸上，图上4厘米线段表示实际长度2分米。 ②要表示部分数量与总数量之间的关系应选用扇形统计图。 ③如果甲数的25%等于乙数的20%，则甲、乙两数的比是4∶5（甲、乙均不为0）。 ④圆锥的体积比与它等底等高的圆柱的体积少。 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．a＋b＝c，当a一定时，b和c成( )比例；当b一定时，a和c成( )比例；当c一定时，a和b成( )比例。 8．如果，那么a∶b＝( )∶( )；如果5x＝8y，那么x∶y＝( )∶( )。 9．如果a÷4＝b÷5，那么a∶b＝( )∶( )。（a、b均不为0） 10．一种铜锡合金是由铜和锡按3∶8的质量比熔铸成的，生产这种合金330吨，需要铜( )吨。 11．在比例尺为25∶1的图上，一个零件的长是宽的5倍，实际上这个零件的长是宽的( )倍。 12．把一个正方形按4∶1放大，放大后正方形的边长是原来的( )倍；把一个长方形按1∶6缩小后，新长方形与原来的长方形的周长的比是( )。 13．在一幅比例尺为的地图上，量得甲、乙两地之间的公路长16cm。一辆汽车以平均每时60km的速度从甲地开往乙地，要( )时才能到达。 14．把相同体积的水倒入不同底面积的杯子中，杯子的底面积和杯中水面高度的关系如下表所示。 水面高度/cm 60 30 20 15 10 底面积/ 5 10 15 20 30 (1)根据表中数据可知，底面积与水面高度成( )比例关系。 (2)若把水倒入底面积是的杯子中，则此时水面的高度是( )cm。 三、判断题 15．如果，那么。( ) 16．圆的直径一定时，圆的周长和π成正比例。( ) 17．在同一幅地图上，图上距离越大，实际距离就越大。( ) 18．把一个长为10cm，宽为5cm的长方形按2∶1的比放大，放大后的面积是原来面积的2倍。( ) 19．两个等高圆柱的半径比是3∶4，则它们的体积比也是3∶4。( ) 四、计算题 20．直接写得数。                                                                               21．解比例。          五、解答题 22．《九章算术》中记载了古代“粟米之法”：用50斗的粟米，可换得30斗的糯米。按照这个换算方法，75斗粟米可换多少斗糯米？（用比例方程解答） 23．建筑工地计划运进一批水泥，第一次运来总数的，第二次运来160吨，这时运来的与没运来的吨数比是5∶4。工地计划运来水泥多少吨？ 24．在比例尺为1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地之间的公路长9厘米，一辆货车和一辆客车从两地同时相对开出，4小时相遇。已知客车的速度是50千米/时，求货车的速度。 25．在2024届奥运会游泳比赛中，潘展乐以46秒40的成绩夺得男子100米自由泳金牌，并打破自己保持的世界纪录。这也是中国游泳队在奥运会上获得的首枚100米自由泳金牌。为弘扬奥林匹克体育精神，学校建造一个游泳池，想给游泳池铺地砖，现有两种设计方案： (1)第一种设计方案用去了900块地砖，第二种设计方案要用多少块地砖？（用比例的知识解答） (2)哪种设计方案便宜？ 26．把长1.2m圆柱体钢材1∶2∶3截成三段，表面积比原来增加了50.24，这三段圆柱体钢材中最长的一段比最短的一段体积多多少立方厘米？ 27．随着高铁网络的建设，不断有高铁线路提速运营。如图是某列高铁的耗电量与行驶路程之间的关系。 (1)该高铁的耗电量与行驶路程成比例关系吗？为什么？ (2)若该高铁从甲地开往乙地，共耗电1575千瓦时，那么该高铁从甲地开往乙地行驶了多少千米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《小升初专题精练：比和比例-2025-2026学年数学六年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D C B C C 1．C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】A．a和b的比值是2，所以成正比例关系； B．左右两边同时除以5b，等式变成：，a和b的比值是，所以成正比例关系； C．a和b的和一定，不成正比例关系； D．左右两边同时乘a，等式变成：，a和b的比值是5，所以成正比例关系。 2．D 【分析】先算出外项3增加6的新外项，设另一个外项为，列出含有未知数的新比例，根据比例“两个外项的积等于两个内项的积”解这个比例后再和30比较即可。 【详解】3＋6＝9 解：设另一个外项为。 9∶15＝6∶ 9＝15×6 9＝90 ＝90÷9 ＝10 30－10＝20，即30要减少20。 3．C 【分析】把甲班人数看作单位“1”，甲班人数的20％调入乙班后，甲班人数还剩（1－20%），即80%。乙班调入甲班人数的20%后与甲班人数的80%相等，说明乙班人数比原甲班人数少2个20%。 【详解】1∶（1－20%－20%） ＝1∶（80%－20%） ＝1∶60% ＝1∶0.6 ＝5∶3 所以原来甲乙两班人数比是5∶3。 4．B 【分析】因为x和y成正比例，所以x与y的比值一定。观察表格可知，y从7变为14，扩大到原来的2倍，则x也应扩大到原来的2倍，据此计算即可。 【详解】14÷7×5 ＝2×5 ＝10 因此，“？”处应填10。 5．C 【分析】本题考查正比例的应用及锯物体时它的段数与次数的关系。解题关键在于明确锯钢材的时间取决于锯的次数，而不是段数。锯的次数等于段数减 1。根据“照这样计算”可知工作效率一定，即锯每次所用的时间一定，因此锯的次数与所需时间成正比例关系，据此列出比例式即可判断。 【详解】首先确定锯的次数：把钢材锯成5段，需要锯的次数为（次），那么把钢材锯成10段，需要锯的次数为：（次）； 再分析数量关系：题目中“照这样计算”表示锯钢材的工作效率一定，即锯每次所用的时间一定。根据正比例的意义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。在此题中，锯的次数与所需时间的比值（即锯每次所需时间）一定，所以锯的次数与所需时间成正比例。设如果锯成10段，需要x分钟，则列式为：。 6．C 【分析】①根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离并与题干数据对比；注意单位的统一，1分米＝10厘米； ②扇形统计图的特点，它能清楚地表示各部分数量与总数量之间的关系； ③根据题意列出等式，再利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）写出甲、乙两数的比并化简； ④等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，把圆柱体积看作单位“1”，用（圆柱体积－圆锥体积）÷圆柱体积，计算圆锥体积比圆柱体积少几分之几。 【详解】①实际距离：4÷5＝0.8（厘米），2分米＝20厘米，因为0.8厘米≠20厘米，此说法错误； ②扇形统计图可以清楚地表示出各部分数量与总数量之间的关系，此说法正确； ③根据题意可得：甲数×25%＝乙数×20%，把甲数和25%看作比例的外项，把乙数和20%看作比例的内项，则甲数∶乙数＝20%∶25%＝ 0.2∶0.25＝（0.2×20）∶（0.25×20）＝4∶5，此说法正确； ④等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。把圆柱体积看作单位“1”，圆锥体积比圆柱体积少：（1−）÷1＝÷1＝，此说法正确。 综上所述，说法正确的有②③④，共3句。 7． 不成 不成 不成 【分析】根据正比例和反比例的定义，判断两种相关联的量成何种比例，需看它们的比值或乘积是否一定。 【详解】由a＋b＝c，可得c－b＝a（一定），即b和c的差是定值，不是比值或乘积定值，所以b和c不成比例。 c－a＝b（一定），即a和c的差是定值，不是比值或乘积定值，所以a和c不成比例。 a＋b＝c（一定），a和b的和是定值，不是比值或乘积是定值，所以a和b不成比例。 8． 11 9 8 5 【分析】对于，根据“交叉相乘”的方法，可得11b＝9a，再根据“两内项之积等于两外项之积”转化为a∶b的形式。 5x＝8y，根据“两内项之积等于两外项之积”转化为x∶y的形式。 【详解】由，交叉相乘得11b＝9a，所以a∶b＝11∶9 由5x＝8y，可得x∶y＝8∶5 9． 4 5 【分析】先根据比与除法的关系将a÷4＝b÷5改写成比例a∶4＝b∶5，再根据比例的基本性质将其改写成乘法算式5a＝4b，进而得出一个以a为外项，以b为内项的比例式。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 【详解】如果a÷4＝b÷5，即a∶4＝b∶5，也就是5a＝4b，那么a∶b＝4∶5。 10．90 【分析】由一种铜锡合金中铜和锡的质量比为3∶8可得，铜的质量占3份，锡的质量占8份，则总份数为份，根据分数的意义，铜的质量占合金质量的，最后根据求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率，用合金的质量乘铜占合金的分率进行计算。 【详解】 （吨） 需要铜90吨。 11．5 【分析】把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。 【详解】在比例尺为25∶1的图上，一个零件的长是宽的5倍，因为图形的长和宽都放大到原来的25倍，因此倍数关系不变，实际上这个零件的长是宽的5倍。 12． 4 1∶6 【分析】把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1； 把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。 图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等。 【详解】把一个正方形按4∶1放大，就是将正方形的每一条边放大到原来的4倍，放大后正方形的边长是原来的4倍；把一个长方形按1∶6缩小后，新长方形与原来的长方形的周长的比不变，是1∶6。 13． 8 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，先计算出两地间路程，再用路程÷速度可计算出时间。 【详解】 （cm） 48000000cm＝480km 480÷60＝8（时） 14．(1)反 (2)7.5 【分析】根据两种相关联的量，若一种量变化，另一种量也随之变化，且这两种量中相对应的两个数的乘积一定，则这两种量成反比例关系和“底面积×水面高度＝水的体积（一定）”的数量关系分析。 【详解】（1）60×5＝300，30×10＝300，20×15＝300，15×20＝300，10×30＝300 所有组的乘积都等于300（即水的体积固定不变），满足“乘积一定”的条件。因此，底面积与水面高度成反比例关系。 （2）300÷40＝7.5（cm） 若把水倒入底面积是的杯子中，则此时水面的高度是7.5cm。 15．× 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。据此即可判断。 【详解】在比例中，和是外项，和是内项。 根据比例的基本性质可得：。 题中等式，与推导结果不符。 故答案为：× 16． × 【分析】根据正比例的定义，成正比例的两种量必须是两种相关联的变化的量，且它们的比值一定。本题中需要分析是否为变化的量。 【详解】圆的周长计算公式为。 在此关系中，是一个固定不变的数，它不会随着圆的周长或直径的变化而变化。 成正比例关系的前提是两种量都必须是可以变化的量。 因为不是变化的量，不符合成正比例的定义。 所以圆的直径一定时，圆的周长和不成正比例。 故答案为：× 17．√ 【分析】在同一幅地图上，表明比例尺是固定不变的。根据比例尺＝图上距离÷实际距离，当比值一定时，一个量扩大，另一个量也随着扩大。 【详解】因为在同一幅地图上，比例尺是一定的，所以图上距离与实际距离的比值一定。因此，图上距离越大，实际距离就越大，原题说法正确。 故答案为：√ 18．× 【分析】根据图形放大的意义，把长方形的长和宽分别扩大到原来的2倍，根据长方形面积＝长×宽，分别求出扩大后长方形面积和原来长方形面积，再用扩大后长方形面积÷原来长方形面积，即可解答。 【详解】扩大后长方形的长：10×2＝20（cm）；宽：5×2＝10（cm） （20×10）÷（10×5） ＝200÷50 ＝4 把一个长为10cm，宽为5cm的长方形按2∶1的比放大，放大后的面积是原来面积的4倍。 故答案为：× 19． × 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，可知当两个圆柱的高相等时，它们体积的比就等于底面积的比； 根据圆的面积公式S＝πr2，可知两个圆的面积之比等于它们半径的平方比；据此解答。 【详解】两个等高圆柱的半径比是3∶4，则它们的体积比是3∶4＝32∶42＝9∶16。 原题说法错误。 故答案为：× 20． ；；（或 0.390625）；； ；10；81；；18a 【解析】略 21．x＝4.8；x＝3；x＝6 【分析】（1）先根据比例的基本性质，将比例转化为方程6.25x＝7.5×4；再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以6.25求解。 （2）先根据比例的基本性质，将比例转化为方程10.8x＝8.1×4；再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以10.8求解。 （3）先根据比例的基本性质，将比例转化为方程x＝5×；再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以求解。 【详解】（1）7.5∶x＝6.25∶4 解：6.25x＝7.5×4 6.25x＝30 6.25x÷6.25＝30÷6.25 x＝4.8 （2）x∶8.1＝ 解：x∶8.1＝4∶10.8 10.8x＝8.1×4 10.8x＝32.4 10.8x÷10.8＝32.4÷10.8 x＝3 （3）＝∶ 解：5∶x＝∶ x＝5× x＝4 x÷＝4÷ x＝4× x＝6 22．45斗 【分析】粟米的数量与换得的糯米的数量的比值是一定的。可设75斗粟米可换多少斗糯米为未知数，根据比例关系列出方程求解。 【详解】解：设75斗粟米可换x斗糯米。 50∶30＝75∶x 50x＝30×75 50x＝2250 x＝2250÷50 x＝45 答：75斗粟米可换45斗糯米。 23．720吨 【分析】把工地计划运来水泥的总吨数看作单位“1”。根据“这时运来的与没运来的吨数比是5∶4”，可知这时运来的吨数占总吨数的，即。第一次运来总数的，则第二次运来的160 吨对应的分率是这时运来的分率与第一次运来的分率之差。根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用第二次运来的吨数除以其对应的分率，即可求出工地计划运来水泥的总吨数。 【详解】 （吨） 答：工地计划运来水泥720吨。 24．40 千米/时 【分析】首先根据比例尺和图上距离求出甲、乙两地的实际距离，计算过程中要注意单位换算，将厘米换算成千米。然后根据相遇问题的数量关系，用总路程除以相遇时间求出两车的速度和。最后用速度和减去已知的客车速度，即可求出货车的速度。 【详解】4000000厘米＝40千米 40×9＝360（千米） 360÷4＝90（千米/时） 90－50＝40（千米/时） 答：货车的速度是40 千米/时。 25．(1)600 (2)第二种 【分析】（1）因为每块砖的面积随着砖的块数的增加而减小，且乘积一定（每块砖的面积×砖的块数＝游泳池的底面积（一定）），所以每块砖的面积与砖的块数成反比例关系，由此可列出比例方程进行解答。 （2）根据“砖的块数×每块砖的价格＝总价”，分别求出两种砖的总价，通过比较即可知道哪种方案便宜。 【详解】（1）解：设第二种设计方案要用块地砖。      答：第二种设计方案要用600块地砖。 （2）方案一：900×5＝4500（元） 方案二：600×7＝4200（元） 4200＜4500 答：第二种设计方案便宜。 26． 502.4立方厘米 【分析】1. 单位换算：首先将圆柱体钢材的长度单位由米换算为厘米，以便与表面积和体积的单位统一。 2. 求底面积：把圆柱体截成三段，需要切2刀，每切1刀增加2个底面，共增加4个底面。用增加的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积。 3. 求各段长度：根据按比例分配的方法，用总长度分别乘最长一段和最短一段所占的分率，求出它们的长度。 4. 求体积差：根据圆柱体积公式（体积＝底面积×高），分别求出最长一段和最短一段的体积，再相减；或者先求出长度差，再乘底面积。 【详解】1.2m＝120cm 增加底面的个数： （3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 圆柱的底面积：50.24÷4＝12.56（cm2） 总份数：1＋2＋3＝6 最长一段的长度：120×＝60（cm） 最短一段的长度：120×＝20（cm） 体积差： 12.56×60－12.56×20 ＝12.56×（60－20） ＝12.56×40 ＝502.4（cm3） 答：这三段圆柱体钢材中最长的一段比最短的一段体积多502.4立方厘米。 27．(1)成比例关系，高铁的耗电量与行驶路程是两个相关联的量并且它们的比值一定。 (2)63千米 【分析】（1）两种相关联的量，如果它们的比值一定则成正比例关系，如果乘积一定则成反比例关系； （2）根据耗电量与行驶路程图可知每2千米耗电50千瓦时，求出1575千瓦时里面有几个50千瓦时，就行驶了几个2千米。 【详解】（1）根据耗电量与行驶路程图可知：2千米耗电50千瓦时，4千米耗电100千瓦时，6千米耗电150千瓦时， 50÷2＝100÷4＝150÷6＝25（千瓦时/千米），耗电量与行驶路程比值（商）一定，成正比例关系。 答：该高铁的耗电量与行驶路程成正比例关系，高铁的耗电量与行驶路程是两个相关联的量并且它们的比值一定。 （2）1575÷50×2 ＝31.5×2 ＝63（千米） 答：该高铁从甲地开往乙地行驶了63千米。 答案第1页，共2页 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