精品解析：江苏省泰州市泰兴市2025—2026学年七年级下学期期中数学试卷

七年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分． 2．所有试题的答案写在答题纸上，写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，且加粗加黑． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 书法节气之美是传统文化与自然规律的完美组合，以下小篆版二十四节气中的“雨水”“立夏”“冬至”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列三角形中，可以由平移得到的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知方程组的解满足，则k的值是（ ） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2 6. 如图，两个边长分别为a和b的正方形按图1放置，其阴影部分面积为；若在大正方形的左下角和右下角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为．若，，则的值为（ ） A. 72 B. 45 C. 36 D. 30 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 氢原子的半径约为m，用科学记数法把表示为_________. 8. 在方程中，用x的代数式表示y，得______． 9. 计算：_____． 10. 比较大小：______．（填“＞”或“＜”或“＝”） 11. 若长方形广场的长是，面积是，则该广场的宽是______． 12. 如图，线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O，若，则______． 13. 已知，那么______． 14. 我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则______． 2 3 15. 若，，则a与b满足的数量关系是______． 16. 如图，在中，．将绕点旋转得到，点的对应点分别为点，连接．在旋转过程中，当点在直线两旁时， 面积的最大值分别是和，则______． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解方程组： （1）（用代入法）； （2）（用加减法）． 20. 在如图的方格纸中，每个小正方形的边长均为1． （1）将沿着方向平移后得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，画出平移后的； （2）若与的交点是点G，则四边形的面积是 ； （3）（2）中的是可以由经过一次旋转变换得到，请用无刻度的直尺画出旋转中心M． 21. 观察下列式子：；；； （1）请你根据上面式子的规律直接写出第个式子： ； （2）探索以上式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立． 22. 下面是小丽和小真同学进行整式运算的部分过程，请认真阅读并完成相应的任务．化简并求值：，其中x＝－1，． 小丽同学的解法 解： 小真同学的解法 解： （1）任务一：仔细检查小丽同学解题的过程，回答下列问题． （ⅰ）第 处正确（填序号），用到的乘法公式是 ；（用含a、b的式子表示） （ⅱ）第 处错误（填序号），错误的原因是 ； （2）任务二：小真同学逆用乘法分配律，但过程不完整，请你将小真的化简过程完整的写出来，并代入求值． 23. 如图，四边形中，，，将沿着翻折得到，点C的对应点是点E，与相交于点F． （1）若，求的大小； （2）还可以由 经过翻折得到，请在图中画出折痕所在的直线l（仅用无刻度的直尺，保留作图痕迹）．若，，则的周长是 ． 24. 某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示： 甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件） 信息一 2 4 1600 信息二 3 2 1400 （1）试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？ （2）现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由． 25. 【文化欣赏】我国南宋时期杰出的数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载了“杨辉三角”，此数表给出了展开式的系数规律． 第2行 第3行 第4行 第5行 【应用体验】 （1）的展开式为 ； （2）利用上面的规律计算： ① ； ② ； （3）若， ①求的值． ②求的值． （4）当代数式的值为1时，求a的值． 26. 在学习平方差公式时，小明发现：两个连续偶数的平方差有一些有趣的结论．他定义：如果一个正整数N可以写成的形式（其中为正整数），则称N为“双偶平方差数”，称为的“序数”．例如，当时，，所以是双偶平方差数，序数为． （1）下列各数是双偶平方差数的是 ；（填序号） （2）小明猜想：任意一个双偶平方差数都能被整除．请帮助小明证明他的猜想； （3）设两个双偶平方差数和的序数分别为和（、为正整数）． 若，，求和的值； 若可表示为的形式，其中，．已知，求和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分． 2．所有试题的答案写在答题纸上，写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，且加粗加黑． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 书法节气之美是传统文化与自然规律的完美组合，以下小篆版二十四节气中的“雨水”“立夏”“冬至”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂运算的基本法则，需根据合并同类项，同底数幂的乘法、除法，幂的乘方的运算法则逐一判断选项． 【详解】解：选项A：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，A错误． 选项B：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，B错误． 选项C：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，C错误． 选项D：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，D正确． 3. 如图，下列三角形中，可以由平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形的平移，解题的关键是理解平移的性质，即平移不改变图形的形状，大小和方向． 根据平移性质，逐一分析选项中的三角形与的形状，大小和方向是否一致． 【详解】A、的形状，与相比，方向发生了改变，不是通过平移得到的； B、与相比，方向发生了改变，不是通过平移得到的； C、大小和方向与完全相同，是由平移得到的； D、与相比，方向发生了改变，不是通过平移得到的； 故选：A． 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方差公式展开化简后，即可求出的值． 【详解】解：， ， ． 5. 已知方程组的解满足，则k的值是（ ） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据方程组求出，再结合已知条件可得，求出解即可． 【详解】解：， ，得， 即． ∵， ∴， 解得． 6. 如图，两个边长分别为a和b的正方形按图1放置，其阴影部分面积为；若在大正方形的左下角和右下角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为．若，，则的值为（ ） A. 72 B. 45 C. 36 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图形表示出，然后再利用完全平方公式进行化简代入求值即可． 【详解】解：，， ∴， 将，代入上式得， 原式． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 氢原子的半径约为m，用科学记数法把表示为_________. 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10-11． 故答案为5×10-11． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 8. 在方程中，用x的代数式表示y，得______． 【答案】 【解析】 【分析】要将方程中的项单独放在等式一侧，其他项移到另一侧，对含的项进行系数化为1，可能用到等式的基本性质． 【详解】解： 原方程 移项， 得， 等式两边同时除以，整理， 得． 9. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据乘方的意义把两项幂化为指数相同，然后逆用积的乘方公式即可求解． 【详解】解：原式＝（）100×3101＝（×3）100×3＝3． 故答案是：3． 【点睛】本题考查幂的运算，灵活运用同底幂乘法公式逆用、积的乘方公式逆用及乘法运算律是解题关键． 10. 比较大小：______．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】将两个幂变形为同指数幂，通过比较底数大小即可得到结果． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴，即． 11. 若长方形广场的长是，面积是，则该广场的宽是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形面积公式，利用多项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：∵长方形广场的长是，面积是， ∴该广场的宽是 ． 12. 如图，线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O，若，则______． 【答案】36 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ∵线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O， ∴． 13. 已知，那么______． 【答案】16 【解析】 【分析】用同底数幂法则化简，再将代入即可． 【详解】解：， , ． 14. 我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则______． 2 3 【答案】 【解析】 【分析】根据三阶幻方中每行每列每条对角线上的三个数之和相等的性质，建立关于x,y的方程组，求解得到x的值． 【详解】解：设三阶幻方中每行每列对角线的公共和为S， 由题意，右上到左下的对角线三个数之和为； 第一列三个数之和为， 第一行三个数之和为 因此可得方程组 整理得 得 . 解得 ． 15. 若，，则a与b满足的数量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式和平方差公式可得，，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 16. 如图，在中，．将绕点旋转得到，点的对应点分别为点，连接．在旋转过程中，当点在直线两旁时， 面积的最大值分别是和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转性质可知，为定值，点在以点为圆心，为半径的圆上，面积最值为圆上点到的距离最值． 【详解】解：根据旋转性质可知，为定值，点在以点为圆心，为半径的圆上， 设到的距离为，又， ， 当点在直线远离点的一侧，点到的距离最大为， 当点在直线靠近点的一侧，点到的距离最小为， ， ． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据零指数幂和负整数指数幂的定义计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】解：（1）原式. （2）原式. 19. 解方程组： （1）（用代入法）； （2）（用加减法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入第一个方程，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，之后再回代求另一个未知数． （2）先观察两个方程中或的系数，通过给方程乘以合适的系数，使某一未知数的系数互为相反数或相等，再将两个方程相加或相减消去该未知数，转化为一元一次方程求解，最后回代求另一未知数． 【小问1详解】 解：原方程组：， 将②代入①，得 ， 整理得：， 解得 ， ​把​代入②，得 ， 所以方程组的解为； 【小问2详解】 解：原方程组：， ，得， ，得， ③④，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为． 20. 在如图的方格纸中，每个小正方形的边长均为1． （1）将沿着方向平移后得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，画出平移后的； （2）若与的交点是点G，则四边形的面积是 ； （3）（2）中的是可以由经过一次旋转变换得到，请用无刻度的直尺画出旋转中心M． 【答案】（1）作图见解析 （2）8 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）将点C沿着方向，向右平移4个格得到点F，再将点B沿着方向，向右平移4个格得到点E，再依次连接，则即为所求； （2）根据计算； （3）连接，交于点M，将线段绕点M旋转得到． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示， ； 【小问3详解】 解：如图所示，连接，交于点M，则点M即为所求． 21. 观察下列式子：；；； （1）请你根据上面式子的规律直接写出第个式子： ； （2）探索以上式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立． 【答案】（1） （2）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据上面式子的规律即可写出第个式子； （2）探索以上式子的规律，结合（1）即可写出第个等式，计算等式左边，得出左边右边即可说明． 【小问1详解】 解：观察已知式子的规律： 第个式子：（第一个乘数，第二个乘数，右边） 第个式子：（第一个乘数，第二个乘数，右边） 第个式子：（第一个乘数，第二个乘数，右边） 第个式子：（第一个乘数，第二个乘数，右边） 因此第个式子中，第一个乘数，第二个乘数，右边，即：； 【小问2详解】 解：由（1）中规律可得： 第个等式：（为正整数） 证明：∵左边，右边， ∴左边右边， ∴第个等式成立． 22. 下面是小丽和小真同学进行整式运算的部分过程，请认真阅读并完成相应的任务．化简并求值：，其中x＝－1，． 小丽同学的解法 解： 小真同学的解法 解： （1）任务一：仔细检查小丽同学解题的过程，回答下列问题． （ⅰ）第 处正确（填序号），用到的乘法公式是 ；（用含a、b的式子表示） （ⅱ）第 处错误（填序号），错误的原因是 ； （2）任务二：小真同学逆用乘法分配律，但过程不完整，请你将小真的化简过程完整的写出来，并代入求值． 【答案】（1）（ⅰ）①；；（ⅱ）②；完全平方公式使用错误，缺中间项2ab （2） 【解析】 【分析】（1） 根据平方差公式和完全平方公式即可得解； （2） 先化简，再代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：（ⅰ）①处正确，用到了平方差公式：； （ⅱ）因为完全平方公式为,所以②处错误；错误原因为完全平方公式使用错误，缺中间项． 【小问2详解】 解： ． 当 , 时， 原式 ． 23. 如图，四边形中，，，将沿着翻折得到，点C的对应点是点E，与相交于点F． （1）若，求的大小； （2）还可以由 经过翻折得到，请在图中画出折痕所在的直线l（仅用无刻度的直尺，保留作图痕迹）．若，，则的周长是 ． 【答案】（1） （2）；作图见解析；16 【解析】 【分析】（1）因为，可得；又因为沿翻折得到，所以，进而．又有，结合上述角的等量关系可求． （2）对于作图，利用平行四边形和翻折的性质，找到对应点的对称轴，即折痕；求周长时，因为，所以，则的周长可转化为，代入数值计算． 【小问1详解】 ∵，， ∴四边形是平行四边形，； 由翻折性质得， ∴， ∵， 又∵， ∴． 【小问2详解】 可由翻折得到，如图所示，直线l即为所求； ∵， ∴， ∵，， ∴的周长． 24. 某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示： 甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件） 信息一 2 4 1600 信息二 3 2 1400 （1）试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？ （2）现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）甲每小时各拣300件包裹，乙每小时各拣250件包裹 （2），甲、乙工作时间分别为5小时，4小时 【解析】 【分析】（1）设甲、乙每小时各拣包裹x件、y件，根据表格中的等量关系列出方程组并解方程组即可； （2）设甲、乙工作时间为a、小时，根据题意列出二元一次方程，求出整数解即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙每小时各拣包裹x件、y件，则： ； 解得 答：甲每小时各拣300件包裹，乙每小时各拣250件包裹； 【小问2详解】 解：设甲、乙工作时间为a、小时， 则 即 ∴ ∵a、k均为正整数， ∴ 甲、乙工作时间为5小时，小时． 25. 【文化欣赏】我国南宋时期杰出的数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载了“杨辉三角”，此数表给出了展开式的系数规律． 第2行 第3行 第4行 第5行 【应用体验】 （1）的展开式为 ； （2）利用上面的规律计算： ① ； ② ； （3）若， ①求的值． ②求的值． （4）当代数式的值为1时，求a的值． 【答案】（1） （2）①；②32 （3）①1；② （4）或1 【解析】 【分析】（1）根据“杨辉三角”的系数规律进行解答即可； （2）①根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案；②根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案； （3）①令即可求出答案；②分别令和列出式子，两式相减即可求出答案； （4）根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 【小问2详解】 解：① ； ② 【小问3详解】 解：①当时， ， ②当时， ①， 当时， ②， 得到， ∴ 【小问4详解】 当代数式的值为1时，则， ∴， ∴或， 解得或1 26. 在学习平方差公式时，小明发现：两个连续偶数的平方差有一些有趣的结论．他定义：如果一个正整数N可以写成的形式（其中为正整数），则称N为“双偶平方差数”，称为的“序数”．例如，当时，，所以是双偶平方差数，序数为． （1）下列各数是双偶平方差数的是 ；（填序号） （2）小明猜想：任意一个双偶平方差数都能被整除．请帮助小明证明他的猜想； （3）设两个双偶平方差数和的序数分别为和（、为正整数）． 若，，求和的值； 若可表示为的形式，其中，．已知，求和的值． 【答案】（1） （2）见解析； （3） ，；，； ，． 【解析】 【分析】（1）根据“双偶平方差数”的定义求解即可； （2）根据“双偶平方差数”的定义即可证明猜想； （3）根据已知可得，或，即可得和的值；由（2）知，，可得，结合已知，可得和的值，即可得和的值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴和是双偶平方差数， ∵，（为正整数） ∴“双偶平方差数”必为偶数， ∴不是“双偶平方差数”． 【小问2详解】 解：， ∵是整数， ∴能被整除． 【小问3详解】 解：∵两个双偶平方差数和的序数分别为和（、为正整数）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由，解得， 由，解得， ∴，；，． 由（2）知，， 则． ∵，且，， ∴． ∴， ∴， 解得，， ∴，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $