精品解析：2026年安徽安庆市第十四中学等校初三毕业模拟考试（二模）数学试题

2026届初三毕业模拟考试（二模） 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个符合题目要求． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 我区深入实施环境污染整治，关停和整改了一些化工企业，使得每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为（　　） A. 167×103 B. 16.7×104 C. 1.67×105 D. 1.6710×106 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是( 　) A. B. C. D. 5. 在半径为6的圆中，圆心角所对的弧长是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，边的中点为，于点，于点，若，则的长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 8. 某品牌耳机进价为240元，商店以320元的价格出售，“五一节”期间，商店为让利顾客，计划以利润率不低于20％的价格降价出售，那么该耳机最多可降价（ ） A. 288元 B. 144元 C. 72元 D. 32元 9. 如图，在中，是的角平分线，，垂足为点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为线段上一点（不包括端点），四边形和四边形均为矩形，三点在同一条直线上，三点在同一条直线上，，，记矩形和矩形的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 当______时，分式有意义． 12. ________．（选填“”、“”或“”） 13. 小红、小轩、小涵、小敏四位同学去学校餐厅吃饭，并在如图所示的四座餐桌处随机落座，则小红坐在小轩正对面的概率是_____________． 14. 如图，在正方形中，，M为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点N， （1）若点N与点A重合，则长度为____． （2）若点N为的中点，则点到的距离为____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： 16. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴成轴对称的； （2）以点为位似中心，把放大倍，画出放大后的位似图形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 18. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则96是和谐数； （1）请判断56是否是和谐数？如果是，请直接写出平方差为56的连续的两个奇数； （2）求证：任何一个和谐数一定能被8整除． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，．（参考数据：，，，，，） （1）求的长； （2）如图3，消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度到，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯的旋转角的度数． 20. 如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． （1）求证：． （2）若，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 无核柑橘是某西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘的直径用（单位：）表示．将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 根据所给信息，请完成以下所有任务． （1）任务1：______． （2）任务2：A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为，，，，，计算乙园样本数据的平均数． （3）任务3：下列结论一定正确的是_____．（填正确结论的序号） ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． （4）任务4：结合市场情况，将D，E两组的柑橘认定为一级，C组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，中，，于点，点，分别为边，中点，连接，交于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，是边上一点，连接，且． 求证：； 若，，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系xOy中，点和在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． （1）当，时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； （2）点在抛物线上，若，求的取值范围； （3）当2时，函数的最大值与最小值的差为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初三毕业模拟考试（二模） 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个符合题目要求． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 2. 我区深入实施环境污染整治，关停和整改了一些化工企业，使得每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为（　　） A. 167×103 B. 16.7×104 C. 1.67×105 D. 1.6710×106 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，是正数；当原数的绝对值<1时，是负数． 【详解】167000这个数用科学记数法可以表示为 故选C． 【点睛】考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键. 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图． 【详解】解：从上面看是两个同心圆个矩形，符合题意的是D， 故选D． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图． 4. 下列计算正确的是( 　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式的乘除法、多项式乘以多项式法则逐一判断即可． 【详解】A．，此选项计算错误； B．，此选项计算正确； C．，此选项计算错误； D．，此选项计算错误． 故选B． 【点睛】本题考查了单项式的乘除法、多项式乘以多项式，掌握运算法则是解答本题的关键． 5. 在半径为6的圆中，圆心角所对的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得，弧长为． 6. 在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 7. 如图，在中，，，边的中点为，于点，于点，若，则的长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，，再由题意确定，利用含30度角的直角三角形的性质得出，再由余弦函数求解即可 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵边的中点为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 8. 某品牌耳机进价为240元，商店以320元的价格出售，“五一节”期间，商店为让利顾客，计划以利润率不低于20％的价格降价出售，那么该耳机最多可降价（ ） A. 288元 B. 144元 C. 72元 D. 32元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用等知识，设耳机降价x元，根据题意列出不等式，解不等式即可求解﹒ 【详解】解：设耳机降价x元， 由题意得 ， 解得﹒ 故选：D 9. 如图，在中，是的角平分线，，垂足为点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点，即可证明，有和，结合题意可得和，作，则，可证明为的中位线，可得，同理可证为的中位线，则，那么有，根据三角形三边关系得到，有，即可解得答案． 【详解】解析：如图，延长交于点， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ． 作，则， ∴点Q为的中点， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴同理可证为的中位线， ∴， 则， ∵， ∵， ∴， 则， 那么，． 10. 如图，为线段上一点（不包括端点），四边形和四边形均为矩形，三点在同一条直线上，三点在同一条直线上，，，记矩形和矩形的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，过点作交的延长线于点，可证，得到，，即得，，进而即可判断求解，正确求出与之间的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则， ∴， ∵四边形和四边形均为矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴是的二次函数，开口向下，顶点坐标为， ∴A选项正确， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 当______时，分式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵有意义． ∴， 解得， 故答案为： 12. ________．（选填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，先计算两数的绝对值，再比较绝对值的大小，进而判断原数的大小关系． 【详解】解：根据绝对值的定义，可得，， 因为，即， 所以． 13. 小红、小轩、小涵、小敏四位同学去学校餐厅吃饭，并在如图所示的四座餐桌处随机落座，则小红坐在小轩正对面的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，找到所有可能数和符合条件数，利用概率公式求解即可． 本题考查了用树状图法列举求概率，正确画出树状图是解答本题的关键． 【详解】设小红、小轩、小涵、小敏分别为①、②、③、④， 画树状图如下： 共有12种等可能得结果，其中小红和小轩坐正对面的结果有：①②，②①，③④，④③，共4种， ∴小红坐在小轩正对面的概率是为． 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，，M为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点N， （1）若点N与点A重合，则长度为____． （2）若点N为的中点，则点到的距离为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先作出图形，然后得到点共线，求出，由折叠可得，，再求出，最后根据是等腰直角三角形求解即可； （2）由正方形的性质得，，，由翻折得，作于点，于点，由，证明，得，则，设，则，，，，最后由列方程求得符合题意的值，再代入求出的值即可． 【详解】解：点N与点A重合，如图： ∵点三点共线， ∴当点N与点A重合时，点共线， ∵四边形是正方形， ∴ ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）∵正方形中，，点N为的中点， ∴，，， 由翻折得， 作于点，于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点到的距离为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【详解】解：整理得， ，，， ． ∴， ∴，． 16. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴成轴对称的； （2）以点为位似中心，把放大倍，画出放大后的位似图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用关于轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）①把、、的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可；②把、、的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可． 【详解】解：（1）如图，为所作； （2）如图，为所作． 【点睛】本题考查了轴对称变换和位似变换，解题的关键是掌握位似变换的概念，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】车间应该分配9名工人生产螺栓，分配12名工人生产螺母 【解析】 【分析】设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，再根据“1个螺栓配2个螺母”的配套要求，得到螺母总数量是螺栓总数量的2倍这一等量关系，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母， 根据题意，得 解得 则 ， 答：车间应该分配9名工人生产螺栓，分配12名工人生产螺母． 18. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则96是和谐数； （1）请判断56是否是和谐数？如果是，请直接写出平方差为56的连续的两个奇数； （2）求证：任何一个和谐数一定能被8整除． 【答案】（1）56是和谐数，两个连续奇数是13和15 （2）见解析 【解析】 【分析】解决本道题的关键是利用平方差公式将 “两个连续奇数的平方差” 转化为含参数的代数式，再进行计算或证明； （1）利用平方差公式设出两个连续奇数，列方程求解，判断 56 是否能表示为两个连续奇数的平方差； （2）设两个连续奇数为含整数参数的代数式，利用平方差公式展开并化简，证明结果是 8 的倍数． 【小问1详解】 解：设任意两个连续奇数分别为和（为正整数）， ， 56是和谐数，两个连续奇数是13和15； 【小问2详解】 证明：设任意两个连续奇数分别为和（为正整数），对应的和谐数为， ∵ ∴ ∵为正整数，即是8的倍数， ∴任何一个和谐数一定能被8整除． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，．（参考数据：，，，，，） （1）求的长； （2）如图3，消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度到，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯的旋转角的度数． 【答案】（1）4m （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和旋转的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键． （1）过点B作于点E，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小，进而求出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， 在直角三角形中，∵， ∴， 在直角三角形中，∵m，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，m，m， ∴， ∴， ∴， 即云梯大约旋转了． 20. 如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． （1）求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据D是的中点，于点E，得到,得到即可得证． （2）根据，设，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，在中，利用勾股定理计算x即可． 【小问1详解】 ∵D是的中点， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵，是的直径， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 无核柑橘是某西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘的直径用（单位：）表示．将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 根据所给信息，请完成以下所有任务． （1）任务1：______． （2）任务2：A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为，，，，，计算乙园样本数据的平均数． （3）任务3：下列结论一定正确的是_____．（填正确结论的序号） ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． （4）任务4：结合市场情况，将D，E两组的柑橘认定为一级，C组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 【答案】（1）40 （2）6 （3）① （4）乙园的柑橘品质更优．理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据总数减去各部分的数据即可； （2）根据加权平均数的计算方法求解即可； （3）根据中位数、众数的定义及样本中的数据求解即可； （4）分别计算甲和乙的一级率、二级率，比较即可． 【小问1详解】 解：由图1得，； 【小问2详解】 解：， 即乙园样本数据的平均数为6． 【小问3详解】 解：①∵，， ∴甲园样本数据的中位数在C组， 同理∵，， ∴乙园样本数据的中位数在C组，故①正确； ②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B组，乙园样本数据的众数均在C组，故②错误； ③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误； 综上可得，结论一定正确的是①； 【小问4详解】 解：甲园样本数据的一级率为：，二级率为：， 乙园样本数据的一级率为：，二级率为：， ∵两园样本数据的一级率相同，但乙园样本数据的二级率高于甲园样本数据的二级率， ∴乙园的柑橘品质更优． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，中，，于点，点，分别为边，中点，连接，交于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，是边上一点，连接，且． 求证：； 若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析； 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜得出，根据等边对等角得出，根据，得出，进而根据三角形内角和定理得出； （2）①先证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． ②连接，证明，根据相似三角形的性质得出，进而证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：在中，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，， ； 【小问2详解】 ①，是边的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，即， ， ， ． ②连接， ，分别为，中点，，， ，， 又，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系xOy中，点和在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． （1）当，时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； （2）点在抛物线上，若，求的取值范围； （3）当2时，函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1）抛物线与y轴交点的坐标为，； （2）的取值范围为； （3）． 【解析】 【分析】（1）当时，，可得抛物线与轴交点的坐标；再根据题意可得点，关于对称轴为对称，可得的值； （2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为，由抛物线的图象和性质，可得当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，分类讨论：当点，点，点均在对称轴的右侧时，，由函数值的大小关系，可得，无解；当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，，由函数值的大小关系可得，且，可得的取值范围，由二次函数的图象和性质，可得，即可得的取值范围； （3）由抛物线的对称轴为直线，可得，由二次函数的图象和性质，可得当2时，函数的最大值为，函数的最小值为，根据题意可得，结合，，即可得的值． 【小问1详解】 解：当时，， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴． 【小问2详解】 解：当时，， ∴抛物线与y轴交点坐标为， ∴抛物线与轴交点关于对称轴的对称点坐标为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当点，点，均在对称轴的右侧时， ， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，， ∵， ∴，且， 解得， ∵，，对称轴为， ∴， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ，， ∵， ∴，， ∵， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当2时， 函数的最大值为， 函数的最小值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $