江苏镇江市句容碧桂园学校2025-2026学年高一第二学期期中测试数学试题

2025~2026学年第二学期期中测试题 高一数学 2026.5 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．化简 (     ) A． B． C． D． 2．设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 5．在△ABC中，若，则最大角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 6．在△ABC中，已知，则（    ） A．120° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 7．（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 8．如图，在扇形中，半径，圆心角，是弧上的动点，矩形内接于扇形，下列说法正确的是（     ） A．当时，矩形为正方形 B．当时， C．矩形面积的最大值为 D．面积的最大值为 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（      ） A． B．△ABC的面积为 C． D． 11．如图，是半径为1的圆O的两条不同的直径，，则（    ） A． B． C．满足的实数与的和为定值4 D．的最大值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，，且与的夹角为，则________． 13．函数的最小正周期是___________. 14．在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 四、解答题（第15题13分，第16,17题每题15分，第18,19题每题17分，共77分） 15．已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 16．已知平面向量，，，且， (1)求在方向上的投影向量； (2)求与的夹角． 17．（1）已知，，是第三象限角，求的值． （2）已知，，求的值； 18．在中，为角所对的三边，且满足. (1)求角的大小； (2)求边的长； (3)求的值. 19．“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当△ABC的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在△ABC中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)已知，点为△ABC的费马点. ①若，记，求； ②若△ABC为锐角三角形，求的取值范围. 参考答案 1．D 【详解】. 2．D 【详解】由题意得，故 3．B 【详解】E为的中点，， 是平行四边形，， . 4．A 【分析】逆用两角差的正弦展开公式求解即可. 【详解】. 5．A 【详解】在中，大边对大角，最大，故角为最大角. 由余弦定理得. 代入,,，. 6．D 【详解】由正弦定理， 所以， 又，所以 所以或． 7．B 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的关系、两角差的正弦公式等，化简计算，即可得答案. 【详解】原式 . 8．D 【分析】结合图形，利用三角函数的定义求出相关边长可判断A项；对于B，C，D项，通过表示出相关边长，利用二倍角公式，三角恒等变换进行化简，将其化成正弦型函数，利用正弦函数的图象性质即可求出最值. 【详解】对于A， ， ，则， ， ，则，故A错误； 对于B，当时， ，，， 则，故B错误； 对于C，由B项已得，， 因，则，故当，即时，取得最大值为，故C错误； 对于D，由B项已得，， 则 ， 因，则，故当，即时，取得最大值为，故D正确. 故选：D. 9．ACD 【详解】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，正确. 10．AB【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式，可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，，可得，故C不正确； 对于D，因为，所以，故D不正确． 11．BCD【详解】由题意知，，，，，故A错误； 以O为原点，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，根据对称性，不妨取C在x轴上方，设，则， 则，， ，故B正确； ，， O，C，D三点共线，，即，故C正确； ，， ，， ，，，，， 即，又，， 的最大值为，故D正确. 12． 【详解】由题设. 13． 【分析】根据恒等变换得，再求最小正周期即可. 【详解】由题意知， 所以函数的最小正周期是 14． 【分析】应用正余弦定理求得、外接圆的半径，再由四边形的面积最大，只需的面积最大，结合即可求. 【详解】由题设，即（负数舍去）， 又外接圆的半径， 要使四边形的面积最大，只需的面积最大， 由到的距离，则中边上的最大高为， 所以最大. 15．(1) (2) 【分析】（1）先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的概念求得m的值； （2）将复数代入方程中，结合复数相等求出p，q的值. 【详解】（1）由题意可知：， 因为z是纯虚数，则，解得. （2）因为是关于的方程的一个根， 则，整理得， 则，解得，，所以. 16．(1) (2) 【详解】（1），， 因为，所以，解得，即， ，因为，所以，即， 解得，即，， 因此在上的投影数量为， 所以在上的投影向量为. （2），， 设与的夹角为，， 因为，所以解得. 17．（1）（2） 【分析】（1）根据同角三角函数关系，求出，再根据两角和的余弦公式，求出结果即可； （2）根据同角三角函数关系，求出，再根据两角差的正弦公式，求出结果即可； 【详解】（1）因，，则； 又因，是第三象限角，则． 故． （2)，，， 因，则， 所以 ； 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理及同角三角函数关系，结合题意可得，从而求得； （2）由（1）的结论及余弦定理可得； （3）结合（2）的结论由余弦定理的推论可得. 【详解】（1）由正弦定理，得. 又，∴， ∴. ∵，∴. （2）∵，. ∴由余弦定理得， ∴. （3）∵， ∴. 19．(1) (2)①；② 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得； （2）①利用正弦定理可计算出，再分别在、中，使用正弦定理并作商即可得；②结合费马点定义可得，再利用等面积法计算可得，再利用正弦定理可用表示，结合锐角三角形性质可求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）根据正弦定理，有， 即， 又因为， 所以， 即， 即， 因为三角形中，则有， 即，所以， 又，所以，则； （2）因为，所以和均小于， 又为费马点，则有， （ⅰ）在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，由正弦定理得， 在中，， 由正弦定理得， ①②两式相除得，化简得， 所以； （ⅱ） ， 由， 得， 整理得， 因为， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 所以，所以， 则，所以， 所以的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $