内蒙古包头地区2025-2026学年高二下学期期中考试数学自编模拟试卷

**基本信息** 内蒙古包头2026高二期中模拟卷聚焦导数、概率统计、二项式定理等核心知识，解答题设计辩论选排、投篮比赛等现实情境，通过数学思维分析抽样方案、比赛得分概率，体现知识应用价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|二项式系数、导数切线、分层抽样|单选基础巩固（如展开式系数），多选综合辨析（如随机变量性质）| |填空题|3题15分|条件概率、三角函数最值|结合生活情境（如图书馆选择概率），考查数学抽象能力| |解答题|5题77分|排列组合、概率期望、函数单调性|辩论队选排问题综合排列与不相邻排列，知识竞赛得分分析融合概率与期望计算，体现数学语言表达现实问题的素养|

内蒙古包头2026年高二年级期中考试模拟试卷解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的备选答案中，只有一个选项是符合题意的。） 1．的展开式中含项的系数为（　　） A．8 B．16 C．32 D．64 解：二项式的展开式中通项公式为：， 令，可得含项的系数是．故选：． 2某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 解：初中部和高中部分别有400和200名学生，人数比例为， 则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，则有种．故选：． 3曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（　　） A．y＝x B．y＝x C．y＝x+ D．y＝x+ 解：因为y＝，y′＝＝， 故函数在点（1，）处的切线斜率k＝， 切线方程为y﹣＝（x﹣1），即y＝．故选：C． 4函数的极大值点为（　　） A．0 B． C． D． 解：由题意得，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以的极大值点为0．故选：． 5．已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A． B． C． D． 解：根据题意，（B），则（B），又由，则， 而（A），则（A），而（B），则（B）， 故．故选：． 6某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（　　） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 解：已知某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师， 且去甲校的人数不得少于丙校， 若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种．故选：． 7设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a＝， 同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b＝＝． 再由13a＝7b，可得13＝7，即 13×＝7×， 即 13＝7×，即 13（m+1）＝7（2m+1），解得m＝6，故选：B． 8已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2） 解：∵f（x）＝ax3﹣3x2+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2），f（0）＝1； ①当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1有两个零点，不成立； ②当a＞0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a＜0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点； 故f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点； 而当x＝时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值； 故f（）＝﹣3•+1＞0； 故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）； 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。） 9已知随机变量，且，则（　　） A． B． C． D． 解：因为随机变量， 所以，， 又因为， 所以，． 故选：． 10若的展开式中的系数为，则（　　） A． B．所有项系数之和为1 C．二项式系数之和为64 D．二项式系数最大项为第3项 解：因为的展开式中项为，可得，解得，故正确； 则，令，所有项系数之和为，故正确； 因为，可知二项式系数之和为，二项式系数最大项为第项，故正确，错误． 故选：． 11已知函数，则下列结论正确的是　　 A．函数有2个极值点 B．函数无最小值 C．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 解：，当时，；当时，， 所以在，上为增函数，在上为减函数， 所以当时，函数有极大值，当时，函数有极小值（1）， 由，即，得或， 所以当，时函数的图像在轴上方，画出函数图象，如图： 由图像可知正确，错误； 由图像可知实数的取值范围是，故错误； 由得或，因为，（1）， 所以与，的图像有5个交点，所以函数有5个零点，故正确． 故选：． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知随机变量，且，则=_______ 解：因为，所以由正态分布图象的对称性可知，， 所以． 13某大学有，两个图书馆，学生小李周六随机选择一图书馆阅读，如果周六去图书馆，那么周日去图书馆的概率为0.4；如果周六去图书馆，那么周日去图书馆的概率为0.6．小李周日去图书馆的概率为_________ 解：记事件表示小李周六去图书馆，事件表示小李周六去图书馆，事件表示小李周日去图书馆， 则，其中与为互斥事件， 依题意，，，， 由全概率公式得（E） ． 14已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是　　． 解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x =2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1）， 令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或 ； ∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或 和边界点x=0中取到， 计算可得f（ ）=，f（π）=0，f（ ）=﹣，f（0）=0， ∴函数的最小值为﹣，故答案为：． 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15修水一中文学社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加全县辩论大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示） （1）如果4人中，男生甲当队长必须参加，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （3）辩论赛要求2男2女参加，坐成一排，且男生不相邻的，有多少种排座位方法？ 解：已知文学社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加全县辩论大赛， （1）如果男生甲必须去，从剩下的8人中选3人即可，有种选法； （2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法； （3）选2男2女，先排2位女生，将2为男生插入其中的3个空中，则有种排法． 16已知的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为64， （1）求展开式中的常数项．（2）求的展开式中的系数． 解：（1）各项系数和为，二项式系数和为， 则，解得， 则展开式通项为，，1，2，3，4，5，6， 令，解得， 所以，即展开式中的常数项为135； （2）由的展开式中含项：， 所以展开式中的系数为． 17为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响． （1）若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； （2）若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布、期望及方差． 解：（1）若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分， 则， 若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分， 则， 故所求概率为． （2）的取值为60，80，100，120， 所以，， ，． 的分布列为： 60 80 100 120 所以， ． 18已知函数f（x）＝a（ex+a）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当a＞0时，f（x）＞2lna+． 解：（1）f（x）＝a（ex+a）﹣x， 则f'（x）＝aex﹣1， ①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上单调递减， ②当a＞0时，令f'（x）＝0得，x＝， 当x∈（﹣∞，ln）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增． 证明：（2）由（1）可知，当a＞0时，f（x）min＝f（ln）＝a（+a）﹣ln＝1+a2+lna， 要证f（x）＞2lna+，只需证1+a2+lna＞2lna+， 只需证＞0， 设g（a）＝，a＞0， 则g'（a）＝2a﹣＝， 令g'（a）＝0得，a＝， 当a∈（0，）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，当a∈（，+∞）时，g'（a）＞0，g（a）单调递增， 所以g（a）≥g（）＝﹣＝﹣ln＞0， 即g（a）＞0， 所以＞0得证， 即f（x）＞2lna+得证． 19某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分． （1）若投篮2次，最终得分为，求随机变量的分布列和期望； （2）设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式． 解：（1）根据题意，若投篮2次，最终得分的可能取值为2，3，4， ，即两次投篮都不中，则， ，即两次投篮中，一次投中，一次投不中，则， ，即两次投篮都中，则， 故的分布列为 2 3 4 其期望； （2）证明：根据题意，，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列，所以， 当时，则， 累加可得， 则，且时，符合上式， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古包头2026年高二年级期中考试模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的备选答案中，只有一个选项是符合题意的。） 1．的展开式中含项的系数为（　　） A．8 B．16 C．32 D．64 2某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 3曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（　　） A．y＝x B．y＝x C．y＝x+ D．y＝x+ 4函数的极大值点为（　　） A．0 B． C． D． 5．已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A． B． C． D． 6某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（　　） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 7设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 8已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2） 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。） 9已知随机变量，且，则（　　） A． B． C． D． 10若的展开式中的系数为，则（　　） A． B．所有项系数之和为1 C．二项式系数之和为64 D．二项式系数最大项为第3项 11已知函数，则下列结论正确的是　　 A．函数有2个极值点 B．函数无最小值 C．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知随机变量，且，则=_______ 13某大学有，两个图书馆，学生小李周六随机选择一图书馆阅读，如果周六去图书馆，那么周日去图书馆的概率为0.4；如果周六去图书馆，那么周日去图书馆的概率为0.6．小李周日去图书馆的概率为_________ 14已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是　　． 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15修水一中文学社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加全县辩论大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示） （1）如果4人中，男生甲当队长必须参加，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （3）辩论赛要求2男2女参加，坐成一排，且男生不相邻的，有多少种排座位方法？ 16已知的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为64， （1）求展开式中的常数项．（2）求的展开式中的系数． 17为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响． （1）若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； （2）若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布、期望及方差． 18已知函数f（x）＝a（ex+a）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当a＞0时，f（x）＞2lna+． 19某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分． （1）若投篮2次，最终得分为，求随机变量的分布列和期望； （2）设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式． 学科网（北京）股份有限公司 $