精品解析：内蒙古包头市第九中学外国语学校2024-2025学年高二下学期期中数学试题

包九外2024-2025学年第二学期高二期中考试 数学试题 一、单选题：（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设随机变量的方差，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 某校迎新晩会上有A，B，C，D，E，F共6个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目A，B不相邻，节目D，F必须连在一起，则不同的节目编排方案种数为（ ） A. 60 B. 72 C. 120 D. 144 3. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，函数的导函数是，若是奇函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 7. 若函数在上恰有2个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 若则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与相互独立 C. D. 10. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有三个极值点 B. 为函数的极大值 C. 为的极小值 D. 有两个极小值 11. 一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ） A. 经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为 B. 若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为 C. 经过6次试验后试验停止的概率为 D. 经过6次试验后试验停止的概率最大 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在答题卡中的横线上.） 12. 的展开式中的系数为______ 13. 某市举办全运会开幕式．现从5个节目中任选3个节目进行开幕式表演，若3个节目中有和时，需排在的前面出场（不一定相邻），则不同的出场方法有______种． 14. 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 若，求： （1）求的值； （2）； （3）． 16. 中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问： （1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ （2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； （3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，求乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率. 17. 我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. （1）求甲公司至少答对2道题目的概率； （2）分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 18. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，，证明不等式； （3）当时，求函数的单调区间. 19. 对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”．已知． （1）设，若为“的可移倒数点”，求函数的单调区间； （2）设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包九外2024-2025学年第二学期高二期中考试 数学试题 一、单选题：（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设随机变量的方差，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据公式直接计算即可. 【详解】. 故选：C. 2. 某校迎新晩会上有A，B，C，D，E，F共6个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目A，B不相邻，节目D，F必须连在一起，则不同的节目编排方案种数为（ ） A. 60 B. 72 C. 120 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】排列问题中相邻元素捆绑法，不相邻元素插空法. 【详解】先将两个节目D，F捆绑成一个元素，与节目C，E进行全排列，再将节目A，B插入四个空档中， 所以共有种不同的结果. 故选：D． 3. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，可得在上单调递减，在上单调递增，从而可求值域. 【详解】由，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 又，，， 所以函数在上的值域为. 故选：A. 4. 一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式求解即可. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 5. 设，函数的导函数是，若是奇函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数是奇函数求，再根据导数的几何意义求切线方程. 【详解】， 因为是奇函数，只需偶数次幂的项系数为0即可， 所以， 所以，， 所以，即切点为，且， 所以切线方程为，即， 故选：B. 6. 甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】分A学校只有1人去实习和A学校有2人去实习两种情况讨论求解. 【详解】①若A学校只有1人去实习，则不同的分配方案的种数是， ②若A学校有2人去实习，则不同的分配方案的种数是， 则不同的分配方案的种数共有. 故选：C. 7. 若函数在上恰有2个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数在上恰有2个极值点，即在上恰有2个变号零点，继而转化为与函数的图象在上恰有2个交点，数形结合，即可求得答案. 【详解】函数的定义域为，， 函数在上恰有2个极值点， 即在上恰有2个变号零点， 令，则， 由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 要使得在上恰有2个变号零点， 需与函数的图象在上恰有2个交点， 故，即a得取值范围为， 故选：A 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到，，，构造函数，利用的单调性即可解决问题. 【详解】令，则，令，得到， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，所以， 又，，，所以， 故选：A. 二、多选题：（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 若则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AD，根据条件概率公式结合已知条件分析判断，对于B，由相互独立事件的定义分析判断，对于D，利用和事件的概率公式求解即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以事件与不是相互独立事件，所以B错误， 对于C，因为，， 所以，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D正确， 故选：ACD 10. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有三个极值点 B. 为函数的极大值 C. 为的极小值 D. 有两个极小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的图象，得出的符号，进而求得函数的单调区间，以及函数的极值点，得到答案. 【详解】由函数的图象，可得： 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当和时，函数取得个极小值点， 当时，函数取得个极大值点. 故选：ABD. 11. 一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ） A. 经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为 B. 若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为 C. 经过6次试验后试验停止的概率为 D. 经过6次试验后试验停止的概率最大 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A、B选项利用条件概率公式计算即可；对于C项，利用二项分布计算；对于D项，设实验次结束的概率为，令，由C项化简得，即得结果. 【详解】记事件“一次实验硬币正面朝上”，则“一次实验硬币反面朝上”，则. 从箱子中不放回地抽球，记“第次抽到白球”，记“第次抽到红球”，“第次硬币正面朝上且抽到白球”，“第次硬币正面朝上且抽到红球”， 对于A项,， 经过两次实验后，实验者手中恰好有2个白球的概率为：，故A正确； 对于B项，已知第一次拿到白球，第二次拿到红球的概率为：,故B正确； 对于C项，实验6次结束，则前5次有4次硬币正面朝上，第6次硬币正面朝上，故其概率为：，故C正确； 对于D项，实验次结束的概率为，则，， 令，得化简可得，解得，即， 所以经过8次或9次实验后小球全部取出的概率最大，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：本题D选项的解决关键是理解试验停止时的条件，从而求得实验次结束的概率，利用作商法求得中的最大项，从而得解. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在答题卡中的横线上.） 12. 的展开式中的系数为______ 【答案】 【解析】 【分析】原式可转化为，利用二项展开式通项公式分别求和的系数即可. 【详解】因为， 由二项展开式通项公式可得， 令解得，此时， 令解得，此时， 所以的展开式中的系数为， 故答案为： 13. 某市举办全运会开幕式．现从5个节目中任选3个节目进行开幕式表演，若3个节目中有和时，需排在的前面出场（不一定相邻），则不同的出场方法有______种． 【答案】51； 【解析】 【分析】由题意分别讨论同时有A、B的情况和A、B没有同时入选的情况，采取先选后排的策略分析. 【详解】根据题意，分2种情况讨论： （1）在5个节目中任选3个，同时有A、B时，有种选法，要求A需排在B的前面出场，有3种情况，则此时有种排法； （2）A、B没有同时入选，有种选法，每种选法有种情况，则此时有种排法. 故一共有种排法. 故答案为：51 【点睛】本题考查了排列组合的有关知识，以及分类加法和分步乘法原理的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 14. 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先把已知条件转化为有两个不同的根，即，与两函数有两个交点，利用函数导数判断函数的单调性在上单调递增，在上单调递减，从而在处取得极大值，也是最大值，，又当时，恒成立，当时，恒成立，数形结合得出实数a的取值范围. 【详解】定义域为， 故有两个不同的根，即，与两函数有两个交点， 其中， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 从而在处取得极大值，也是最大值， ，且当时，恒成立， 当时，恒成立， 画出的图象如下： 显然要想，与两函数有两个交点， 需要满足. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 若，求： （1）求的值； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式可求的值； （2）利用赋值法可求系数和； （3）同（2）利用赋值法可求系数和. 【小问1详解】 二项式展开式的通项为， 其中． 因为，所以． 【小问2详解】 ， 令，解得； 令，整理得， 故． 【小问3详解】 的展开式通项为，则， 其中且，当为偶数时，；当为奇数时，． 所以 令可得， 所以． 16. 中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问： （1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ （2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； （3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，求乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求解； （2）利用条件概率求解； （3）利用全概率求解. 【小问1详解】 设事件“取出饺子是肉馅”，， 【小问2详解】 设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”， 事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”， 【小问3详解】 设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”. 设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”， 17. 我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. （1）求甲公司至少答对2道题目的概率； （2）分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 【答案】（1） （2）分布列见解析，甲公司竞标成功的可能性更大，分析见解析 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布求出甲公司回答对2道题和3道题的概率即可求出结果； （2）根据超几何分布和二项分布求出甲、乙两家公司答对题数对应的概率，进而得到分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断即可. 【小问1详解】 由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题， 所求概率. 【小问2详解】 设甲公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为1，2，3， ，，， 则的分布列为 1 2 3 所以，， 设乙公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以， ， 由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，，证明不等式； （3）当时，求函数的单调区间. 【答案】（1）1 （2）证明见详解 （3）答案见详解 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性，结合单调性求最值； （2）构建，利用导数判断其单调性，结合单调性分析证明； （3）求导，分类讨论最高项系数以及两根大小，利用导数求单调区间. 【小问1详解】 因为的定义域为， 当时，则，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 当时，则， 构建， 则在内恒成立， 可知在内单调递增，则， 所以当，. 【小问3详解】 因为的定义域为，且， （i）若，可知， 当时，；当时，； 可知的单调递减区间为，单调递增区间为； （ⅱ）若，令，解得或， ①当，即时，的单调递减区间为，单调递增区间为； ②当，即时，的单调递减区间为，无单调递增区间； ③当，即时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 综上所述：，的单调递减区间为，单调递增区间为； ，的单调递减区间为，单调递增区间为； ，的单调递减区间为，无单调递增区间； ，的单调递减区间为，单调递增区间为. 19. 对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”．已知． （1）设，若为“的可移倒数点”，求函数的单调区间； （2）设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，列式求出值，再利用导数求出函数的单调区间. （2）利用定义转化为求方程恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可. 【小问1详解】 由为“的可移倒数点”，得， 即，整理，即，解得， 由的定义域为R，求导得， 当时，单调递增；时，单调递减； 时，单调递增， 所以的单调递增区间为，递减区间为． 【小问2详解】 依题意，， 由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根， ①当时，，方程可化为，解得， 这与不符，因此在内没有实数根； ②当时，，方程可化为， 该方程又可化为． 设，则， 因为当时，，所以在内单调递增， 又因为，所以当时，， 因此，当时，方程在内恰有一个实数根； 当时，方程在内没有实数根． ③当时，没有意义，所以不是的实数根． ④当时，，方程可化为， 化为，于是此方程在内恰有两个实数根， 则有，解得， 因此当时，方程在内恰有两个实数根， 当时，方程在内至多有一个实数根， 综上，的取值范围为． 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $