2026年山东省聊城市阳谷县第二实验中学九年级5月份学业水平检测数学试卷

**基本信息** 聚焦核心素养，通过彩绳截法（应用意识）、建筑物高度测量（几何直观）、平衡数新定义（抽象能力）等题，考查数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|相反数、图形性质、科学记数法等|第7题概率情境（数据意识），区分易混概念| |填空题|5/15|因式分解、三角板角度、双曲线交点等|第15题新定义（创新意识），关联代数推理| |解答题|8/75|不等式组、几何证明、统计、函数、圆、旋转综合、二次函数|第22题旋转综合（推理能力），第23题二次函数参数讨论（抽象能力），梯度设计合理|

2026年山东省聊城市阳谷县第二实验中学九年级5月份学业水平检测数学试卷 一 、单选题（本大题共10小题，共30分） 1.（3分）下面说法正确的有   ①的相反数是； ②符号相反的数互为相反数； ③ 的相反数是；   ④ 一个数和它的相反数不可能相等； ⑤正数与负数互为相反数．   A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.（3分）下列图形中，既是轴对称图形图形又是中心对称图形的是 A. B. C. D. 3.（3分）某病毒细胞的直径约为，用科学记数法表示这个数是 A. B. C. D. 4.（3分）计算的结果是 A. B. C. D. 5.（3分）某几何体如图所示，该几何体的左视图是 A. B. C. D. 6.（3分）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 A. B. 且 C. D. 且 7.（3分）下列说法或做法正确的是 A. 某地“明天降雨的概率是”表示明天有的时间会降雨 B. 班级里有名女同学和名男同学，每个同学都把自己的名字写在一张小纸条上，把小纸条放入一个盒子中搅匀，从中随机抽取一张小纸条，那么抽到男同学名字的概率是 C. 用重复试验的方法模拟“石头、剪刀、布”游戏时，选用仅有颜色不同的红、黄、蓝个小球，放入布袋中搅匀，从中随机摸出个小球，摸出一个黄球和一个红球的概率为 D. 布袋中装有仅有颜色不同的个红球和个白球，搅匀后，从中摸出个球，放回搅匀再摸出第个球，那么“摸出两个白球”和“摸出一红一白”的概率相同 8.（3分）为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法 A. B. C. D. 9.（3分）小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图所示，于是他手绘了如图所示的图形图中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形若，，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为 A. ： B. ： C. ： D. ： 10.（3分）已知整式：，其中，，，，⋯，均为自然数，且，下列说法：  ①当，时，则；  ②若，则存在一个使得满足条件的整式有个；  ③若时，则满足条件的所有整式有且仅有个.  其中正确的个数是 A. B. C. D. 二 、填空题（本大题共5小题，共15分） 11.（3分）把多项式分解因式的结果是______． 12.（3分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使点、分别在、上，，其中，，则的度数是 ______ . 13.（3分）如图，直线与双曲线相交于，两点点在的左侧，点是位于点左侧的双曲线上任意一点直线，分别交轴于，两点，则______  . 14.（3分）如图，等边三角形的边长为，以为圆心、长为半径画弧，点为等边三角形内一点，连接，，若为等腰直角三角形，图中阴影部分的面积是 ______ . 15.（3分）定义：若，则称与是关于的平衡数．  与______是关于的平衡数．用含的代数式表示；  若关于的平衡数是，则的值为______． 三 、解答题（本大题共8小题，共75分） 16.（8分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来. 17.（8分）如图， ，点 是 的中点． 平分 ． (1)求证：是的平分线； (2)已知，，求四边形的面积． 18.（8分）如图，当时，反比例函数与正比例函数的图象交于点  求反比例函数的解析式；  观察图象，直接写出当时，的取值范围；  若点在反比例函数的图象上，直线向上平移后经过点，交轴于点，求的面积． 19.（8分）某学校七年级组织“中国传统文化”知识竞赛，现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，卓越四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题：    在这次调查中，一共抽取了 ______ 名学生；  补全条形统计图，分别求扇形统计图中“卓越”和“达标”部分的圆心角的度数；  已知该学校七年级共有名学生，估计此次竞赛该校七年级获卓越等级的学生人数为多少？ 20.（9分）某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为：的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．  求点到水平地面的距离．  求建筑物的高度精确到米  参考数据：，，， 21.（10分）已知四边形内接于，为的直径，是延长线上一点，连接，  如图①，若交于点，，，，求和的大小；  如图②，若与相切于点，延长交于点，，，，求的大小和的长度．  22.（12分）在中，，，在中，，，，连接，，垂足为，，垂足为  观察猜想  图①中，点，分别在，上时，的值为 ______ ；的值为 ______ .  探究证明  如图②，将绕点顺时针旋转，旋转角为，连接，，判断问题中的数量关系是否仍然存在，并证明；  拓展延伸  在旋转的过程中，设直线与相交于点，若，，请直接写出线段的长.  23.（12分）在直角坐标系中，点和点在二次函数的图象上．  若，，求二次函数的表达式及图象的对称轴．  若，试说明二次函数的图象与轴必有交点．  若点是二次函数图象上的任意一点，且满足，求的取值范围． 第  页，共  页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案和解析 1.【答案】A; 2.【答案】B; 3.【答案】C; 4.【答案】C; 5.【答案】D; 6.【答案】D; 7.【答案】D; 8.【答案】C; 9.【答案】D; 10.【答案】B; 11.【答案】2a（a+2）（a-2）; 12.【答案】75°; 13.【答案】  14.【答案】; 15.【答案】x-2;4或-2; 16. 【答案】 ; 17. 【答案】 ; 18.【答案】解：（1）将（4，m）代入=x得m=4=2，  ∴点A坐标为（4，2），  将（4，2）代入==2=，  解得k=8，  ∴反比例函数的解析式=．  （2）由图象可得：≤时，x＞4．  （3）将（n，4）代入=得：4=，  解得n=2，  ∴点B坐标为（2，4），  将x=2代入=x得：=1，  4-1=3，  ∴直线OA向上平移3个单位得到BC，即直线BC表达式为y=x+3，  将x=0代入y=x+3得：y=3，  ∴点C坐标为（0，3），  过点B作BE⊥x轴交AC于点E，    设直线AC解析式为y=kx+b，  将（4，2），（0，3）代入y=kx+b得：，  解得，  ∴y=-x+3，  将x=2代入y=-x+3得y=，  ∴点E坐标为（2，），BE=4-=，  ∴S△ABC=S△ABE+S△CBE=BE•（-）+BE•（-）=BE•=×4=3．; 19.【答案】解：在这次调查中，一共抽取学生：名，  故答案为：；  “卓越”的人数为：，  补全条形统计图如下：    扇形统计图中“卓越”部分的圆心角的度数为：；  扇形统计图中“达标”部分的圆心角的度数为：；  名，  答：估计此次竞赛该校七年级获卓越等级的学生人数约为名．  20.【答案】解：（1）延长CB交AF于点H，    ∵斜坡AB的坡度为i=5：12，  ∴=，  设BH=5x米，AH=12x米，  在Rt△ABH中，AB=26米，  ∴AH2+BH2=AB2，  ∴（12x）2+（5x）2=262，  ∴x=2或x=-2（舍去），  ∴BH=5x=10（米），  ∴点B到水平地面的距离为10米；  （2）过点C作CP⊥DE，垂足为P，    则CH=PE=BC+BH=2+10=12（米），  在Rt△CPE中，∠PCE=30°，  ∴CP===12（米），  在Rt△CDP中，∠DCP=37°，  ∴DP=CP•tan37°≈12×0.75=9（米），  ∴DE=DP+PE=9+12≈27.6（米），  ∴建筑物的高度DE约为27.6米．; 21.【答案】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，  ∴∠ABC+∠D=180°，  ∴∠ABC=180°-∠D=55°，  ∴∠ABC=∠AFC=55°，  ∵=，  ∴∠DAC=∠BAF=15°，  ∴∠E=∠AFC-∠BAF=40°，  ∵AB是⊙O的直径，  ∴∠ACB=90°，  ∴∠CAB=90°-∠ABC=35°，  ∴∠E的度数为40°，∠CAB的度数为35°；  （Ⅱ）连接OD，OC，DB，设DB与OC交于点H，    ∵DP+PC=6，  ∴设DP=x，则PC=6-x，  ∵CE与⊙O相切于点C，  ∴∠OCE=90°，  ∵=，  ∴∠DAC=∠CAB，  ∵OA=OC，  ∴∠CAB=∠OCA，  ∴∠DAC=∠OCA，  ∴AD∥OC，  ∴∠P=∠OCE=90°，  ∵AB是⊙O的直径，  ∴∠ADB=90°，  ∴∠PDC=180°-∠ADB=90°，  ∵∠OCP=90°，  ∴四边形PDHC是矩形，  ∴∠DHC=90°，  ∴PD=CH=x，PC=DH=6-x，  ∴OH=OC-CH=5-x，  在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，  ∴（5-x）2+（6-x）2=52，  ∴x=2或x=9（舍去），  ∴OH=5-x=3，  ∵=，  ∴OC⊥BD，DH=BH=BD，  ∵OA=OB，  ∴OH是△ADB的中位线，  ∴AD=2OH=6，  ∴∠P的度数为90°，AD的长度为6．; 22.【答案】解：，是的中位线，  ，  ，  即，  如图①，过点作于点，则，    ，，  ，  是等腰直角三角形，  ，  ，  即，  故答案为：，；  结论：，  理由：，  ，  即，  在和中，  ，  ，  ，  由旋转的性质知，，  是的中位线，，  ∽，  ，  ∽，  ，  又是等腰直角三角形，，  ，  ，  即；  ①当点在上时，，    ，  ，  同理可证，  ，  ，  ∽，  ，  ，  ；  ②当点在的延长线上时，，    ，  ，  同理可证，  ，  ，  ∽，  ，  ，  ；  综上，的长为或  23.【答案】解：（1）把点A（1，1）和点B（3，4）代入y=a+bx+1中得，  解得，  ∴二次函数的表达式为，  ∵二次函数图象经过（1，1）和（0，1），  ∴二次函数图象的对称轴为直线．  （2）把点A（1，m）和点B（3，n）代入y=a+bx+1中，  得，  ∴，即，  ∴，  ∴二次函数图象与x轴必有交点．  （3）∵点C（，）是二次函数图象上的任意一点，且满足≤m，  ∴二次函数图像开口向下，即a＜0，顶点坐标为（1，m），  ∴对称轴为直线，即b=-2a，  ∴，  ∵a＜0，  ∴mn＜1．; 第  页，共  页 学科网（北京）股份有限公司 $