精品解析：山东烟台市蓬莱区（五四制）2025-2026学年六年级下学期期中数学试题

蓬莱区2025-2026学年第二学期期中学业水平考试 初一数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列式子是方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，这是嘉嘉和家人自驾游的导航线路，导航提供的路线为，但显示两地的直线距离却是．能解释这一现象最合理的数学知识是（ ） A. 线段是直线的一部分 B. 过一点有无数条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 两点确定一条直线 3. 下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ） A. 延长线段到 B. 点在直线上 C. 直线与直线相交于点 D. 射线与线段没有交点 4. 下面四个图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”，如图所示．通过测量得到晷面内圈的半径为．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从旋转到）划过的图形面积（图中阴影部分）是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列说法不正确的是（ ） A. 与是直线，被所截得的内错角 B. 与是直线，被直线所截得的同位角 C. 和互为补角 D. 与是直线，被直线所截得的同旁内角 9. 《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有个杏，可列方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知直线被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线上），设，．下列各式：①；②；③；④，的度数可能是（ ） A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 比较大小： ______．（填“”“”或“”） 12. 从七边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将七边形分成个三角形，则__________． 13. 如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 14. 已知，画射线，使，平分，平分，则________． 15. 2026年马年春晚舞台上，一群身手矫健的人形机器人着实火出了圈，它们能流畅地耍武术、盘核桃、演小品，甚至跟着音乐跳街舞，技术进步肉眼可见，机器人在我国的日常应用也越来越广泛．如图1是一个应用于生产的机械臂，可抽象出如图2的数学模型，若，，，则的度数为________． 16. 若有理数x、y满足：，，则________． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 在解一元一次方程，小李的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 第五步： 第六步：． （1）小李的解法中哪一步是“系数化为”？这一步的依据是什么？ （2）判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 19. 如图，已知，垂足为点，，垂足为点，，，求的度数． 20. 一元一次方程解答题：已知关于的方程与的解互为相反数，求的值． 21. 如图，点F在上，． （1）尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，试说明． 22. 学习平行线的证明后，宋老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是小星和小红的探究思路： 我的猜想是：这两个角相等． 思路如下： 你的猜想不一定正确， 举反例如下： 已知：如图，，． 求证： 证明： 已知：如图，，． … （1）【猜想与证明】请完成小星的证明过程； （2）【发现与探究】根据小红的反例，探索与之间的关系，并证明； （3）【思考与结论】综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请直接写出这两个角的关系． 23. 【问题解决】 （1）如图1，已知线段，点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点． ①直接写出线段_________， _________； ②求线段的长． 【类比探究】 （2）如图2，已知，、均为内的两条射线，且，射线和射线分别平分、． ①直接写出_________，_________； ②求的度数． 24. 如图，，，，四个村庄旁有，两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在，，，四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆． （1）请画出信号塔的位置，使得信号塔与，，，四个村庄的距离之和最小； （2）为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔到两条公路与的最短距离，； 第二步：比较与的大小关系． 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案． （3）若该项工程交由甲，乙两个工程队施工．甲工程队独做需天完成，乙工程队独做需天完成．现在先由甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成．则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 25. 完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 惠州某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． 任务解决 任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：惠州某店家以每副80元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ 任务三：该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬莱区2025-2026学年第二学期期中学业水平考试 初一数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列式子是方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程． 根据方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，不是等式，故不是方程，不符合题意； B．，是等式但不含未知数，故不是方程，不符合题意； C．，不是等式，故不是方程，不符合题意； D．是等式且含有未知数x，故是方程，符合题意； 故选：D． 2. 如图，这是嘉嘉和家人自驾游的导航线路，导航提供的路线为，但显示两地的直线距离却是．能解释这一现象最合理的数学知识是（ ） A. 线段是直线的一部分 B. 过一点有无数条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查两点之间，线段最短． 根据两点之间，线段最短，即可求解． 【详解】解：解释这一现象最合理的数学知识是两点之间，线段最短． 故选：C． 3. 下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ） A. 延长线段到 B. 点在直线上 C. 直线与直线相交于点 D. 射线与线段没有交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线，射线和线段的相关知识，结合图形逐一判断即可． 【详解】解：A、所画图形表示的是延长到C，故此选项不符合题意； B、由图可知，点C在直线外，故此选项不符合题意； C、由图可知，直线与直线相交于点，故此选项符合题意； D、由图可知，射线与线段有交点（图中未画出），故此选项不符合题意 ． 4. 下面四个图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．结合对顶角的定义，逐项分析四个图形中的与是否满足“两边互为反向延长线且有公共顶点”的条件，即可确定哪一组角是对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有选项中的与是对顶角，其他都不是， 故选：． 5. 如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短． 根据垂线段最短求出的范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，，点D可以在直线上自由移动， ∴， 只有A选项不在范围内． 故选：A． 6. 已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方程的解，将方程变形为，然后从表格中直接查找使的值． 【详解】解：由得， 由表格数据，当 时， ∴ 方程的解为 ， 故选：B． 7. 日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”，如图所示．通过测量得到晷面内圈的半径为．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从旋转到）划过的图形面积（图中阴影部分）是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了扇形面积的计算，解题的关键是读懂题意找出数量关系．先求出夹角，再根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意可知，一个地支的夹角为， 从“巳”时开始到“申”时结束走过的图形是扇形，且圆心角为，即， ∵晷面内圈的半径为， ∴（）， ∴晷针投影在晷面上划过的图形面积是． 故选：B． 8. 如图，下列说法不正确的是（ ） A. 与是直线，被所截得的内错角 B. 与是直线，被直线所截得的同位角 C. 和互为补角 D. 与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【解析】 【分析】根据内错角、同位角、补角、同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、与是直线，被所截得的内错角，原说法正确，不符合题意； B、与是直线，被直线所截得的同位角，原说法正确，不符合题意； C、和是同旁内角，不一定互为补角，原说法不正确，符合题意； D、与是直线，被直线所截得的同旁内角，原说法正确，不符合题意． 9. 《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有个杏，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程．根据若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏，可以列出方程． 【详解】解：由题意可得，， 故选：C． 10. 如图，已知直线被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线上），设，．下列各式：①；②；③；④，的度数可能是（ ） A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．由题意根据点有种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，由，可得， ∵， ∴； 第二种情况：如图，过作平行线，则由， 可得， ∴； 第三种情况：如图，由，可得， ∵， ∴； 第四种情况：如图，由，可得， ∴； 第五、六种情况：当点在的下方时，同理可得或； 综上所述，的度数可能为，即①②③④． 故选：D． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 比较大小： ______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据将转化为度分秒的形式，再与比较大小即可． 【详解】解：， ， ． 12. 从七边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将七边形分成个三角形，则__________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查多边形的性质，根据从多边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，将多边形分为个三角形，求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴． 故答案为：9． 13. 如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查了与中点相关的计算，线段的和差，线段n等分点的有关计算，熟练掌握与中点相关的计算是关键．设，可逐步求得，，，，即可逐步判断各个结论的正误． 【详解】解：设， ， ， 是的三等分点且， ，， ， ， 故①正确； 是线段的中点， ， ， 故②错误； 同时，，， ， 故③错误； ，， ， 故④正确； 正确结论的有①④． 故答案为：①④． 14. 已知，画射线，使，平分，平分，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分射线在内和射线在外两种情况求解即可． 【详解】解：当射线在内时， ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵平分， ． ∴． 当射线在外时， 则：， ． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 故答案为：或 15. 2026年马年春晚舞台上，一群身手矫健的人形机器人着实火出了圈，它们能流畅地耍武术、盘核桃、演小品，甚至跟着音乐跳街舞，技术进步肉眼可见，机器人在我国的日常应用也越来越广泛．如图1是一个应用于生产的机械臂，可抽象出如图2的数学模型，若，，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】作，，则，根据平行线的性质得到，进而得到，可知，根据平行线的性质得到，，可知，即可求出的度数． 【详解】解：如图，作，， ∵ ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16. 若有理数x、y满足：，，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性判断y的符号，化简，再将代入已知方程，分和两种情况讨论，舍去不成立的情况，得到x，y的值，计算得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 当时，则，解得， 将代入得， 此时， 当时，则，即，等式不成立，此种情况不存在． 综上所述，． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过移项、合并同类项、系数化为即可求解； （2）先去分母，再依次去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解． 【小问1详解】 解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 【小问2详解】 解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 18. 在解一元一次方程，小李的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 第五步： 第六步：． （1）小李的解法中哪一步是“系数化为”？这一步的依据是什么？ （2）判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】（1）第六步，等式的基本性质 （2）不正确，正确解答过程见详解 【解析】 【分析】根据一元一次方程的解法步骤求解，确定“系数化为”的依据为等式的基本性质，判断解答过程错误，正确求解即可． 【小问1详解】 解：小李解法中第六步是“系数化为”， 这一步的依据是等式的基本性质； 【小问2详解】 解：不正确， 正确解答过程如下： ， 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步： 第五步： 第六步：． 19. 如图，已知，垂足为点，，垂足为点，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，可得，再证明，进一步可得结论． 【详解】解：，， ，， ， ． ， ， ， ， ． 20. 一元一次方程解答题：已知关于的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相反数的定义，一元一次方程的解及一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．先解方程，得，因为两个方程的解互为相反数，所以是方程的解，代入计算即可求解． 【详解】解：解方程， ， ， ， 解得， 两个方程的解互为相反数， ∴是方程的解， 代入，得， ， ， ， ， 解得． 21. 如图，点F在上，． （1）尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，试说明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图（作一个角等于已知角），平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的尺规作图及平行线的判定与性质是关键． （1）根据尺规作图（作一个角等于已知角），作，根据平行线的判定，可得； （2）由，可得，所以，再根据，可得，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图，线段就是所求作的线段； 【小问2详解】 解：， ， ， 由（1）得，， ， ． 22. 学习平行线的证明后，宋老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是小星和小红的探究思路： 我的猜想是：这两个角相等． 思路如下： 你的猜想不一定正确， 举反例如下： 已知：如图，，． 求证： 证明： 已知：如图，，． … （1）【猜想与证明】请完成小星的证明过程； （2）【发现与探究】根据小红的反例，探索与之间的关系，并证明； （3）【思考与结论】综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请直接写出这两个角的关系． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 （3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，关键是熟练掌握“两直线平行，同位角相等”“两直线平行，同旁内角互补”等平行线的性质定理，并能结合图形进行角的等量代换． （1）利用平行线的同位角相等进行等量代换，证明两个角相等； （2）小红的反例中，利用平行线的同旁内角互补和内错角相等，证明两个角互补； （3）综合前两问的结论，总结出两边分别平行的两个角的关系． 【小问1详解】 证明：(已知)， (两直线平行，同位角相等)， (已知)， (两直线平行，同位角相等)， (等量代换)； 【小问2详解】 解：．证明如下： (已知)， (两直线平行，同旁内角互补)， (已知)， (两直线平行，内错角相等)， (等量代换)； 【小问3详解】 解：综上，当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角的关系为相等或互补． 23. 【问题解决】 （1）如图1，已知线段，点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点． ①直接写出线段_________， _________； ②求线段的长． 【类比探究】 （2）如图2，已知，、均为内的两条射线，且，射线和射线分别平分、． ①直接写出_________，_________； ②求的度数． 【答案】（1）①5；4；②；（2）①24；30；② 【解析】 【分析】（1）利用线段的和差以及线段中点计算即可； （2）利用角平分线的定义以及角度的和差计算即可 【详解】解：（1）①∵，， ∴，， ∴，． ②∵，，， ∴，． ∵点M是线段的中点， ∴， ∴． ∵点N是线段中点， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴，． ②∵，，， ∴， ． ∵射线平分， ∴， ∴； ∵射线平分， ∴， ∴． 24. 如图，，，，四个村庄旁有，两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在，，，四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆． （1）请画出信号塔的位置，使得信号塔与，，，四个村庄的距离之和最小； （2）为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔到两条公路与的最短距离，； 第二步：比较与的大小关系． 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案． （3）若该项工程交由甲，乙两个工程队施工．甲工程队独做需天完成，乙工程队独做需天完成．现在先由甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成．则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 【答案】（1）见解析 （2）见解析，最短 （3） 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，点到直线的距离，画垂线段，一元一次方程的应用． （1）利用两点之间距离线段最短，连接交于点，即可求解； （2）根据题意分别画出点到两条公路与的垂线段，然后测量垂线段的长度，即可求解； （3）设甲，乙两工程队需合作天，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，测量得 【小问3详解】 解：设甲，乙两工程队需合作天，根据题意得， 解得： 答：甲，乙两工程队需合作天 25. 完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 惠州某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． 任务解决 任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：惠州某店家以每副80元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ 任务三：该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】任务一：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套；任务二：；任务三：九折 【解析】 【分析】任务一：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； 任务二：根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； 任务三：设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】解：任务一：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； 任务二：根据题意得： ， 答：售出的每一副镜架的利润率是； 任务三：设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得： 解得：， 答：剩余的镜架应打九折出售． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $