10.4 三元一次方程组的解法（同步练习） 2025-2026学年人教版七年级下册数学

**基本信息** 本练习通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，以消元法为核心，逐步提升三元一次方程组的解法与应用能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三元一次方程组基本解法（代入/加减消元）、解的概念|直接应用消元法的基础题型，如选择1-3、填空9-12，强化运算能力| |中档层|实际问题建模（商品价格、测量问题）、简单综合应用|结合生活情境的应用题，如选择4-6、填空13-14，培养模型意识| |提升层|整体思想、参数问题、跨学科拓展（矩阵初步）|含参数、需整体代换的综合题，如解答21-24、填空15-16，发展推理意识与创新意识|

10.4 三元一次方程组的解法 一、选择题（共8小题） 1．（2025春•沈丘县期末）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•冷水江市期末）已知，则x+y+z的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025秋•鲁山县期末）方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 4．（2025春•黄山期中）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按如图1所示的方式放置，再交换两木块的位置，按如图2所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm 5．（2025春•昆明校级期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；求a，b，c的值为（　　） A．a＝﹣2，b＝3，c＝﹣5 B．a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5 C．a＝﹣5，b＝﹣2，c＝3 D．a＝﹣5，b＝3，c＝﹣2 6．（2025•江油市开学）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需420元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需380元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．400元 7．（2025春•樊城区校级月考）若点P（x，y）满足方程组，则点P在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 8．（2025•盐亭县开学）一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2个小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角．3种包装的饮料每瓶各多少元（　　） A．1个大瓶3元，1个中瓶2元，1个小瓶1元 B．1个大瓶5元，1个中瓶4元，1个小瓶3元 C．1个大瓶5元，1个中瓶3元，1个小瓶1.6元 D．1个大瓶4元，1个中瓶3.5元，1个小瓶2.6元 二、填空题（共8小题） 9．（2024秋•大祥区期末）方程组的解为　 　 ． 10．（2025秋•海淀区校级期末）中关村中学科技节初一年级的92名同学参加“中国古代科技展”、“音乐互动体验活动”、“速算巧想、巧板奇思数学挑战赛”三项体验活动．其中有48人参加了“中国古代科技展”，40人参加了“数学挑战赛”，参加“音乐互动体验活动”的人数是同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，同时参加“数学挑战赛”和“音乐互动体验活动”的人数相当于三项都参加人数的2倍，同时参加“中国古代科技展”和“数学挑战赛”的人数有20人，那么参加“音乐互动体验活动”的学生有　 　 人． 11．（2025春•宁波月考）购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需 　 　 元． 12．（2024秋•娄底校级期末）若三元一次方程组的解使ax+2y﹣z＝0，则a的值是　 　 ． 13．（2025秋•哈尔滨校级期中）某一鱼缸内有黑色、黄色、红色三种金鱼一共62条，其中黑色的数量、黄色的数量和红色的数量的比为9：10：12．则黑色的金鱼有　 　 条． 14．（2024秋•荔城区校级期末）若（m+2）x+y|m+1|+z＝4是关于x，y，z的三元一次方程，则m＝　 　 ． 15．（2025春•武威校级期末）秋季泡脚，睡前养生，9月份某商场从工厂进货了中药包、精油球和足浴液这三种类型的泡脚材料，数量之比为5：4：2，中药包与精油球单价之比为1：3，足浴液的单价是精油球的2倍，由于天气骤冷，足浴液销售火爆，10月份工厂对这三种泡脚材料的价格进行了调整，该商场也相应调整了进货量，相较于9月，商场采购中药包增加的费用占10月所有泡脚材料采购费用的且10月采购中药包与精油球的总费用之比为3：7，采购精油球、足浴液增加的费用之比为15：29，则精油球9月份与10月份的采购总费用之比为 　 　 ． 16．（2025春•洛江区期中）用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于x，y，z的三元一次方程组，若5x+2y﹣z为定值，则t与m的关系为 　 　 ． 三、解答题（共8小题） 17．（2025春•崇明区期末）解方程组：． 18．（2024秋•奉贤区期末）解方程组：． 19．（2025春•闵行区校级月考）解方程组：． 20．（2025春•桂阳县月考）解方程组： 21．（2025春•夹江县期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求2x+2y+2z的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②﹣①得到x+3y＝4③，因为问题是求解2x+2y+2z整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出x+y+z即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． （1）请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出2x+2y+2z的值； （2）请你用上述思想方法求解问题：已知，求x﹣y+z的值． 22．（2025秋•闻喜县月考）数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，于是我想到可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． （1）请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． （2）请你仿照上述方法，解方程组 （3）已知，则x2+6y2＝　 　 ． 23．（2025春•南岗区校级月考）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝2与x＝6时，y的值相等，求a，b，c的值． 24．（2025春•闵行区校级期末）【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求2x+y+z的值． 解：②﹣①得，4x+2y+2z＝6③ ③得，2x+y+z＝3 所以，2x+y+z的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求3x+4y+5z的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 一、选择题（共8小题） 1．【答案】C 【分析】由③﹣①可得y＝﹣5，再把y＝﹣5代入②可得z＝﹣11，然后把z＝﹣11代入①，即可求解． 【解答】解：， 根据消元法可知由方程③﹣方程①得y＝﹣5， 把y＝﹣5代入②得z﹣2×（﹣5）＝﹣1， 解得z＝﹣11， 把z＝﹣11代入①得x﹣（﹣11）＝4， 解得x＝﹣7， ∴． 故选：C． 2．【答案】B 【分析】利用整体思想，把三个方程相加，得2（x+y+z）＝2+3+7＝12，解得x+y+z＝6，解答即可． 【解答】解：三个方程相加得2（x+y+z）＝12， 解得x+y+z＝6． 故选：B． 3．【答案】B 【分析】解关于x、y的方程组，x，y即可用k表示出来，再根据x、y的值互为相反数，即可得到关于k的方程，从而求得k的值． 【解答】解：解方程组得： 根据题意得：（2k﹣6）+（4﹣k）＝0 解得：k＝2 故选：B． 4．【答案】C 【分析】设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由图象建立方程组求出其解就可以得出结论． 【解答】解：设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm， 由题意列三元一次方程组得， ， 解得a＝75， 即桌子的高为75cm． 故选：C． 5．【答案】B 【分析】根据题意，列出方程组进行求解即可． 【解答】解：∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3； ∴， 解得：； 故选：B． 6．【答案】A 【分析】设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元，然后根据需要的钱数可得两个三元一次方程；然后将两个三元一次方程相加，不难得出购甲、乙、丙三种商品各一件需要的钱数． 【解答】解：设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元， 根据题意有：， 把这两个方程相加得： 4x+4y+4z＝800， 4（x+y+z）＝800， ∴x+y+z＝200， ∴三种商品各一件共需200元钱． 故选：A． 7．【答案】B 【分析】利用加减消元法解方程组，然后根据各象限内的点的坐标特征即可求得答案． 【解答】解：， ①﹣②得：y﹣z＝7④， ③+④得：2y＝12， 解得：y＝6， 将y＝6代入①得：x+6＝3， 解得：x＝﹣3， 则P（﹣3，6）在第二象限， 故选：B． 8．【答案】C 【分析】根据题意可得，1个中瓶＝2个小瓶﹣0.2，1个大瓶＝1个中瓶+1个小瓶+0.4，1个大瓶+1个中瓶+1个小瓶＝9.6；设大、中、小瓶包装的饮料分别为x、y、z元，根据上述等量关系列出三元一次方程组，然后求解即可． 【解答】解：设大、中、小瓶包装的饮料每瓶分别为x、y、z元．根据题意得 解得 答：小瓶饮料每瓶1.6元，则中瓶饮料每瓶3元，大瓶饮料每瓶5元． 故选：C． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】 【分析】先整理出x＝﹣3+z，再代入③，得出z＝4，再把z＝4代入②，得出y＝9，则把y＝9代入①解出x＝1，即可作答． 【解答】解：， 由①﹣②得出x﹣z＝﹣3，整理得x＝﹣3+z 把x＝﹣3+z代入③，得出﹣3+z+z＝5 解得z＝4 把z＝4代入②，得出y＝9 把y＝9代入①，得出x＝1 ∴方程组的解为． 故答案为：． 10．【答案】42． 【分析】依据题意，设三项活动都参加的有x人，同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”的有y人，参加“音乐互动体验活动”的有z人，则，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，设三项活动都参加的有x人，同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”的有y人，参加“音乐互动体验活动”的有z人， ∴． ∴． 答：参加“音乐互动体验活动”的学生有42人． 故答案为：42． 11．【答案】7． 【分析】首先假设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，中性笔的单价是z元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果． 【解答】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，中性笔的单价是z元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需a元． 则由题意得： ， 由①﹣②得2x+y+z＝7， 于是：a＝7， 故答案为：7． 12．【答案】． 【分析】先将三元一次方程组解得，代入ax+2y﹣z＝0即可求得a的值． 【解答】解：， ①﹣②得y﹣x＝6④， ③+④得2y＝4，解得y＝2， 把y＝2代入④得，z＝﹣4， 把y＝2代入①得：x＝3， ∴， 把解代入ax+2y﹣z＝0得3a+2×2﹣（﹣4）＝0， 解得：， 故答案为：． 13．【答案】18． 【分析】根据黑色、黄色和红色金鱼的数量比为9：10：12，先计算总份数，再求出每份对应的金鱼数，最后乘以黑色金鱼所占的份数即可得到答案． 【解答】解：总份数为9+10+12＝31份，总金鱼数为62条，因此每份对应62÷31＝2条； 所以黑色金鱼占9份，故黑色金鱼有9×2＝18条， 故答案为：18． 14．【答案】0 【分析】由于（m+2）x+y|m+1|+z＝4是三元一次方程，可知指数为1，各未知数系数不为0． 【解答】解：∵（m+2）x+y|m+1|+z＝4是关于x，y，z的三元一次方程， 可得：m+2≠0，|m+1|＝1， 所以解得：m＝0， 故答案为：0 15．【答案】2：7． 【分析】设中药包的单价为x，则精油球单价是3x，足浴液的单价是6x，设9月份中药包、精油球和足浴液数量分别为5y，4y，2y，设10月采购中药包与精油球的总费用分别为3z，根据采购精油球、足浴液增加的费用之比为15：29列式，即可得到答案． 【解答】解：设中药包的单价为x，则精油球单价是3x，足浴液的单价是6x，设9月份中药包、精油球和足浴液数量分别为5y，4y，2y，设10月采购中药包与精油球的总费用分别为3z，7z，由题意可得，10月中药包采购费增加：3z﹣5xy，10月份所有泡脚材料采购费用为：， ∴10月份采购足浴液费用为：30z﹣50xy﹣7z﹣3z＝20z﹣50xy， ∵采购精油球、足浴液增加的费用之比为15：29， ∴（7z﹣12xy）：（20z﹣50xy﹣12xy）＝15：29， ∴z＝6xy， ∴精油球9月份与10月份的采购总费用之比为：12xy：7z＝2：7， 故答案为：2：7． 16．【答案】3t+m＝﹣1． 【分析】根据矩阵定义列方程组可解答． 【解答】解：由题意得：， ①×3+②得：5x+2y+3tz+mz＝11， ∵5x+2y﹣z为定值， ∴3t+m＝﹣1． 故答案为：3t+m＝﹣1． 三、解答题（共8小题） 17．【答案】． 【分析】方程组前两个方程相加消去y得到x与z的方程，与第三个方程联立求出x与z的值，进而求出y的值即可． 【解答】解：①+②得：9x﹣2z＝20④， ④﹣③得：8x＝16， 解得：x＝2， 把x＝2代入③得：2﹣2z＝4， 解得：z＝﹣1， 把x＝2，z＝﹣2代入②得：10﹣y﹣1＝7， 解得：y＝2， 则方程组的解为． 18．【答案】a＝﹣2，b＝4，c＝6． 【分析】解题思路是通过消元法，先消去一个未知数，将三元方程组转化为二元方程组，再进一步求解． 【解答】解：， ①﹣②： （4a+2b+c）﹣（a﹣b+c）＝6﹣0， 3a+3b＝6， a+b＝2④， ③﹣②得 （9a+3b+c）﹣（a﹣b+c）＝0﹣0， 8a+4b＝0， 2a+b＝0⑤， ⑤﹣④得：（2a+b）﹣（a+b）＝0﹣2 ∴解得a＝﹣2， 把a＝﹣2代入④， ﹣2+b＝2， ∴b＝4， 把a＝﹣2，b＝4代入②， ﹣2﹣4+c＝0， ∴c＝6， ∴a＝﹣2，b＝4，c＝6． 19．【答案】． 【分析】利用代入消元法解方程组即可． 【解答】解：， 将③代入①得：x﹣y+3﹣3y＝﹣2， 整理得：x﹣4y＝﹣5④， 将③代入②得：3x+2y﹣3+3y＝0， 整理得：3x+5y＝3⑤， ⑤﹣④×3得：17y＝18， 解得：y， 将y代入④得：x5， 解得：x， 将y代入③得：z＝3， 故原方程组的解集为． 20．【答案】． 【分析】①+②得出5x+2y＝16④，③+②得出3x+4y＝18⑤，由④和⑤组成一个二元一次方程组，求出x、y的值，再求出z即可． 【解答】解：， ①+②，得5x+2y＝16④， ③+②，得3x+4y＝18⑤， 由④和⑤组成一个二元一次方程组， 解得：， 把代入①，得6﹣3+z＝4， 解得：z＝1， 所以原方程组的解是． 21．【答案】（1）40； （2）1． 【分析】（1）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可； （2）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可． 【解答】解：（1）， ②﹣①得，x+3y＝4③， 将原方程变形成： ， 将③代入④，得8+（x+y+z）＝28， 即x+y+z＝20， ∴2x+2y+2z ＝2（x+y+z） ＝40； （2）， ①+②得：x+2z＝4③， 将原方程变形成： ， 将③代入④，得12+（x﹣y+z）＝13， 即x﹣y+z＝1． 22．【答案】（1）； （2）； （3）27． 【分析】（1）将x+y＝4整体代入②式进行消元解方程组即可； （2）将①整体代入③即可求得c，然后即可求解其他未知数； （3）由第一个方程得，然后整体代入第二个方程即可求解． 【解答】解：（1）， 将①代入②得：5x﹣3×4＝3， 解得：x＝3， 将x＝3代入①得：y＝1， 故原方程组的解为； （2）将①代入③得：6﹣c＝1， 解得c＝5， 将c＝5代入②得：2a+3×5＝19， 解得a＝2， 将a＝2代入①得：2+b＝6， 解得b＝4， 故原方程组的解为； （3）， 由①得， 把③代入②得， 8x2﹣3（3x2+4y2﹣15）+6y2＝18， 8x2﹣9x2﹣12y2+45+6y2＝18， 整理得x2+6y2＝27， 故答案为：27． 23．【答案】a＝1，b＝﹣8，c＝11． 【分析】将x，y对应值代入y＝ax2+bx+c，可得三个三元一次方程构成的方程组，通过消元即可求解． 【解答】解：∵当x＝1时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝2与x＝6时，y的值相等， ∴， ①﹣②得：2b＝﹣16， 解得：b＝﹣8， 把b＝﹣8代入③得，4a﹣16+c＝36a﹣48+c， 解得：a＝1， 把b＝﹣8，a＝1代入①得：1﹣8+c＝4， 解得：c＝11， ∴a＝1，b＝﹣8，c＝11． 24．【答案】（1）18； （2）450元． 【分析】（1）将两个方程相加后再两边同时除以2即可； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面红旗需要z元，根据题意列得方程组为，然后根据②﹣①×2求得x+y+z的值后再两边同时乘以45即可． 【解答】解：（1）①+②得：6x+8y+10z＝36， 两边同时除以2得：3x+4y+5z＝18， 即3x+4y+5z的值为18； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面红旗需要z元， 由题可得， ②﹣①×2：x+y+z＝10， 两边同时乘以45得：45x+45y+45z＝450， 即购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元． 学科网（北京）股份有限公司 $