10.4 三元一次方程组的解法（分层题型专练，3夯基题型+3进阶题型+拓展培优）2025-2026学年七年级数学下册人教版

**基本信息** 聚焦三元一次方程组解法，通过基础概念识别、解法技能训练到综合应用的分层设计，构建从概念理解到问题解决的知识巩固路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三元一次方程（组）的识别、解的判断|以选择、填空题为主，如“判断三元一次方程”，夯实抽象能力| |中档层|解法优化、参数计算、代数式求值|含消元策略选择、利用解求参数，发展推理意识| |提升层|实际应用与综合问题|如海盗分币、购物问题，强化模型意识，衔接生活情境|

第十章 二元一次方程组 10.4 三元一次方程组的解法 （分层题型专练） 题型一 识别三元一次方程（组） 1．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是三元一次方程的是（    ） A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝ C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015 3．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 题型二 判断是否为三元一次方程（组）的解 1．三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．请写出三元一次方程的一组解：________． 4．请写出一个以为解的三元一次方程：______． 题型三 三元一次方程组的解法 1．已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 2．运用加减法解方程组较简单的方法是（    ） A．先消去，再解 B．先消去，再解 C．先消去，再解 D．三个方程相加得再解 3．解方程组，以下解法不正确的是（    ） A．由①，②消去z，再由①，③消去z B．由①，③消去z，再由②，③消去z C．由①，③消去y，再由①，②消去y D．由①，②消去z，再由①，③消去y 4．解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 6．解方程组． 7．解方程组：． 8．解方程组： 题型一 根据三元一次方程的定义求参数的值 1．若是一个三元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 2．已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则______． 题型二 利用三元一次方程组求代数式的值 1．已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 2．已知方程组的解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 3．设，则（    ） A．12 B． C． D． 4．若，，则的值等于（    ） A． B．1 C． D．5 5．已知x，y，z满足 ，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知，则_____． 7．已知方程组，则 ___________ ． 题型三 三元一次方程组的应用 1．一群海盗瓜分200枚金币和600枚银币．每个头领获得5枚金币和10枚银币．每个水手获得3枚金币和8枚银币．每个小兵获得1枚金币和6枚银币．问这群海盗共有多少人？（   ） A．50 B．60 C．72 D．80 E．90 2．有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 3．已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 4．如图1，左侧秤盘中布袋里装有大小质量相同的玻璃球若干，右侧秤盘中有2个圆柱体和3个正方体（相同形状的几何体大小、质量都相等），此时天平处于平衡状态．从左侧袋中拿出3颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘中的1个圆柱体和1个正方体，如图2，天平仍处于平衡状态．现从图2右侧秤盘中拿掉玻璃球、圆柱体、正方体各1个，要使天平保持平衡，则需从左侧袋中再次拿出的玻璃球颗数为（   ） A．3颗 B．4颗 C．6颗 D．7颗 5．小丽、小红去文具店买学习用具，小丽买了3支笔、7支改正液、1个文件袋花了64元，小红买了4支笔、10支改正液、1个文件袋花了79元，小明看到后表示自己也准备三种学习用具各买1个，则他共需___________元． 6．小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为_____． 7．如图，已知每个三角形都有一条带三个点的边，观察图形规律，发现最后一个数为________． 8．一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 9．在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗．上、中、下三等谷每束各得实几斗？ 10．阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．例如问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组则____________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、4本日记本共需58元，则购买2支铅笔、2块橡皮共需多少元？ 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 3．设，，…，是从1，0，这三个数取值的一列数，若，，则，，…，中为0的个数是（   ） A．186 B．187 C．188 D．189 4．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 5．将正面记为，，，，的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 ， ， ， ， ， 两数和 根据以上信息，最大数所对应的卡片编号为________． 6．“3·28活动”是北京中学大地课程的重要组成部分，学校为每个班级提供2000元活动经费，需要同学们自主规划一次户外活动．初一某班级计划参观奥林匹克森林公园（免门票），在租车和为每名同学购买一份保险的情况下，需要购买一些纪念品作为活动奖励，所需费用如下表： 租车费用（辆） 个人保险（人） 纪念品套装（套） （包含一个冰箱贴和一个徽章） 纪念品徽章（个） 纪念品冰箱贴（个） 1500元 5元 30元 16元 20元 （1）已知这个班级共有学生42人，在所需费用不超过活动经费的基础上，本次活动最多能够买______个纪念品（纪念品套装算两个纪念品）； （2）如果该班级想同时买到纪念品套装、纪念品徽章及纪念品冰箱贴，并且刚好把活动经费用完，则一共有______种购买方案． 7．近期，光明中学食堂推出的餐食预订服务深受同学们的喜爱，初三2班（该班级总人数不超过60人）全体同学决定统一订购一天的午餐和晚餐，根据同学们的预定情况，班委将同学们共分成三组，午餐预定情况为：选择B套餐的是第二组的全体同学，其余同学选择A套餐；晚餐预定情况为：选择A套餐的是第三组的全体同学，其余同学选择B套餐．已知A套餐每份8元，B套餐每份10元，该班级的全天预定餐总额为966元，且第二组的全天预订餐总额比第三组的多20元，实际上在晚餐前，第一组的部分同学每人还加订了一份价值4元的小食，于是第一组的全天实际订餐总额比第三组多10元．第一组的全天实际订餐总额为______元． 8．小明为了方便探究关于的二元一次方程解的规律，把和的部分值分别填入表格（的值从左到右依次增大）． (1)的值为_________． (2)下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________（填正确的序号）． ①  ②  ③ (3)已知关于的二元一次方程的部分解如表所示： 则方程组的解为___________． 9．现有有序数对和，如果，则称“关联”了，或被“关联”． 例如，，则称“关联”了 (1)下列数对中被“关联”的有______； ①，②，③，④ (2)若同时被和“关联”，请求出p，q； (3)对于均不为0的a、b、c，数对“关联”了、和，且被“关联”，试求数对． 10．小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多； (1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______； (2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？ (3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 10.4 三元一次方程组的解法 （分层题型专练） 题型一 识别三元一次方程（组） 1．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． 【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 2．下列方程中，是三元一次方程的是（    ） A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝ C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015 【答案】D 【详解】解：根据三元一次方程的定义， x＋y－z＝2 015是三元一次方程，故选D. 3．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【详解】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．第一个方程不是整式方程，不符合题意； C．是三元一次方程组，符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 4．下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 题型二 判断是否为三元一次方程（组）的解 1．三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代入消元法，逐步消元求解三元一次方程组即可． 【详解】解：， 将①代入②，得 解得， 将①和代入③，得 解得， 将代入①，得， 原方程组的解为． 2．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加减消元法对方程组求解，逐步求出未知数的值即可． 【详解】解： 得： 得：， 把代入得：， 解得， 把，代入得 ， 解得 方程组的解为． 3．请写出三元一次方程的一组解：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三元一次方程的解，熟练掌握该知识点是解题的关键．写出合适的答案即可． 【详解】解：当时，那么符合题意； 故答案为：． 4．请写出一个以为解的三元一次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三元一次方程的定义及方程解得概念，解题关键是熟练掌握三元一次方程的定义． 将、、的值代入能使等式成立即可． 【详解】解：可以根据、、的值进行运算构造方程，比如， 把，，代入：， ∴得到三元一次方程． 故答案为：（答案不唯一）． 题型三 三元一次方程组的解法 1．已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 【答案】B 【分析】解三元一次方程组时，优先消去系数最简单、最易消去的未知数，观察方程组中各未知数的系数，y的系数更便于直接消元，能让计算更简便． 【详解】解：将原方程组标记为， ∵可直接消去y，得到只含x，z的方程， 也可直接消去y，得到另一个只含x，z的方程， 两步即可将三元方程组转化为二元方程组，过程最简便， ∴先消去y的解法更简便，故选B． 2．运用加减法解方程组较简单的方法是（    ） A．先消去，再解 B．先消去，再解 C．先消去，再解 D．三个方程相加得再解 【答案】B 【分析】观察三元一次方程组各未知数的系数，第一个方程本身不含y，第二，三个方程中y的系数成整数倍数关系，消去y的计算量最小，是最简便的方法． 【详解】解：∵原方程组为 方程①不含未知数y，方程②中y的系数是2，方程③中y的系数是， ∴将 ，即可直接消去y，得到 ， 再和方程①组成二元一次方程组，计算最简便， 因此先消去y再求解是较简单的方法． 3．解方程组，以下解法不正确的是（    ） A．由①，②消去z，再由①，③消去z B．由①，③消去z，再由②，③消去z C．由①，③消去y，再由①，②消去y D．由①，②消去z，再由①，③消去y 【答案】D 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：解方程组， 以下解法不正确的是由①，②消去z，再由①，③消去y． 故选：D． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 4．解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征，即可得解． 【详解】解：， 得： ， 得： ， 方程组变形为，刚好消去， 故选：C． 5．方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组，利用 “加减消元法” 即可求解． 【详解】解：根据题意可知三元一次方程组为： 将可得， 将和联立可得： 由于，所以原方程组无解． 故选：． 6．解方程组． 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， ，得，解得； 把代入，得，解得； 把代入，得，解得； ∴方程组的解为． 7．解方程组：． 【答案】 【分析】将③代入①消去z，可得，再结合②根据加减消元法求出，然后将x的值代入方程求出另外两个未知数的值即可． 【详解】解：， 把③代入①，得， 整理得：， ，得，解得：， 把代入③，得， 把代入④，得， ∴原方程组的解为． 8．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了比的应用，解三元一次方程组，解题的关键是正确运用连比求解． 依题可设，然后代入下面方程求解即可． 【详解】解：依题意可设， ∴， ∴， ∴ ∴原方程组的解为：． 题型一 根据三元一次方程的定义求参数的值 1．若是一个三元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程的定义． 根据三元一次方程的定义，各未知数的次数均为1，且系数不为零． 【详解】解：∵是一个三元一次方程， ∴，，， 即，，即或， ∴，， 故选：A． 2．已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：依题意得：且， 解得：， 故答案为：． 题型二 利用三元一次方程组求代数式的值 1．已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了三元一次方程组的解，以及解三元一次方程组，方程组的解为能使方程组中每一个方程左右两边相等的未知数的值，本题的技巧性比较强，求不要求出，及的值，而是整体求出．由题意，可将，及的值代入方程组得到关于，，的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，变形后即可求出的值． 【详解】解：由题意将代入方程组得： ， 得：， 即， ∴． 故选：． 2．已知方程组的解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组的特殊解法，利用整体的思想解题是关键．将方程组中的三个等式相加求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 故选：B． 3．设，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程②得到，结合方程①可得，由此即可得到答案． 【详解】解： 由②得， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，正确求出x、y之间的关系式是解题的关键． 4．若，，则的值等于（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】B 【分析】两式相加即可求解． 【详解】由题意①，②， ①+②得x-z=-1， ∴=1， 故选B． 【点睛】此题主要考查加减消元法的应用，解题的关键是熟知方程组的求解方法． 5．已知x，y，z满足 ，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】按照解三元一次方程组的步骤先求出、，后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， 由①+②得： ， ∴ ③， 将③代入①，得 ， 解得： ， ∴ = =3， 故选：B． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握解三元一次方程组的方法——代入消元法和加减消元法是解题的关键． 6．已知，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查解三元一次方程组，代数式的值，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．将两个方程相加可得，再将第一个方程变形得，从而求得的值，然后代入原式计算即可． 【详解】解：， 得：， 则， 由得：， 则， 原式， 故答案为：． 7．已知方程组，则 ___________ ． 【答案】 【分析】方程组两方程相减求出的值，第一个方程乘以减去第二个方程求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：， 得：， 得：， 则原式． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键． 题型三 三元一次方程组的应用 1．一群海盗瓜分200枚金币和600枚银币．每个头领获得5枚金币和10枚银币．每个水手获得3枚金币和8枚银币．每个小兵获得1枚金币和6枚银币．问这群海盗共有多少人？（   ） A．50 B．60 C．72 D．80 E．90 【答案】D 【分析】设三种海盗的人数为未知数，根据金币和银币总数列方程组，通过消元计算即可得到总人数． 【详解】解：设头领有人，水手有人，小兵有人，根据题意列方程得： ， 得：， ∴， ∴这群海盗总人数为人． 2．有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，根据系数特征进行整体加减消元，直接求解目标表达式．设甲、乙、丙每件价格分别为元、元、元，根据条件列出方程组，通过加减消元法整体求解的值． 【详解】解：设购买甲货物每件需元，乙货物每件需元，丙货物每件需元． ∵ 得： 得： ∴ ∴ 故购买甲、乙、丙各一件共需34元． 故选：B． 3．已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是，根据题意列出方程组为，解方程组即可解答，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是， 根据题意得为， 解得：， ∴黄铜含有铜和锌的比， 故选：． 4．如图1，左侧秤盘中布袋里装有大小质量相同的玻璃球若干，右侧秤盘中有2个圆柱体和3个正方体（相同形状的几何体大小、质量都相等），此时天平处于平衡状态．从左侧袋中拿出3颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘中的1个圆柱体和1个正方体，如图2，天平仍处于平衡状态．现从图2右侧秤盘中拿掉玻璃球、圆柱体、正方体各1个，要使天平保持平衡，则需从左侧袋中再次拿出的玻璃球颗数为（   ） A．3颗 B．4颗 C．6颗 D．7颗 【答案】D 【分析】设1颗玻璃球的质量为，1个圆柱体的质量为，1个正方体的质量为，根据图1天平变化后的平衡状态，得出，表示1个圆柱体和1个正方体等于6颗玻璃球的质量，即可得解． 【详解】解：设1颗玻璃球的质量为，1个圆柱体的质量为，1个正方体的质量为， 由题意可知，， ， ， 即玻璃球、圆柱体、正方体各1个的质量等于7颗玻璃球的质量． 5．小丽、小红去文具店买学习用具，小丽买了3支笔、7支改正液、1个文件袋花了64元，小红买了4支笔、10支改正液、1个文件袋花了79元，小明看到后表示自己也准备三种学习用具各买1个，则他共需___________元． 【答案】 【分析】设三种学习用具的单价，根据两人的花费列出方程组，通过对方程组变形，整体计算得到三种学习用具各买一件的总费用． 【详解】设1支笔的价格为元，1支改正液的价格为元，1个文件袋的价格为元. 根据题意列方程组得： 将得： ， 将得： ， 得： ， ∴他共需元． 6．小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为_____． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据第一图示：桌子高度站立小猫高度趴下小猫高度；第二图示：桌子高度趴下小猫高度站立小猫高度列出方程组进行解答便可． 【详解】解：设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据题意得， ， ①②得，， ， 桌子的高度为厘米． 故答案为：． 7．如图，已知每个三角形都有一条带三个点的边，观察图形规律，发现最后一个数为________． 【答案】456 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，令三个点在右上角的三角形为，在左上角的三角形为，在下面的三角形为，根据前三个式子列三元一次方程组，解方程组即可． 【详解】令三个点在右上角的三角形为，在左上角的三角形为，在下面的三角形为，则有： …① …② …③ 用可得：， 解得； 可得：， 解得； 把代入①可得： ， 解得； 所以． 故答案为：456． 8．一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 【答案】1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元 【分析】设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元，根据“1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元”得出方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元， 根据题意得：， 解得：， 答：1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元． 9．在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗．上、中、下三等谷每束各得实几斗？ 【答案】上等谷每束得实斗，中等谷每束得实斗，下等谷每束得实斗 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次组方程组是解题的关键．设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷每束得实z斗，根据题意列出三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷每束得实z斗， 依题意，得：， 解得， 答：上等谷每束得实斗，中等谷每束得实斗，下等谷每束得实斗． 10．阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．例如问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组则____________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、4本日记本共需58元，则购买2支铅笔、2块橡皮共需多少元？ 【答案】(1) (2)12元 【分析】本题考查了二元一次方程组、三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）用整体的思想求解即可； （2）先列出三元一次方程组，再由“整体思想”即可得解． 【详解】（1）解： 得：， 故答案为：； （2）解：购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本共需c元， 由题意得：， 得：， ∴（元）． 答：购买2支铅笔、2块橡皮共需12元． 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用绝对值与平方的非负性，几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，由此列出三元一次方程组，通过解方程组求出x、y、z的值，再匹配选项即可． 【详解】解： ∵ 绝对值和平方数均为非负数，即，， 又∵ ∴ 可得方程组： ① 解由(1)(2)组成的二元一次方程组： 给(2)式两边同乘3得： (4)， (1)+(4)得：， 解得， 将代入(2)式得：， 解得， ② 将，代入(3)式得：， 解得， ∴ 方程组的解为， 故选：B． 2．我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 3．设，，…，是从1，0，这三个数取值的一列数，若，，则，，…，中为0的个数是（   ） A．186 B．187 C．188 D．189 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化类问题，三元一次方程组的解法，解题的关键是对给出的式子进行正确的变形，难度较大．设数列中1的个数为x，的个数为y，0的个数为z，根据题意建立方程组求解. 【详解】解：∵， ∴ ， 设有x个1，y个，z个0 ∴， 化简得，， 解得，，， ∴有个1，个，个0， 故选：C． 4．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组． 设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可． 【详解】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，    ∴， ∴， ∴A正确； ∴， ∴B正确，D不正确； ∴乘积结果可以表示为． ∴C正确． 故选：D． 5．将正面记为，，，，的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 ， ， ， ， ， 两数和 根据以上信息，最大数所对应的卡片编号为________． 【答案】 【分析】设五张卡片对应的数分别为，根据表格数据列出方程组，通过方程变形求出各数的值，比较大小即可确定最大数对应的卡片编号； 【详解】解：设卡片对应的数分别为， 由题意得， 得，即， 得，即， ， 把代入得， 解得， 把代入①解得：， 把代入②解得：， 把代入③解得：， 把代入④解得：， ∵， ∴， ∴最大数所对应的卡片编号为E． 6．“3·28活动”是北京中学大地课程的重要组成部分，学校为每个班级提供2000元活动经费，需要同学们自主规划一次户外活动．初一某班级计划参观奥林匹克森林公园（免门票），在租车和为每名同学购买一份保险的情况下，需要购买一些纪念品作为活动奖励，所需费用如下表： 租车费用（辆） 个人保险（人） 纪念品套装（套） （包含一个冰箱贴和一个徽章） 纪念品徽章（个） 纪念品冰箱贴（个） 1500元 5元 30元 16元 20元 （1）已知这个班级共有学生42人，在所需费用不超过活动经费的基础上，本次活动最多能够买______个纪念品（纪念品套装算两个纪念品）； （2）如果该班级想同时买到纪念品套装、纪念品徽章及纪念品冰箱贴，并且刚好把活动经费用完，则一共有______种购买方案． 【答案】 19 6 【分析】(1)先计算租车和保险的固定费用，得到可购买纪念品的剩余费用，要得到最多纪念品数量，需优先购买平均单价最低的纪念品套装，再计算剩余费用可购买的单个纪念品数量，得到总个数； (2)设出三种纪念品的购买数量，根据总费用列出方程，结合三个数量均为正整数的条件，分类讨论得到所有符合条件的购买方案数量． 【详解】（1）计算固定支出：租车费用为1500元，42名学生的保险费用为元，总固定支出为：元。 可用于购买纪念品的费用为：元． 纪念品套装平均单价为元，低于徽章的16元和冰箱贴的20元，因此要得到最多纪念品个数，应尽可能多买套装． 设购买套套装，则，得的最大整数值为9，此时花费元，剩余费用元，可再购买1个单个纪念品． 总纪念品个数为； （2）设购买套装套，徽章个，冰箱贴个，由题意可知，，均为正整数，总费用满足：． 两边同除以2得：， 由奇偶性可知为奇数，因此为奇数，又，得，因此的可能取值为1，3，5，7，9，分类讨论： 当时，方程化简为，正整数解为，，共3组解； 当时，方程化简为，正整数解为，共2组解； 当时，方程化简为，正整数解为共1组解； 当时，方程化简为，无符合条件的正整数解； 当时，剩余费用不足以同时购买至少1个徽章和1个冰箱贴，无符合条件的解； 总符合条件的方案数为． 7．近期，光明中学食堂推出的餐食预订服务深受同学们的喜爱，初三2班（该班级总人数不超过60人）全体同学决定统一订购一天的午餐和晚餐，根据同学们的预定情况，班委将同学们共分成三组，午餐预定情况为：选择B套餐的是第二组的全体同学，其余同学选择A套餐；晚餐预定情况为：选择A套餐的是第三组的全体同学，其余同学选择B套餐．已知A套餐每份8元，B套餐每份10元，该班级的全天预定餐总额为966元，且第二组的全天预订餐总额比第三组的多20元，实际上在晚餐前，第一组的部分同学每人还加订了一份价值4元的小食，于是第一组的全天实际订餐总额比第三组多10元．第一组的全天实际订餐总额为______元． 【答案】 330 【分析】设第一组，第二组，第三组人数分别为，，，第一组加订小食人数为，根据题意列出方程，利用人数为正整数和总人数不超过60的条件，确定各未知数的值，再计算第一组实际订餐总额. 【详解】解：设第一组人数为，第二组人数为，第三组人数为，第一组加订小食的人数为，其中均为正整数，且，， 由题意，第二组全天订餐总额为，第三组全天订餐总额为， ∵由第二组比第三组多20元， ∴， ∴， ∵班级原预定总额为966元，第一组原订餐总额为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵第一组实际总额比第三组多10元， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是9的倍数，， ∴且是9的倍数， ∴符合条件的只有， 当时：则，，解得， ，解得； 总人数，符合条件； 因此第一组实际订餐总额为： . 8．小明为了方便探究关于的二元一次方程解的规律，把和的部分值分别填入表格（的值从左到右依次增大）． (1)的值为_________． (2)下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________（填正确的序号）． ①  ②  ③ (3)已知关于的二元一次方程的部分解如表所示： 则方程组的解为___________． 【答案】(1) (2)① (3) 【分析】本题考查二元一次方程的解和解二元一次方程组、三元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法． （1）将代入方程即可求得答案； （2）依次将三个选项与原方程组成方程组，求出方程组的解进行判断即可； （3）根据表格的数据，建立关于c、d、的三元一次方程组，解方程组得到c、d的值，即可得到原方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， 当时，， 故， 故答案为：． （2）解：①与组成方程组， 方程组为：， 解方程组得：， ∵在范围内， 故①符合题意； ②与组成方程组 ， 解方程组得：， ∵不在范围内， 故②不符合题意； ③与组成方程组 解方程组得：， ∵在范围内， 故①符合题意； 故答案为：①； （3）解：依题意， 解方程组得， 则方程为，即， ∴方程组为：， 解方程组得， 故答案为：． 9．现有有序数对和，如果，则称“关联”了，或被“关联”． 例如，，则称“关联”了 (1)下列数对中被“关联”的有______； ①，②，③，④ (2)若同时被和“关联”，请求出p，q； (3)对于均不为0的a、b、c，数对“关联”了、和，且被“关联”，试求数对． 【答案】(1)①④ (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数的运算，二元一次方程组，三元一次方程组等知识点，解题的关键是根据题意正确理解被“关联”关系，并根据关系列出代数式． （1）根据“关联”定义逐项进行判断即可； （2）根据“关联”定义列出二元一次方程组并求解即可； （3）根据“关联”定义列出三元一次方程组，找出的关系，进而可求出的值． 【详解】（1）解：①， ∴被“关联”； ② ∴未被“关联”； ③ ∴未被“关联”； ④ ∴被“关联”； 故答案为：①④； （2）解：根据题意得， 解方程组得； （3）解：根据题意得， 得，即， 将代入①得， 将和代入③得， ， 根据题意可得， ， 整理得， 将代入得，， ∴， 解得， 所以，数对为． 10．小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多； (1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______； (2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？ (3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？ 【答案】(1)1500； (2)第二批能制成祛湿茶151包 (3)两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用： （1）根据每包祛湿茶需要茯苓进行求解即可；再根据每包祛湿茶需要陈皮、白扁豆求出一共需要陈皮、白扁豆的重量，进而求出对应的比值即可； （2）设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克，根据剩余的白扁豆比陈皮多且所用原料陈皮与白扁豆的质量比为列出方程组求解即可； （3）设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元，根据两次的利润列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ∴购入茯苓的质量为； ， ∴这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为； （2）解：设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克， 由题意得，， 解得， ∴， 答：第二批能制成祛湿茶151包； （3）解：设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元， 由题意得， 解得， ∴， ∴， 答：两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元． 学科网（北京）股份有限公司 $