精品解析：2026年河南省驻马店市驿城区驻马店市第二初级中学二模数学试题

2025-2026学年九年级第二次模拟试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个选项中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3.14 2. 一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 长方体 D. 圆锥 3. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 小明和爸爸从家出发前往离家的图书馆，为响应“绿色出行”号召，小明骑自行车先出发，分钟后爸爸骑电动车出发，两人同时到达图书馆．已知电动车的速度是自行车速度的倍，设自行车速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，扇形纸片的半径为6，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧的处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，点为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论：①当时，；②；③连接，有最小值为；④当与相似时，．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数的图象不经过第______象限． 12. 不等式组的整数解是________． 13. 观察下列一组数：，，，，，按此规律，第个数是______（用含的代数式表示）． 14. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 15. 如图，在中，已知，，点在边上，，把绕点逆时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，那么__． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算 （1）计算： （2）化简：． 17. 如图，在菱形中，对角线和相交于点． （1）实践与操作：过点作交的延长线于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想． 18. 4月23日是世界读书日．根据联合国教科文组织的设定，2026年世界读书日的官方主题是“阅读：通往世界的桥梁”．学校为了解同学们的课外阅读情况，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生进行问卷调查，对所得数据进行了整理、描述和分析，用表示每个同学每学期的课外阅读量（本），共分五组：；；；；．下面给出了部分信息：七年级20名学生每学期的课外阅读量在组中的数据是：3，3，3，4，5，5，八年级20名学生每学期的课外阅读量是：0，0，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，5，6，7，9，9，12. 七、八年级所抽取学生每学期课外阅读量统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 5.7 3 八年级 3.8 3 七年级所抽取学生每学期课外阅读量扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ； ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的课外阅读量更大？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生1200人，八年级有学生1100人，请估计该校七、八年级每学期课外阅读量不低于6本的学生共有多少人？ 19. 为提升社区居民环境，方便居民休憩，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米．若太阳光线与地面的夹角为． （1）求遮阳篷边缘点到墙体的水平距离； （2）求阴影的长．（结果精确到米）参考数据：，，，，， 20. 中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉，是涵养社会主义核心价值观的重要源泉．为推进传统文化进校园，某校艺术社团计划采购汉服用于传统礼仪展演．已知采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元；采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元． （1）求甲、乙两款汉服的单价； （2）该社团计划采购两款汉服共件，且甲款汉服数量不低于乙款汉服数量的倍．请确定采购方案使总费用最少，并求出最少费用． 21. 如图，是的直径，是的一条弦，且于点，连接，，． （1）当时，求的度数； （2）若，，求的半径． 22. 在二次函数中，x与y的几组对应值如表格所示． x … 0 1 … y … 3 4 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标． （3）点，在二次函数的图象上，若，求n的取值范围． （4）将二次函数的图象向左平移m个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，请直接写出m的值． 23. 【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是__________． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，对角线的中点是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第二次模拟试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个选项中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3.14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，运用“负数小于0，0小于正数，两个负数比较大小，绝对值更大的数更小”的规则即可求解． 【详解】解： 故四个数中最小的数是． 2. 一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 长方体 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体， 根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱． 故选B． 3. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用积的乘方与幂的乘方法则计算结果，选出正确选项 【详解】解：∵ 积的乘方法则为，幂的乘方法则为 ∴ 5. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理；连接，利用弧中点得到等弧，进而得到对应圆心角相等，再根据圆周角定理求解圆周角的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 6. 某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用列举法求出所有等可能结果数，再得到符合条件的结果数，利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：记三款文创产品“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别为，，，根据题意列表如下： ∵共有种等可能的结果，其中甲、乙获得相同主题文创产品的结果有种， ∴所求概率为． 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程有有实数根，满足，解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根， ∴， 解之，得． 故选：B． 8. 小明和爸爸从家出发前往离家的图书馆，为响应“绿色出行”号召，小明骑自行车先出发，分钟后爸爸骑电动车出发，两人同时到达图书馆．已知电动车的速度是自行车速度的倍，设自行车速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程关于行程问题的实际应用．根据两人行驶时间的关系：小明比爸爸多用分钟列方程即可． 【详解】解：根据题意，设自行车速度为，则电动车速度为， ∵总路程为，根据时间路程速度，并将时间单位统一为，即分钟， ∴可列方程为：． 9. 如图，扇形纸片的半径为6，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧的处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠，，进一步得到四边形是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积扇形面积菱形的面积，即可求解． 【详解】依题意：， ∴ ∴四边形是菱形 ∴ 连接与交于D点 ∵ ∴ ∴是等边三角形 同理：是等边三角形 故 由三线合一，在中： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 10. 如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，点为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论：①当时，；②；③连接，有最小值为；④当与相似时，．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据时，可判断① ；利用勾股定理解可判断②；由直角三角形斜边中线的性质可得，由勾股定理列出y关于t的二次函数关系式，可得取最小值，进而可判断③；当与相似时，或，可判断④． 【详解】解：由图2知，当时，， 时，，故① 错误； 时，，，， 在中，， ， ， ，故②正确； 如图，连接， ，点为中点， ， ， ， 当时，取最小值，最小值为8， 的最小值为， 有最小值为，故③正确； 当与相似时， ， 或， 或， 解得或，故④ 错误； 综上可知，正确结论的个数是2． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数的图象不经过第______象限． 【答案】三 【解析】 【详解】解：在一次函数中，，， 此函数的图象经过一，二，四象限，不经过第三象限． 12. 不等式组的整数解是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解是． 13. 观察下列一组数：，，，，，按此规律，第个数是______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】分别从符号、分子、分母三个部分归纳变化规律，整合后即可得到第个数的代数式． 【详解】解：符号规律：当序号为奇数时该数为正，序号为偶数时该数为负，所以符号可表示为； 分子规律：第个数的分子为，第个数的分子为，第个数的分子为，第个数的分子为，所以第个数的分子为； 分母规律：第个数的分母为，第个数的分母为，第个数的分母为，第个数的分母为，所以第个数的分母为； 综上，第个数为． 14. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵AE=2cm， ∴BE=AB-AE=6-2=4（cm）， ∵G是EF的中点， ∴EG=BG=EF， ∴∠BEG=∠ABD， ∴∠BEG=∠BDC， ∴△EBF∽△DCB， ∴， ∴， ∴BF=6， ∴EF=（cm）， ∴BG=EF=（cm）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15. 如图，在中，已知，，点在边上，，把绕点逆时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，那么__． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，本题可以把图形的旋转问题转化为点绕点逆时针旋转的问题，故可以点为圆心，长为半径画弧，第一次与原三角形交于边上的一点，交直角边于，第三次交线段上的点，由等腰三角形的性质求旋转角、、的度数即可得到答案． 【详解】解：如图，以为圆心，以为半径画圆，分别交于，交于，． ，， ， ∵， △是等边三角形， 旋转角； 如图所示，过点D作交于H， 在中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴与重合， ∴旋转角． ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴旋转角． 综上所述，如果点恰好落在初始的边上，那么m的值为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算 （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在菱形中，对角线和相交于点． （1）实践与操作：过点作交的延长线于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，为半径，画弧交的延长线于点，连接，再根据菱形的性质，平行四边形的判定，即可； （2）根据菱形的性质，得，；根据，，即可． 【小问1详解】 如下如：即为所求， 以点为圆心，为半径，画弧交的延长线于点，连接， 证明： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是上的中线， ∴． 【点睛】本题考查菱形、平行四边形和直角三角形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，直角三角形的中线，平行四边形的判定和性质． 18. 4月23日是世界读书日．根据联合国教科文组织的设定，2026年世界读书日的官方主题是“阅读：通往世界的桥梁”．学校为了解同学们的课外阅读情况，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生进行问卷调查，对所得数据进行了整理、描述和分析，用表示每个同学每学期的课外阅读量（本），共分五组：；；；；．下面给出了部分信息：七年级20名学生每学期的课外阅读量在组中的数据是：3，3，3，4，5，5，八年级20名学生每学期的课外阅读量是：0，0，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，5，6，7，9，9，12. 七、八年级所抽取学生每学期课外阅读量统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 5.7 3 八年级 3.8 3 七年级所抽取学生每学期课外阅读量扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ； ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的课外阅读量更大？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生1200人，八年级有学生1100人，请估计该校七、八年级每学期课外阅读量不低于6本的学生共有多少人？ 【答案】（1）5，2，20 （2）七年级学生的课外阅读量更大，七年级的平均数、中位数、众数均高于八年级 （3）815人 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数、众数分析即可； （3）用样本估计总体的方法求解． 【小问1详解】 解：七年级中人数：，组6人，中人数：，中人数：，则中人数： 则， 中位数为、个数据的平均数，则； 八年级数据中出现的次数最多，故； 【小问2详解】 解：七年级学生的课外阅读量更大，理由如下： 因为七年级的平均数、中位数、众数均高于八年级； 【小问3详解】 解：（人） 答：该校七、八年级每学期课外阅读量不低于6本的学生共有人． 19. 为提升社区居民环境，方便居民休憩，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米．若太阳光线与地面的夹角为． （1）求遮阳篷边缘点到墙体的水平距离； （2）求阴影的长．（结果精确到米）参考数据：，，，，， 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点作于点,根据求解； （2）过点作于点,根据，然后根据矩形的性质可得的长度，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点, ∴, 在中， , ∴遮阳篷边缘点到墙体的水平距离米， 【小问2详解】 解：过点作于点, 在中， , ∵, ∴四边形是矩形， ∴,, 在中， , ∴, ∴阴影的长为米． 20. 中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉，是涵养社会主义核心价值观的重要源泉．为推进传统文化进校园，某校艺术社团计划采购汉服用于传统礼仪展演．已知采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元；采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元． （1）求甲、乙两款汉服的单价； （2）该社团计划采购两款汉服共件，且甲款汉服数量不低于乙款汉服数量的倍．请确定采购方案使总费用最少，并求出最少费用． 【答案】（1）甲款汉服单价为元，乙款汉服单价为元 （2）该社团购买甲款汉服件，乙款汉服件时费用最少，最少费用为元 【解析】 【分析】（1）设甲款汉服单价为元，乙款汉服单价为元，根据“采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元；采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元” 列出方程组，即可求解； （2）设购买甲款汉服件，总费用为元，则购买乙款汉服件，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设甲款汉服单价为元，乙款汉服单价为元， 根据题意得：， 解得：， 故甲款汉服单价为元，乙款汉服单价为元． 【小问2详解】 解：设购买甲款汉服件，总费用为元，则购买乙款汉服件， ∵甲款汉服数量不低于乙款汉服数量的倍， ∴， 故 解得：， 总费用， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值为，此时， 故该社团购买甲款汉服件，乙款汉服件时费用最少，最少费用为元． 21. 如图，是的直径，是的一条弦，且于点，连接，，． （1）当时，求的度数； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据在同一个三角形中，等边对等角可得，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求出，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论； （2）根据垂径定理即可求出，然后设，则，再根据勾股定理列出方程即可求出结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即的半径为． 【点睛】此题考查的是圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、垂径定理和勾股定理，掌握同弧所对的圆周角相等、等边对等角、垂径定理和勾股定理是解决此题的关键． 22. 在二次函数中，x与y的几组对应值如表格所示． x … 0 1 … y … 3 4 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标． （3）点，在二次函数的图象上，若，求n的取值范围． （4）将二次函数的图象向左平移m个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，请直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，二次函数的平移，以及二次函数的最值问题，利用分类讨论的思想是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将二次函数化为顶点式求解即可； （3）根据表达式求出，，再结合列不等式求解即可； （4）根据二次函数的平移规律，得到平移后函数图象的对称轴，再分四种情况讨论，利用二次函数的最大值和最小值分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，解得：， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， 顶点坐标为． 【小问3详解】 解：点，在二次函数的图象上， ，， ， ， 解得： 【小问4详解】 解：二次函数的图象向左平移m个单位长度， 平移后对应的函数表达式为， 图象开口向下，对称轴为直线， ①当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值， ，， ， 解得：（不符合题意，舍）； ②当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值， ，， ， 解得：或（不符合题意，舍）； ③当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值， ，， ， 解得：或（不符合题意，舍）； ④当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值， ，， ， 解得：（不符合题意，舍）； 综上可知，m的值为或． 23. 【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是__________． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，对角线的中点是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度为__________． 【答案】（1）①；②证明见解析； （2），证明见解析； （3）或 【解析】 【分析】（1）①先根据正方形的性质证明，可得，推出，再运用勾股定理 即可证得结论；②延长与交于一点，由正方形的性质可得，，再用证明； （2）延长交于点，连接，由矩形的性质证明，得出，再由线段垂直平分线的性质可得，再运用勾股定理即可得出答案； （3）设，分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：①，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴； ②如图，延长与交于一点， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：设， ①当点在线段上时，连接， ∵，，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，， 即， 由（2）得，且， ∴， ∴， 解得，即； ②当点在延长线上时，作，交的延长线于，连接、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 由勾股定理得，， 即， 在中，， 由勾股定理得，， 即， ∴， 解得，即． 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，根据勾股定理列方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $