精品解析：江苏盐城市建湖县2025-2026学年度第二学期期中考试八年级数学试题

江苏盐城市建湖县2025-2026学年度第二学期期中考试八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷考试时间为100分钟，试卷满分120分．考试形式闭卷． 2．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡相应位置． 3．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 4．解答本试卷所有试题不得使用计算器． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 4. 两组对边中只有一组平行的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 正方形 5. 国内某芯片企业为测试自主研发的1200个新型芯片的运行效率，从中随机抽取200个芯片进行质量检测．下列说法正确的是（ ） A. 该芯片企业采用的调查方式是全面调查 B. 样本容量是200 C. 200个芯片是抽取的一个样本 D. 1200个新型芯片是总体 6. 如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点分别是的中点，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点．若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7 8. 如图，在正方形中，是上一点，是上一动点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填写在答题卡相应位置上．） 9. 若分式无意义，则__________． 10. 若，则__________． 11. 分式与的最简公分母是__________． 12. “成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨；④瓮中捉鳖；上述成语描述的场景为不可能事件的是____________．（填序号） 13. 如图，已知直线，则__________．（填“>”“<”或“=”） 14. 如图，在矩形ABCD中，已知为BD的中点，过点作BD的垂线交AD于点，交BC于点，连接BE，则的周长为__________． 15. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，，则菱形的面积为_______． 16. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，则线段的长为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．） 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 18. 约分、通分 （1）； （2）和． 19. 某学校八年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 240 600 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.6 （1）完成上述表格：__________；__________； （2）假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是__________（精确到0.1）； （3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 20. 已知：如图，在中，D、、分别是、、的中点，连接、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 21. 如图，点是菱形的对角线和的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，若，，求的长． 22. 【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… （1）请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 （2）如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 23. 请仅用无刻度的直尺按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法： （1）如图1，在四边形中，，，，作一个菱形（写答句）； （2）如图2，四边形是平行四边形，点在上，，作的平分线 24. 综合与实践． 【主题】利用因式分解生成密码． 【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码． 【操作】 步骤一：分解因式； 步骤二：取，则有，其中04，04，11，05分别为因式码； 步骤三：将这四个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码04040511． 【注意】字母的取值不同，所得的密码也不同；若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类推； 【理解】 （1）①已知多项式，当取时，则生成的密码是__________． ②已知多项式，当时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码是__________． 【拓展】 （2）①已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为05，07，则第三个因式码为__________． ②若多项式，用上述方法生成密码时，已知当取x，y某一组值时，生成的密码是，请写出满足条件的和，并说明理由． 25. 【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是__________． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，对角线的中点是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏盐城市建湖县2025-2026学年度第二学期期中考试八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷考试时间为100分钟，试卷满分120分．考试形式闭卷． 2．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡相应位置． 3．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 4．解答本试卷所有试题不得使用计算器． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：分式的定义为：若，是两个整式，且中含有字母，则式子是分式． ∵选项A的分母为，是常数，不含字母，属于整式，不符合题意； 选项B的分母为，含有字母，符合分式的定义，符合题意； 选项C的分母为，是常数，不含字母，属于整式，不符合题意； 选项D的是单项式，属于整式，不符合题意． 2. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形为从左到右，根据定义即可判断各选项． 【详解】解：∵因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式， ∴A 选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B 选项中，左边是多项式，右边，是两个整式的积的形式，变形正确，是因式分解； C 选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； D 选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解． 3. 下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【详解】解：A.，则，， ，， ，但， 与不平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C.，，两组对边分别相等，可以判定四边形为平行四边形，故本项符合题意； D.，，且，可得， ，只有一组对边平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意． 故选：C． 4. 两组对边中只有一组平行的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据各类四边形对边平行的数量特征，逐一分析选项，从而选出符合“只有一组对边平行”条件的四边形． 【详解】解：平行四边形：两组对边分别平行． 矩形：两组对边分别平行（矩形是特殊的平行四边形）． 梯形：只有一组对边平行．（符合题意） 正方形：两组对边分别平行（正方形是特殊的平行四边形）． 5. 国内某芯片企业为测试自主研发的1200个新型芯片的运行效率，从中随机抽取200个芯片进行质量检测．下列说法正确的是（ ） A. 该芯片企业采用的调查方式是全面调查 B. 样本容量是200 C. 200个芯片是抽取的一个样本 D. 1200个新型芯片是总体 【答案】B 【解析】 【分析】只需根据调查分类，总体，样本，样本容量的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵该调查从1200个芯片中抽取200个进行检测，只调查了部分个体，∴是抽样调查，不是全面调查，A错误． ∵样本容量指样本中包含的个体数目，本题抽取了200个芯片，∴样本容量是200，B正确． ∵样本是被抽取的200个芯片的运行效率，不是200个芯片本身，∴C错误． ∵总体是1200个新型芯片的运行效率，不是1200个新型芯片本身，∴D错误． 6. 如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在矩形中，， ． 7. 如图，在中，点分别是的中点，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点．若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的中位线得到，进而求得即可求解． 【详解】解：∵在中，点D、E分别是、的中点，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵以A为圆心，为半径作圆弧交于点F， ∴． 8. 如图，在正方形中，是上一点，是上一动点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形性质可知两点关于对称，则，根据两点之间线段最短可知，连接，其与的交点为，此时的值最小． 【详解】解：连接，交于点，连接， 由题意，、两点关于对称，故， ，此时的值最小，最小值为的长； ，， ，， ∴，即则的最小值是5． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填写在答题卡相应位置上．） 9. 若分式无意义，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：根据分式无意义，则分母为0，可得， 解得． 10. 若，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】先对所求多项式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解： 将代入上式，得． 11. 分式与的最简公分母是__________． 【答案】 【解析】 【分析】确定最简公分母的方法为，取各分母系数的最小公倍数，凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：分式与的分母分别是，，系数的最小公倍数是，的最高次幂是，单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的因式，因此最简公分母是． 12. “成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨；④瓮中捉鳖；上述成语描述的场景为不可能事件的是____________．（填序号） 【答案】① 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，熟知不可能事件的定义是解题的关键．根据不可能事件的定义进行逐一判断即可：在一定条件下，一定不会发生的事件是不可能事件． 【详解】解：①水中捞月指从水中捞取月亮，月亮不在水中，只是倒影，因此不可能捞到，为不可能事件； ②守株待兔描述兔子偶然撞树，虽概率小但可能发生； ③百步穿杨描述射箭技术高超，可能发生； ④瓮中捉鳖描述一定完成的事情，必然发生． 故答案为：①． 13. 如图，已知直线，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线间的距离处处相等和“同底等高”的三角形面积相等进行解答． 【详解】解：∵， ∴边上的高与边上的高相等（平行线间的距离处处相等）， ∴（“同底等高”的三角形面积相等）． 14. 如图，在矩形ABCD中，已知为BD的中点，过点作BD的垂线交AD于点，交BC于点，连接BE，则的周长为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据矩形性质求出长，利用线段垂直平分线性质得出，设，在中利用勾股定理求出的值，进而得出的长，再通过全等三角形或勾股定理求出的长，最后计算三角形周长 【详解】解：四边形是矩形 为的中点 垂直平分线段 设，则 在中，由勾股定理得 即 解得 在和中 在中， 的周长为． 15. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，，则菱形的面积为_______． 【答案】96 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由勾股定理求得，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，利用等腰三角形三线合一性质得出，证明，得出，进而求出的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点． 由旋转的性质可知，． ． ． 四边形是正方形． ，． ． ． ． ． 在和中， ． ． ． ． ． ． 在中，由勾股定理得，． ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．） 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 约分、通分 （1）； （2）和． 【答案】（1） （2）通分后分别为和 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：最简公分母为， 通分后分别为和 19. 某学校八年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 240 600 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.6 （1）完成上述表格：__________；__________； （2）假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是__________（精确到0.1）； （3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 【答案】（1）295，0.6 （2）0.6 （3）144度 【解析】 【分析】（1）根据频率频数总数求解即可； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率； （3）用乘以获得“手工”奖品的概率即可． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 解：估计当很大时，频率将会接近0.6， 即假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6， 【小问3详解】 ， 答：在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是． 20. 已知：如图，在中，D、、分别是、、的中点，连接、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线可证，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明即可； （2）由，得，再根据菱形的判定定理证得四边形是菱形，进而求得答案． 【小问1详解】 证明：，，分别是，，的中点， ，是的中位线， ，， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：，，分别是，，的中点，， ， 又， ∴， ， 由（1）得：四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 四边形的周长． 21. 如图，点是菱形的对角线和的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质，得，由，，先证四边形为平行四边形，结合，即可证出四边形是矩形； （2）由菱形的性质，得，，由勾股定理得，结合矩形的性质，得，可得出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形为菱形，、为角平分线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形． 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴，， ∵， 由勾股定理得， ∵四边形为矩形， ∴， 故的长为． 22. 【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… （1）请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 （2）如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 【答案】（1）；，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证和全等，再说明是的中位线．利用三角形中位线定理得出结论； （2）先根据梯形面积求解得到的值，再由梯形中位线求解即可． 【小问1详解】 解：，． 证明：连接并延长，交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． 【小问2详解】 解：梯形的面积为，高为， ∴ ∴ 则梯形的中位线． 23. 请仅用无刻度的直尺按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法： （1）如图1，在四边形中，，，，作一个菱形（写答句）； （2）如图2，四边形是平行四边形，点在上，，作的平分线 【答案】（1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，即可得到菱形； （2）作出平行四边形的对角线，即可作出的平分线． 【小问1详解】 四边形是所求作的菱形； 【小问2详解】 是所求作的的平分线． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，角平分线定义，作图复杂作图，关键是掌握平行四边形的性质，菱形的判定． 24. 综合与实践． 【主题】利用因式分解生成密码． 【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码． 【操作】 步骤一：分解因式； 步骤二：取，则有，其中04，04，11，05分别为因式码； 步骤三：将这四个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码04040511． 【注意】字母的取值不同，所得的密码也不同；若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类推； 【理解】 （1）①已知多项式，当取时，则生成的密码是__________． ②已知多项式，当时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码是__________． 【拓展】 （2）①已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为05，07，则第三个因式码为__________． ②若多项式，用上述方法生成密码时，已知当取x，y某一组值时，生成的密码是，请写出满足条件的和，并说明理由． 【答案】（1）①② （2）①②，理由见详解 【解析】 【分析】（1）①利用平方差公式分解因式，再根据的值求出和的值即可得到答案； ②先运用完全平方公式进行因式分解，再根据求出三个因式的值即可得到答案； （2）①利用平方差公式分解因式，得到，根据密码的前两个因式码为05，07，进行列式计算，即可作答． ②先把进行因式分解，得出，再根据当取x，y某一组值时，生成的密码是，建立方程组，再解方程组，即可作答． 【小问1详解】 解：①依题意，， ∵， ∴， 依题意，因式码为，按从小到大排列得密码； 即生成的密码是． ②， ∵， ∴ 依题意，因式码为，按从小到大排列得六位数密码， ∴生成的密码是． 【小问2详解】 解：①， 依题意，都是非负整数 ∴， ∵密码的前两个因式码为05，07， ∴， 解得， ∴． 即第三个因式码为； ②，理由如下： ， ∵当取x，y某一组值时，生成的密码是， ∴， 解得． 25. 【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是__________． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，对角线的中点是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度为__________． 【答案】（1）①；②证明见解析； （2），证明见解析； （3）或 【解析】 【分析】（1）①先根据正方形的性质证明，可得，推出，再运用勾股定理 即可证得结论；②延长与交于一点，由正方形的性质可得，，再用证明； （2）延长交于点，连接，由矩形的性质证明，得出，再由线段垂直平分线的性质可得，再运用勾股定理即可得出答案； （3）设，分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：①，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴； ②如图，延长与交于一点， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：设， ①当点在线段上时，连接， ∵，，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，， 即， 由（2）得，且， ∴， ∴， 解得，即； ②当点在延长线上时，作，交的延长线于，连接、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 由勾股定理得，， 即， 在中，， 由勾股定理得，， 即， ∴， 解得，即． 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，根据勾股定理列方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $