精品解析：江苏省盐城市建湖县2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

2024—2025学年度第二学期期中考试 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷考试时间为100分钟，试卷满分120分．考试形式闭卷． 2．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡相应位置． 3．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 4．解答本试卷所有试题不得使用计算器． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列事件中的必然事件是（ ） A. 地球绕着太阳转 B. 投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是6 C. 天空出现三个太阳 D. 守株待兔 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可． 【详解】解；A、地球绕着太阳转是必然事件，符合题意； B、投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是6是随机事件，不符合题意； C、天空出现三个太阳是不可能事件，不符合题意； D、守株待兔是随机事件，不符合题意； 故选：A． 3. 从一个装有5个红球、4个蓝球、3个白球和2个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（ ） A. 摸出红球 B. 摸出蓝球 C. 摸出白球 D. 摸出黑球 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，事件发生的可能性，用对应颜色的球的个数除以球的总数求出摸出对应颜色球的概率，比较即可得到答案． 【详解】解：摸出红球的概率为， 摸出蓝球的概率为， 摸出白球的概率为， 摸出黑球的概率为， ∵， ∴摸出黑球的概率最小，即摸出黑球的可能性最小， 故选：D． 4. 某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%，小刚的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小刚这学期的数学成绩是（　　） A. 87分 B. 82分 C. 80分 D. 86分 【答案】A 【解析】 【分析】利用加权平均数的公式直接计算即可得出答案． 【详解】解：小明这学期的数学成绩是80×30%+90×70%=87分， 故选：A． 【点睛】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的公式 是解题的关键． 5. 如图，的面积为平分，垂足为，连接，若三角形内有一点，则点落在内（包括边界）的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形，三角形的面积，概率．熟练掌握全等三角形的性质和判定，三角形的面积公式，概率公式，是解决问题的关键． 由角平分线和垂线证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，根据面积概率可得的答案． 详解】延长交于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点M落在内（包括边界）的概率为，． 故选：A． 6. 如图，在腰长为的等腰中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质，得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为：． 故选：D． 7. 如图，绕点逆时针旋转一定角度后得到，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，由旋转的性质得到的度数，再由平角的定义即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴ ∴， 故选：C． 8. 顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形 【答案】B 【解析】 【分析】如图，根据三角形中位线定理推出，，则这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，证出，可得这个四边形为矩形． 【详解】解：如图，四边形中，E、F、G、H分别为各边的中点，连接、、、， ∵点E、F、G、H分别为各边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定以及矩形的判定，正确掌握知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 9. 在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有_______个． 【答案】5 【解析】 【分析】设袋中白球有x个，根据题意用黄球数除以白球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出白球数． 【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得： =0.75， 解得x=5． 所以袋中白球有5个． 故答案为5． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 10. 若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是_____ 【答案】1.2 【解析】 【分析】先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可． 【详解】解：∵数据10，9，a，12，9的平均数是10， ∴(10+9+a+12+9)÷5=10， 解得：a=10， ∴这组数据方差是15[(10−10) ² +(9−10) ² +(10−10) ² +(12−10) ² +(9−10) ²]=1.2 故选B． 【点睛】本题考查方差和平均数，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 11. 如图，在中，，的度数为______． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，， ∴； 故答案为：110． 12. 用反证法证明命题：“同位角不相等，两直线不平行”时，第一步应假设____________________． 【答案】两直线平行 【解析】 【分析】本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案． 【详解】已知平面中有两条直线，被第三条直线所截；假设同位角不相等，则两条直线平行，同位角不相等，则两条直线与第三直线互相相交，即为三角形．因假设与结论不相同，故假设不成立，即如果同位角不相等，那么这两条直线不平行． 故答案为：两直线平行． 【点睛】本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键． 13. 菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积，菱形的面积是对角线乘积的一半． 菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别为和， 这个菱形的面积为， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，、交于点，于点，若，则______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的对角线平分且相等，得到，等边对等角，求出的度数，再根据同角的余角相等，即可得出结果. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：40 15. 如图，在中，平分交于点，点，分别是、的中点，若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等角对等边，根据平行线的性质，结合角平分线推出，三角形的中位线定理，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是、的中点， ∴， ∴； 故答案为：2． 16. 如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点是对角线上的一个动点，连结，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的性质推出是等边三角形，得到，，继而得到，连接，证明，得，得到点在射线上，当时，有最小值，最小值为，即可得到答案． 【详解】解：菱形， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， 绕点按逆时针方向旋转，得到， ，， ， ， 如图，连接， ， ， 点在射线上， ∴当时，有最小值，最小值为， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤．） 17. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 295 480 600 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.60 （1）上表中的______；______； （2）“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）； （3）如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】（1） （2） （3）除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：“摸到白球”的概率的估计值是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（个）， 答：除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 18. 如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，连接，证明四边形为平行四边形即可得证． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵相交于点， ∴． 19. 2025年春节期间有四部热门电影，分别是《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《熊出没·重启未来》．小明和小红各自独立选择一部电影观看． （1）小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》的概率是______． （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小红选到同一部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据表格得出小明和小红选到同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用分别表示四部电影，列出表格如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中小明和小红选到同一部电影的结果有4种， ∴． 20. 某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度写出一条理由即可）． 【答案】（1）85，87 （2）估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人 （3）我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 故该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数． 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人； 【小问3详解】 解：我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好． 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好．（答案不唯一） 21. 如图，已知：在四边形中，、相交于点．，． （1）求证：． （2）若，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点，分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合平行线的性质、全等三角形的判定证明，则，进而可得四边形为平行四边形，从而可得结论． （2）作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴，且经过点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 则四边形即为所求． 22. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于原点对称的； （2）画出以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转后得到的； （3）在格点上，以，，，为顶点作平行四边形，则点坐标是______． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3），， 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，旋转作图，平行四边形的判定等知识点，熟悉掌握作图方法是解题的关键． （1）根据中心对称的特点作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）利用平行四边形的判定思想找出点的位置解答即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：如图，即为所求： 【小问3详解】 （3）解：由题意可得，点的位置如下图： ∴点的坐标为：，，． 23. 如图，将矩形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，， ． （1）求证：是等腰三角形； （2）求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，推出，由折叠的性质得，得到，即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，设，则，根据勾股定理得，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：矩形， ， ， 由折叠的性质得， ， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ，， 设，则， 在中，，， ， 解得， ． 24. 已知：如图，点、、分别在的各边上，且，，． （1）求证：点、、分别是的各边的中点； （2）若的面积为6，求的面积． 【答案】（1）详见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握它们是解题的关键； （1）依题意可证明四边形是平行四边形，则；同理四边形是平行四边形，得，即点C是的中点；同理得A、B分别是的中点； （2）由（1）得的面积相等，从而可求得的面积． 【小问1详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ 即点C是的中点； 同理得A、B分别是的中点； ∴点、、分别是的各边的中点； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形、四边形均是平行四边形， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积相等，且都为4， ∴的面积为． 25. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若菱形的面积为，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据菱形的性质可得且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得出结论； （2）由菱形的性质可得，，，，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，，求出，由勾股定理可得，最后再计算出的长即可． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形． 【小问2详解】 四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ， 菱形的面积为， ， ， ， 在中， ， ， 菱形的面积为120， ， 26. 【问题初探】 （1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？直接判断：______（填“”或“”）； 【问题迁移】 （2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 【问题延伸】 （3）如图3，正方形中，点为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，，，于点，，，．求证：； 【问题拓展】 （4）如图4，在边长为4的正方形中，是的中点．是上的动点，过点作，分别交，于点，．直接写出的最小值为______． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）详见解析 （4）40 【解析】 【分析】（1）证明，得到 （2），理由如下，作，交于点，由（1）得，推出，可证明四边形是平行四边形，得到，即可得到结论； （3）连接，求出，得到 ， 由（2）得，推出，即可得到结论； （4）过点作，过点作，连接，推出四边形是平行四边形，得到，，，推出当三点共线时的值最小，由（2）知，得到，根据勾股定理求出，，得到的最小值为，求得的最小值为，即可得到答案． 【详解】（1）解：正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下， 如图，作，交于点， ， ， 由（1）得， ， 正方形， ， 四边形是平行四边形， ， ； （3）证明：如图，连接， 是正方形对角线上一点， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）得， ， ； （4）解：过点作，过点作，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 当三点共线时的值最小， 由（2）知， ， 正方形， ， ， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期中考试 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷考试时间为100分钟，试卷满分120分．考试形式闭卷． 2．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡相应位置． 3．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 4．解答本试卷所有试题不得使用计算器． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中的必然事件是（ ） A. 地球绕着太阳转 B. 投掷一枚普通骰子，朝上一面点数是6 C. 天空出现三个太阳 D. 守株待兔 3. 从一个装有5个红球、4个蓝球、3个白球和2个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（ ） A. 摸出红球 B. 摸出蓝球 C. 摸出白球 D. 摸出黑球 4. 某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%，小刚的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小刚这学期的数学成绩是（　　） A. 87分 B. 82分 C. 80分 D. 86分 5. 如图，的面积为平分，垂足为，连接，若三角形内有一点，则点落在内（包括边界）的概率为（ ） A B. C. D. 6. 如图，在腰长为的等腰中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，绕点逆时针旋转一定角度后得到，点在上，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 9. 在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有_______个． 10. 若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是_____ 11. 如图，在中，，的度数为______． 12. 用反证法证明命题：“同位角不相等，两直线不平行”时，第一步应假设____________________． 13. 菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为______． 14. 如图，在矩形中，、交于点，于点，若，则______． 15. 如图，在中，平分交于点，点，分别是、的中点，若，，则______． 16. 如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点是对角线上的一个动点，连结，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤．） 17. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 295 480 600 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 060 （1）上表中的______；______； （2）“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）； （3）如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 18. 如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 19. 2025年春节期间有四部热门电影，分别是《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《熊出没·重启未来》．小明和小红各自独立选择一部电影观看． （1）小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》的概率是______． （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小红选到同一部电影的概率． 20. 某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度写出一条理由即可）． 21. 如图，已知：在四边形中，、相交于点．，． （1）求证：． （2）若，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点，分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 22. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位正方形，在建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于原点对称的； （2）画出以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转后得到的； （3）在格点上，以，，，为顶点作平行四边形，则点的坐标是______． 23. 如图，将矩形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，， ． （1）求证：是等腰三角形； （2）求的长． 24. 已知：如图，点、、分别在的各边上，且，，． （1）求证：点、、分别是的各边的中点； （2）若的面积为6，求的面积． 25. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若菱形的面积为，，求的长． 26. 【问题初探】 （1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？直接判断：______（填“”或“”）； 【问题迁移】 （2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 【问题延伸】 （3）如图3，正方形中，点为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，，，于点，，，．求证：； 【问题拓展】 （4）如图4，在边长为4的正方形中，是的中点．是上的动点，过点作，分别交，于点，．直接写出的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$