第9章因式分解章末测试卷-2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 苏科版八年级下册第9章因式分解单元卷，知识覆盖因式分解定义、方法及应用，通过密码解码、几何面积等真实情境设计，梯度分布基础巩固与创新应用，适配单元复习，发展数学抽象、运算推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|因式分解定义、公因式确定、公式应用|第7题结合密码手册情境，考查提取公因式与平方差公式，体现数学语言表达现实世界| |填空题|6|提公因式法、公式法、代数式求值|第15题通过框图思路迁移，发展推理意识与创新思维| |解答题|5|配方法、新定义问题、综合应用|第21题“神秘数”新定义，融合平方差公式与几何面积，培养数学眼光观察规律、数学思维解决实际问题|

第9章因式分解章末测试卷-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在括号内填一个单项式，使多项式（   ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 4．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 5．判断能被下列哪个数整除（    ） A．9 B．13 C．15 D．17 6．把多项式分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 7．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 江 爱 阴 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．我爱江阴 B．美丽江阴 C．我爱美丽 D．我爱丽江 8．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 9．若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 10．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“天才数”．如，因此、都是“天才数”，则下面哪个数是“天才数”（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．因式分解：___________. 12．已知，则的值是_________． 13．在多项式中，各项的公因式是______． 14．若， 则 的值为_______． 15．小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________． 16．先阅读，再分解因式：，按照这种方法分解因式：________． 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)． 18．已知， (1)求的值． (2)求的值． 19．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：． (1)解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解：； (2)深入研究，已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 20．请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，这种将平方和转化为平方差的方法，被称为“姬曼技巧” (1)受上述方法启发，尝试分解； (2)类比问题（1）尝试分解； (3)小明认为：“只要是的形式，都能用这种方法进行分解因式．”请你判断这个说法是否正确，并举例说明．如果正确，请写出一般结论；如果不正确、请给出反例并解释原因． 21．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第9章因式分解章末测试卷-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B D A A D D B 1．C 【分析】分别将三个单项式代入原多项式，化简后用初中因式分解方法判断是否能分解，统计符合要求的个数即可． 【详解】解：对于①：，能进行因式分解； 对于②：，能进行因式分解； 对于③：，不能进行因式分解； 综上，符合要求的有个． 2．D 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式的乘积的变形，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： A、左边是整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故此选项错误； B、右侧出现分式，不是整式乘积的形式，不符合因式分解要求，故此选项错误； C、左侧是单项式，且等式左右两边不相等，不符合因式分解定义，故此选项错误； D、左侧是多项式，右侧是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故此选项正确． 3．A 【分析】本题按照公因式的求解方法，先计算各项系数的最大公约数，再确定各项共有的相同字母，取相同字母的最低次幂，相乘即可得到公因式． 【详解】解：∵多项式的各项系数为，，，三者的最大公约数是， 各项共有的相同字母为和， 在各项的次数分别为，，，最低次幂为， 在各项的次数分别为，，，最低次幂为， ∴该多项式的公因式为． 4．B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 5．D 【分析】将原式中各幂转化为同底数幂的形式，提取公因式化简后，即可判断原式含有的因数，得到结果． 【详解】解：∵== ==8 × × ∴ 原式 ∵ 是正整数， ∴ 原式能被整除． 6．A 【详解】解：∵多项式的各项公因式为， ∴提取公因式得. 7．A 【分析】先对密文用提取公因式法和平方差公式因式分解，再对应密码表得到明文即可． 【详解】解：∵ ， ∵8对应明文“我”，对应明文“阴”，对应明文“爱”，对应明文“江”， ∴组合后明文可为“我爱江阴”． 8．D 【分析】根据，再根据长方形一边长为，得出另外一条边长即可． 【详解】解： ， ∵长方形一边长为， ∴长方形的另外一条边长为． 9．D 【分析】利用平方差公式计算，对比原式即可求出的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 等式两边同时消去，得， ∴． 10．B 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，灵活推导 “天才数” 的特征是解题的关键．根据 “天才数” 的定义，设两个连续奇数为和（为整数），利用平方差公式计算得出 “天才数” 一定是的整数倍，进而验证各选项得到答案． 【详解】解： “天才数”可表示为两个连续奇数的平方差，设两个连续奇数为和，为整数， 利用平方差公式计算得：， “天才数”一定是的整数倍对选项验证：，不是整数，所以不是天才数； ，是整数，此时为整数，所以是天才数；同理98和100不是 “天才数”. 11． 【详解】解：． 12． 【详解】解：∵， ∴ ． 13． 【分析】本题主要考查公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键，根据公因式的定义即可得到结果． 【详解】解：多项式 的每一项都含有因式，且的最低次数为， 各项的公因式是． 14．150 【分析】先将进行因式分解为，再代入求解即可． 【详解】解： ． 15． 大 9 【分析】仿照小李同学的思路，由表示，代入 ，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴ ， ， ∴， ∴有最大值9． 16． 【分析】仿照题干给出的添项因式分解方法，先对原式添项配成完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1)168 (2)12 【分析】（1）根据题意，得，代入求解即可． （2）根据题意，得，变形代入求解即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：根据题意，得 19．(1) (2)是等边三角形 【分析】（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可； （2）将已知等式变形，利用配方法构造出完全平方式的和，再根据非负数的性质确定三边关系． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 20．(1) (2) (3)正确；举例见解析；一般结论：形如（为正整数）的多项式均可用此法分解因式 【分析】本题考查了因式分解： （1）根据新定义，用构造出平方项，再进行因式分解； （2）根据新定义，把原式看成和的和，用构造平方项，完成因式分解； （3）当完全平方数为时，代入并分解因式，再设完全平方数为，其中为正整数，将按照“姬曼技巧”进行变形，分解因式，后总结一般结论即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：正确； 举例：当完全平方数为时， ， 一般结论：设完全平方数为，其中为正整数，则， ， 因此，正确结论是：形如（为正整数）的多项式均可用此法分解因式． 21．(1)40，13，11 (2)见解析 (3)960是神秘数， (4)阴影部分面积的和为5000 【分析】（1）计算：用平方差公式；求48对应的两个连续奇数：设为和，则，得，对应； （2） 设两个连续奇数为和，则，是8的倍数，故神秘数一定是8的倍数； （3） 判断是否是8的倍数即可； （4）阴影面积和为，用平方差公式展开得，计算求解即可． 【详解】（1）解：． 设， 则，解得， 则，， 即． （2）解：设两个连续奇数为和，则 ， 是8的倍数， ∴“神秘数”一定是8的倍数． （3）解：设，解得， 则， ∴，960是神秘数． （4）解：阴影面积和 ． 答：阴影面积为5000． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $