精品解析：山东临沂市兰山区2025～2026学年度下学期期中阶段质量检测试题 八年级数学

2025~2026学年度下学期期中阶段质量检测试题 八年级数学 2026.4 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题注意事项见答题纸，答在本试卷上不得分． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 由下列三条线段组成的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 9，40，41 C. 2，3，4 D. 1，， 3. 在四边形中，已知，与交于点，则添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 直角三角形的两直角边长a，b满足，则其斜边长为（ ） A. 5 B. C. 4或5 D. 或5 5. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则近似值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 25 B. 15 C. D. 8. 如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 某巡逻舰在太平洋海域的点执行任务时，发现南偏东方向，距离海里的点，有一艘敌舰正以海里/小时的速度沿南偏西方向行驶．巡逻舰立即沿直线方向进行驱离，半小时后在点成功拦截敌舰并完成驱离任务．则巡逻舰的航行速度为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 10. 如图，矩形中，，对角线相交于O，过C点作交于E点，H为中点，连接交于G点，交的延长线于F点，下列4个结论：①；②；③；④．正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题90分） 注意事项： 1．第II卷分填空题和解答题． 2．第II卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，的直角边，且在数轴上，以A为圆心，以为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为 _________________ ． 12. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 13. 若，则化简的结果是_______． 14. 跨学科一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是_______． 15. 如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为________米． 16. 如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 三、解答题（本题共7小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 求下列代数式的值． （1）已知：，求的值； （2）已知：，，若，的小数部分分别为，，请求出的平方根． 19. 如图，是的中点，，交于点，，且． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，连接．求的长． 20. 为迎接2026年“网络中国节”，某景区举办特色文创展览，计划制作一批纪念徽章．徽章图案设计包含图1所示的直角三角形和图2所示的四边形区域． （1）如图1，，，直角边分别为，，斜边为，请根据图1证明勾股定理； （2）如图2所示，四边形是铜制徽章的主体轮廓．经测量：，，，，．请你计算这个四边形的面积，以便景区核算成本用量． 21. 如图，在平行四边形中，以为圆心，的长为半径画弧，与交于点；再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）已知平行四边形的面积为36，，，求． 22. 【综合实践：防掉折叠书签的设计与探究】 八年级（2）班数学兴趣小组发现：普通矩形书签夹在书中易滑落，因此设计了一款带折叠卡扣的防掉书签：利用矩形折叠形成的三角结构作为卡扣，让书签能牢牢卡在书页间．已知该书签的原型为矩形纸片，其中短边，长边． 兴趣小组进行了如下设计： 1．在边上取一点，在边上取一点（，均不与矩形顶点重合）； 2．将纸片沿折叠，使点的对应点为，且与边交于点，形成． 探究任务： （1）基础验证：若在折叠过程中，测得，请直接写出 ； （2）模型探究：请结合折纸的操作过程，探究的形状，并说明理由； （3）拓展应用：为了使卡扣结构更稳固，需要的面积尽可能大．请利用备用图探究并求出面积的最大值． 23. 学完《正方形》后，老师布置了一道作业如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． （1）【思路梳理】取的中点，连接，根据 （判定），易证 ，从而证得； （2）【类比引申】爱思考的小华做完这道题后，想到老师在课堂上经常通过变条件、变结论、条件结论互换或变换图形等多种方式对例题进行变式，以锻炼同学们的思维能力．于是他把原题中的点为边的中点改为点为边上任意一点（，两点除外），其他条件不变（如图2），那么结论是否还成立？请说明理由； （3）【拓展应用】若将（2）中的点改为边延长线一点，其他条件不变，请猜想是否仍然成立？ （填是或否） （4）【拓展应用】如图3，当点为反向延长线上一点，交正方形外角的平分线所在直线于点．若，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网可组卷网 20252026学年度下学期期中阶段质量检测试题 八年级数学 2026.4 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分120分，考试时 间120分钟.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在 答题纸规定的位置.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 2.答题注意事项见答题纸，答在本试卷上不得分 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中. 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.V⑧ B.V1.5 D.V30 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各 选项逐一判断即可 【详解】解：A.√⑧=2√2，被开方数含能开得尽方的因数，不符合要求； B.√5=， 36 被开方数是小数即含分母，不符合要求： 22 c. 1 3 V3=3 被开方数含分母，不符合要求； D.√30的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，符合要求. 2.由下列三条线段组成的三角形中，不能构成直角三角形的是() A.0.3,0.4,0.5 B.9,40,41 C.2,3,4 D.1,5,3 【答案】C 【解析】 第1页/共26页 西学科网组卷网 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理，验证两小边的平方和是否等于最长边的平 方，即可得到答案。 【详解】解：A.0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，故A不符合题意； B.92+402=412,能构成直角三角形，故B不符合题意； C.22+32=13≠42，不能构成直角三角形，故C符合题意； D.1P+(V2)=(5,能构成直角三角形，故D不符合题意： 故选：C 3.在四边形ABCD中，已知AD∥BC,AC与BD交于点O,则添加下列条件能判定四边形ABCD是 平行四边形的是() A.AB=CD B.AO=OC C.∠BAD+∠ABC=180° D.A0=BO 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形是解题的关键。 己知AD‖BC,结合各选项条件，利用平行线性质、全等三角形判定与性质、平行四边形判定定理，判断 能否推出四边形是平行四边形即可. 【详解】解：：AD‖BC, :.∠OAD=∠OCB,∠ODA=∠OBC O A、若AB=CD,四边形ABCD可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合题意； B、AD‖BC, .∠DAO=∠BCO,∠ADO=∠CBO, ·AO=OC, :△AOD=COB(AAS 第2页/共26页 耐学科网 丽组卷网 :AD=BC :AD‖BC, :.四边形ABCD是平行四边形，符合题意， C、由AD‖BC本身即可推出∠BAD+∠ABC=180°，无法额外判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、AO=BO无法推出AD=BC或AB‖CD,不能判定四边形是平行四边形，不符合题意. 故选：B. 4.直角三角形的两直角边长a,b满足(a-3)+√b-4=0,则其斜边长为() A.5 B.√万 C.4或5 D.√7或5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据非负性求出α=3，b=4,再利用勾股定理即可求解. 【详解】解：(a-3+√b-4=0, .a-3=0,b-4=0, 解得：a=3,b=4, 斜边=√32+42=5. 5.如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为() 0元 A.150° B.145° C.140° D.135° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质和内角和公式，根据正多边形内角和公式(n-2)×180°求出正十 二边形的内角和再除以12正十二边形一个内角的大小即可. 12-2)×180° 【详解】解：该正十二边形一个内角的大小为： =150°， 12 故选：A 第3页/共26页 耐学科网 函组卷网 6.已知√5≈2.236，则5， 近似值是() A.0.447 B.2.236 C.1.118 D.11.18 【答案】B 【解析】 【分析】本题先利用二次根式的性质化简所求式子，再代入已知√5的近似值计算即可得到结果。 【详解】解： 1 5 555,5*2.236 =5× 5 .55 ≈2.236 7.如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S,S2,S·若 S3+S2=50+S,.则图中阴影部分的面积为() A.25 B.15 D 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理得出S,+S2=S3,结合已知条件S+S2=50+S,求出S2的值，再根据三角形面积 公式及正方形性质求解阴影部分面积. 【详解】解：由勾股定理得AB2+AC2=BC2, 正方形面积S1=AC2,S2=AB2,S,=BC2, ∴.S1+S2=S3, S3+S2=50+S1, S+S2+S2=50+S1, 第4页/共26页 耐学科网 可组卷网 .2S,=50, .S2=25. 如图，设正方形S,的左上角顶点为D,则DB=AB,且DB‖AC,点C到直线DB的距离等于AB, D S2 A S .S阴影=S,D8C L AB' 1 9 25 = 2 8.如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连接OH, ∠DHO=20°，则∠DAB的度数是() H B A.50° B.40° C.60° D.45° 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相平分可得O为BD中点，结合DH⊥AB利用直角三角形斜边中线定理可 得OH=OB,从而求出∠ABD的度数，最后利用菱形对角线互相垂直及平分对角的性质求出∠DAB. 【详解】解：，四边形ABCD是菱形 .OB=OD,AC⊥BD,AC平分∠DAB :DH⊥AB ∴.∠DHB=90° 第5页/共26页 学科网组卷网 ,在Rt△DHB中，O为BD中点 :.OH=OB=-BD ∴.∠OHB=∠OBH :∠DHB=90°，∠DH0=20° ∴.∠OHB=∠DHB-∠DHO=90°-20°=70° ∴.∠ABD=∠OHB=70 :在Rt△ABO中，∠BAO=90°-∠ABD=90°-70°=20° ∴.∠DAB=2∠BAO=40° 9.某巡逻舰在太平洋海域的A点执行任务时，发现南偏东50°方向，距离15海里的B点，有一艘敌舰正以 16海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶.巡逻舰立即沿直线方向进行驱离，半小时后在C点成功拦截敌 舰并完成驱离任务.则巡逻舰的航行速度为() 北 东 A >东 A.16海里/小时 B.20海里/小时 C.32海里/小时 D.34海里/小时 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向角的度数及平行线的性质得出∠ABC=90°，根据敌舰的速度得出BC=8海里，利用勾 股定理求出AC=17海里，进而可求出巡逻舰的航行速度. 【详解】解：如图所示，由题意得，AF∥BE,LFAB=50°，LCBE=40°，AB=15海里， 北 东 DB,乐 ∴.∠ABD=∠FAB=50°， .∠ABC=180°-∠ABD-∠CBE=180-50°-40°=90°， 第6页/共26页 可学科网可组卷网 ,敌舰以16海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶，半小时后在C点成功拦截敌舰并完成驱离任务， 1 .BC=16×二=8（海里）， 2 AC=VAB2+BC2=V152+82=17(海里)， :巡逻舰的航行速度为17÷-34（海里小时）. 1O.如图，矩形ABCD中，BC=2AB,对角线相交于O,过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中 点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列4个结论：①EH=AB;②∠ABG=∠HEC ;③△ABG≌△HEC；④CF=BD.正确的有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形的斜边中线可判断①结论；根据等边对等角和等角的余角相等可判断②结论；利 用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定可判断③结论；根据等边对等角的性质，得出 ∠ECH=∠BAO,结合三角形外角的性质，得出∠F=∠HAC,再结合等角对等边，可判断④结论. 【详解】解：在Rt△BCE中，H为BC中点， :EH BC BH CH BC=2AB, EH=AB,①结论正确； EH =BH .∠EBH=∠BEH, :∠ABC=∠ABG+∠EBH=90°，∠BEC=∠HEC+∠BEH=90°， ∴.∠ABG=∠HEC,②结论正确； 如图，连接DH, 第7页/共26页 可学科网可组卷网 F :AB=BC=BH,∠ABH=90°， 2 .∠BAH=∠AHB=45°， 同理可得，∠DHC=45°， .∠EHC>∠DHC,即∠EHC>45°， .∠EHC>∠BAG, ∴，△ABG≌△HEC不能得出，③结论错误； .CH=EH, :ZHEC ZHCE .矩形ABCD, ∴.AB∥CD,OA=OB,AC=BD, ∴.∠ABG=∠CDE,∠BAO=∠ABG, 由②可知，∠ABG=∠HEC, .∠ECH=∠HEC=∠ABG=∠CDE=∠BAO, .∠CHF=∠AHB=45°， ∴.∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F, :·∠BAO=∠BAH+∠HAC=45°+∠HAC, ∴.∠F=∠HAC, ∴.AC=CF, CF=BD,④结论正确. 第Ⅱ卷（非选择题90分） 注意事项： 1.第Ⅱ卷分填空题和解答题！ 2.第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷 上答题不得分， 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 第8页/共26页 学科网丽组卷网 11.如图，Rt△ABC的直角边AC=2,BC=1,且AC在数轴上，以A为圆心，以AB为半径画弧交数轴 于点D,则点D表示的数为 B D A -3-2-10123 【答案】 1-V5#√5+1 【解析】 【分析】根据题意运用勾股定理求出AB的长，即可得到答案 【详解】解：在Rt△ABC中，AC=2,BC=1, 由勾股定理得，AB=√22+12=√5， 则点D表示的数为1-√5. 12.若代数式 :有意义，则实数x的取值范围是 x-8 【答案】x>8 【解析】 【详解】解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得x一8>0， 解得x>8. 13.若6<m<9，则化简V6-m)2+m-9)2的结果是 【答案】3 【解析】 【详解】解：6<m<9, ∴.6-m<0,m-9<0, 6-m)+m-9) =6-m+m-9 =m-6+9-m 第9页/共26页 耐学科网 丽组卷网 =3· 14.跨学科一束光线从y轴上一点A0,1)出发，经过x轴上点C,然后反射经过点B(-3,3),则光线从点 A到点B经过的路线长是 B(-3,3) A(0,1) C 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，轴对称的知识.根据题意，作点A关于CO的对称点交y轴于点D,则 AO=DO,AC=DC,过点F作BF⊥y轴，根据点B(-3,3,可得BF=3,OF=3,根据勾股定 理，求出BD,即可. 【详解】解：作点A关于CO的对称点交y轴于点D, :A0=DO=1,AC=DC, 过点F作BF⊥y轴， :点B(-3,3, .BF=3,OF=3, .DF=OF+OD=4, AC+BC=CD+BC=BD, BD2=BF2+FD2=32+42=25, BD=5, 光线从点A到点B经过的路线长是5. 故答案为：5. 第10页/共26页 学科网组卷网 B(-3,3) rF A(0,1) D 15.如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户（四边形ABCD),工人师傅准备连接窗户各边中点 E、F、G、H来制作精美的装饰边框，如果他们测得边AB的长为1米，边BC的长为2.4米，那么四边 形EFGH的周长为 米 【答案】5.2 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，四边形的综合；根据题意得到四边形EFGH为菱形，结合勾股定理得到 EF=√BE2+BF2=1.3,再计算周长即可. 【详解】解：由题知：四边形EFGH为菱形； AB=1,BC=2.4, .BE=0.5,BF=1.2, EF=√BE2+BF2=1.3 所以形EFGH的周长为1.3×4=5.2米， 故答案为：5.2 16.如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，M,N分别是AB,AD的中点，P为BD 上的一个动点，若菱形ABCD的周长为m,则PM+PN的最小值为 第11页/共26页 可学科网列组卷网 【答案】 -m 【解析】 【分析】由菱形的性质可知AB=BC=CD=AD=m,AB∥CD,作点N关于BD的对称点N,由菱形 的轴对称的性质，可知N在CD上，可证得四边形BMNC是平行四边形，则MN'=BC=4m,可知 M+PN=PM+PN2MNm,当点P在MN上时取等号，即可求解 【详解】解：，菱形ABCD的周长为m, 六.AB=BC=CD=AD=4m,AB∥CD, 作点N关于BD的对称点N',由菱形的轴对称的性质，可知N在CD上， ,M,N分别是AB,AD的中点， :AM=BM-14B-Im,AN=DN-T4D-5m. 8 R 由轴对称可知DN=DN=m=CN',PN=PN, 则BM=CN', 四边形BMNC是平行四边形，则MN'=BC= 4m, .PM+PN=PM+PN'≥MN'=m,当点P在MW'上时取等号， 故PM+PN的最小值为二m 41 三、解答题（本题共7小题，共72分) 17.计算： 第12页/共26页 学科网丽组卷网 s-3+2 (2)√80+√40÷V5 【答案】(1)65 (2)4+2√2 【解析】 【小问1详解】 s-3V店+ =4V3-V3+33 =63: 【小问2详解】 解：（v80+V40)÷V5 =(45+210)÷V5 =45÷√5+210÷V5 =4+2V2. 18.求下列代数式的值. (1)已知：x=√3+1，求x2-2x的值； (2)已知：x=3+√2，y=3-√2，若x,y的小数部分分别为a,b,请求出a+b的平方根. 【答案】(1)2 (2)±1 【解析】 【分析】(1)通过对x=√3+1变形得x-1=√3，然后两边平方整理可得答案； (2)先估算无理数的大小得到x,y的小数部分a,b,再计算a+b的值，最后求a+b的平方根，用到无理 数估算和平方根的概念 【小问1详解】 第13页/共26页 学科网 组卷网 解：x=V3+1, x-1=V3, .(x-1)2=3,即x2-2x+1=3, .x2-2x=2: 【小问2详解】 解：1<√2<2 :.4<3+V2<5 x的整数部分为4，小数部分a=3+√2-4=√2-1 :1<3-V2<2 ·y的整数部分为1，小数部分b=3-√2-1=2-√2 ∴.a+b=(2-1+2-V2)=2-1+2-V2=1 :1的平方根为±1 ∴.a+b的平方根为±1 19.如图，E是AB的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,且DA=CF, E (1)求证：四边形AFCD为平行四边形； (2)若∠EFB=90°，BF=3EF,EF=1,连接BC.求BC的长. 【答案】(1)见解析 (2)13 【解析】 【分析】(1)根据三角形中位线定理得EF∥AD,即CF∥AD,然后结合DA=CF得到四边形AFCD 是平行四边形： (2)根据三角形中位线定理AD=2EF=2,由平行四边形的性质可得CF=AD=2,而 ∠CFB=∠EFB=90°，BF=3,根据勾股定理得BC=VCF2+BF2=V13. 第14页/共26页 可学科网列组卷网 【小问1详解】 证明：DB,CE交于点F,DF=FB, .F是DB的中点， ,E是AB的中点， .EF是△ABD的中位线， .EF∥AD, .CF∥AD, DA=CF, .四边形AFCD是平行四边形： 【小问2详解】 解：EF是△ABD的中位线，EF=1, ∴.AD=2EF=2, .BF =3EF, .BF=3, ,四边形AFCD是平行四边形， ∴.CF=AD=2, ,∠CFB=∠EFB=90°，BF=3, ∴.BC=VCF2+BF2=V22+32=V13. 20.为迎接2026年“网络中国节”，某景区举办特色文创展览，计划制作一批纪念徽章.徽章图案设计包 含图1所示的直角三角形和图2所示的四边形区域. D B 图1 图2 (1)如图1，Rt△ABE≌Rt△DEC,∠A=∠D=90°，直角边分别为a,b,斜边为C,请根据图1证 明勾股定理a2+b2=c2; (2)如图2所示，四边形DABC是铜制微章的主体轮廓.经测量：∠ABC=90°，AB=2Cm, BC=4cm,CD=6cm,AD=4cm.请你计算这个四边形的面积，以便景区核算成本用量. 第15页/共26页 命学科网组卷网 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积为(4V5-4)cm2 【解析】 【分析】(1)根据三角形全等以及∠A=∠D=90°可得∠BEC=90°，再由三角形面积公式可分别求解出 BEC、△ABE与△DEC的面积，再由梯形面积公式求解出梯形ABCD的面积，由此可证勾股定理： (2)连接AC,根据勾股定理可求解AC的长度，再由勾股定理逆定理可得∠DAC为90度，根据 S四边形ARCD=SADC-S。ABc计算即可. 【小问1详解】 证明：RtABE≌Rt△DEC, ∴.∠AEB=∠DCE, .∠A=∠D=90°， ∠DEC+∠DCE=90°， ∴.∠DEC+∠AEB=90°，即∠BEC=90°， +ab, 2 Snao -+ab, 2 :S,BECc+S。ABE+SDEc=S梯形HBCD, .a2+b2 +ab=+ab,即a2+b2=c2; 2 【小问2详解】 解：如图，连接AC, D 图2 .∠ABC=90°，AB=2cm,BC=4cm, ∴.AC=VAB2+BC2=2V5, 第16页/共26页 可学科网可组卷网 CD =6cm,AD=4cm, .AC2+AD2=36=CD2, ∴.∠DAC=90°， 5aan=5e-5m=×4x25-x2x4=45-4列em2, 2 答：四边形的面积为4V5-4)cm2. 21.如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径画弧，与AD交于点F；再分别以B, F为圆心，大于二BF的长为半径画弧，两弧交于点P,连接AP并延长，与BC交于点E,连接EF, (1)求证：四边形ABEF为菱形； (2)已知平行四边形ABCD的面积为36，AB=2BC,BF=6,求AB. 3 【答案】(1)见解析 (2)5 【解析】 【分析】(1)由作图过程可得：AB=AF,AE平分∠BAD,即∠BAE=∠FAE,根据平行四边形的性 质得到AD∥BC,得到∠FAE=LAEB,进而得到∠BAE=∠AEB,根据等角对等边得到AB=BE, 进而得到AF=BE,证明四边形ABEF是平行四边形，进而根据AB=AF证明四边形ABEF为菱形即可； (2)设AB=2x,可知BC=3x,分别根据菱形的性质和平行四边形的性质得到AF=AB=2x, 号进霸肉到 2 AD=BC=3x,根据平行四边形ABCD与菱形ABEF同高可 S平行四边形ABCD S菱形4Br=24,根据菱形面积公式求出AE=8，根据菱形的性质得到 01-方4B=4,0B=8F=3,∠A08=90,表据勾款定理计字可。 【小问1详解】 证明：由作图过程可得：AB=AF,AE平分∠BAD,即∠BAE=∠FAE, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, 第17页/共26页 学科网组卷网 .∠FAE=∠AEB, .∠BAE=LAEB, .AB BE, ∴.AF=BE, 又AF∥BE, .四边形ABEF是平行四边形， 又：AB=AF, ∴.平行四边形ABEF是菱形： 【小问2详解】 解：设4B=2x,由AB=2BC可知BC=3x, 四边形ABEF为菱形， .AF=AB=2x, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC=3x, ,平行四边形ABCD与菱形ABEF同高， S菱形ABEF一= AF2x_2 S平行四边形ABCD AD 3x 3' ,·平行四边形ABCD的面积为36， ·.S菱形ABEr=24, ,四边形ABEF为菱形， ·S菱形ABEF=)AE·BF=24, 2 ,BF=6, ∴.AE=8, ,四边形ABEF为菱形， :0A=1AE=4,0B=1BF=3,∠A0B=90°， ∴AB=VOA2+0B2=V42+32=5. 22.【综合实践：防掉折叠书签的设计与探究】 八年级(2)班数学兴趣小组发现：普通矩形书签夹在书中易滑落，因此设计了一款带折叠卡扣的防掉书签： 第18页/共26页 可学科网组卷网 利用矩形折叠形成的三角结构作为卡扣，让书签能牢牢卡在书页间.已知该书签的原型为矩形纸片ABCD ,其中短边AD=BC=3cm,长边AB=CD=9cm· 兴趣小组进行了如下设计： 1,在边AB上取一点E,在边CD上取一点F(E,F均不与矩形顶点重合)： 2.将纸片沿EF折叠，使点B的对应点为B',且EB'与边CD交于点G,形成△EFG. D A 备用图 探究任务： (1)基础验证：若在折叠过程中，测得∠BEF=66°，请直接写出∠EGF= (2)模型探究：请结合折纸的操作过程，探究△EFG的形状，并说明理由； (3)拓展应用：为了使卡扣结构更稳固，需要△EFG的面积尽可能大.请利用备用图探究并求出△EFG面 积的最大值 【答案】(1)48 (2)△EFG是等腰三角形，理由见解析 (3)7.5cm2 【解析】 【分析】(1)根据矩形对边平行的性质，结合折叠前后角相等的性质，利用平行线的内错角相等，求出 ∠EGF的度数. (2)由矩形对边平行得内错角相等，结合折叠的性质，推出∠GEF=∠GFE,进而根据等角对等边判断 △EFG的形状， (3)根据三角形面积公式，当高固定时，底边长最大则面积最大，因此需找到EG的最大值，当点B'与点 D重合时，EG最大，再结合勾股定理和矩形边长关系求解 【小问1详解】 解：AB‖CD, .∴.∠EFG=∠BEF=66° .∠GEF=∠BEF=66°， ∴.∠EGF=180°-66°-66°=48°. 第19页/共26页 学科网组卷网 【小问2详解】 解：△EFG是等腰三角形，理由如下： :AB‖CD, ∴.∠EFG=∠BEF. ,∠GEF=∠BEF, ∴.∠EFG=∠GEF. ∴.EG=FG ∴.△EFG是等腰三角形. 【小问3详解】 解：S,E)FG·AD，AD=3 .·FG=EG, .S.FGAD-EGx3-EG 2 要△EFG的面积尽可能大，则EG即可能大， 当点B'与点D重合时，EG最大，此时ED=BE, 设AE=x,则ED=BE=9-x. .AD2+AE2=ED2, .32+x2=(9-x)2. 解得x=4· .ED=9-4=5. 3 SEr6=×5=7.5. 2 故△EFG面积的最大值为7.5cm2. 23.学完《正方形》后，老师布置了一道作业如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点， ∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F,求证：AE=EF. 第20页/共26页 可学科网可组卷网 D B E E 图1 图2 图3 (1)【思路梳理】取AB的中点M，连接EM,根据 (判定)，易证△AME2,从而证 得AE=EF; (2)【类比引申】爱思考的小华做完这道题后，想到老师在课堂上经常通过变条件、变结论、条件结论互 换或变换图形等多种方式对例题进行变式，以锻炼同学们的思维能力.于是他把原题中的点E为边BC的 中点改为点E为边BC上任意一点(B,C两点除外)，其他条件不变（如图2），那么结论AE=EF是否 还成立？请说明理由； (3)【拓展应用】若将(2)中的点E改为边BC延长线一点，其他条件不变，请猜想AE=EF是否仍然 成立？ (填是或否) (4)【拓展应用】如图3，当点E为BC反向延长线上一点，EF交正方形外角的平分线CM所在直线于点 F.若AB=3,CF=V2时，求EF的长. 【答案】(1)ASA,△ECF (2)结论AE=EF还成立，理由见解析 (3)是 (4)V10 【解析】 【分析】(1)取正方形边AB中点构造辅助点，利用正方形边长相等、内角为直角的性质，推出线段相等， 再求出对应角度，借助同角的余角相等，利用角边角证明三角形全等，从而证得线段相等 (2)在边AB上截取与EC相等的线段，构造等腰直角三角形求出钝角角度，结合外角平分线得到等角， 再利用余角关系推导角相等，证三角形全等得出结论成立 (3)在AB延长线上截取等长线段构造等腰直角三角形，依次推导边角等量关系，沿用前两问全等证明思 路，完整推导线角相等，证得线段相等仍然成立 (4)先构造辅助线证明三角形全等，再利用外角平分线和等腰直角三角形性质求出垂线段长度，结合全等 得到对应边长，最后用勾股定理分步求出线段长 【小问1详解】 解：取AB的中点M,连接EM· 第21页/共26页 学科网组卷网 M B E 图1 ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠B=90°， :M为AB中点，E为BC中点， :AM MB,BE=EC, ∴.AM=MB=BE=EC, MB=BE,，∠B=90°， .∠BME=45°， .∠AME=180°-45°， .CF平分正方形的外角， .∠DCF=45°， .∠ECF=90°+45°=135°， ∴.∠AME=∠ECF, .∠AEF=90°， ∴.∠AEB+∠FEC=90°， ∠B=90°， ∴.∠AEB+∠BAE=90°， ∴.∠BAE=∠FEC, .∴△AME≌AECF(ASA), :AE EF 【小问2详解】 解：结论AE=EF还成立，理由如下： 在AB上截取AM=EC,连接ME. 第22页/共26页 可学科网可组卷网 M B E 图2 ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠B=90°， AM=EC, ∴.AB-AM=BC-EC, .BM BE :BM=BE,∠B=90°， .∠BME=45°， .∠AME=180°-45°， .CF平分正方形的外角， .∠DCF=45°， .∠ECF=90°+45°， ∴.∠AME=∠ECF, .∠AEF=90°， ∴.∠AEB+∠FEC=90°， ∠B=90°， ∴.∠AEB+∠BAE=90°， ∴.∠BAE=∠FEC, .∴△AME≌AECF(ASA), :AE EF 【小问3详解】 解：在BA延长线上截取AG=CE,连接EG,点Q在BE延长线上， 第23页/共26页 学科网组卷网 Q ,四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC,∠ABC=90°， AG=CE, ∴.AB+AG=BC+CE, ∴.BG=BE, .∠ABC=90°， ∴∠G=45°， .CF平分正方形外角， .∠ECF=45°， ∴.∠AGE=∠ECF, .∠AEF=90°， .∠AEB+∠FEQ=90°， .∠ABC=90°， ∴.∠AEB+∠BAE=90°， .∠BAE=∠FEQ, ,∠BAE+∠EAQ=180°，∠FEQ+∠FEC=180°， ∴.∠EAQ=∠FEC ∴.△AGE≌AECF(ASA), :AE EF 【小问4详解】 解：在AB延长线上截取BG=BE,连接EG;过点F作FH⊥BC,交BC的延长线于点H. 第24页/共26页 可学科网可组卷网 D M B H F 图3 .四边形ABCD是正方形 .AB=BC=3,∠ABC=∠BCD=90°， BG=BE, .AB+BG=BC+BE,∠G=∠BEG=45°， ∴.AG=CE, ,CF平分正方形外角， ∴.∠FCE=45°=∠G, .FH⊥BC, ∴.∠FHC=90°， ∴△FCH为等腰直角三角形， CF=√2， .FH=CH=1, ∠AEF=90°， .∠AEB+∠FEC=90°， :∠ABC=90°=∠ABE, ∴.∠AEB+∠BAE=90°， ∠BAE=∠HEF, ∴.△AEG≌AEFC(ASA), .AE EF, .∠ABE=∠EHF=9O°，AE=EF,∠BAE=∠HEF, :AABE≌aEHF(AAS), .EH AB, .EH=3, ,FH⊥BC, 第25页/共26页 学科网可组卷网 ..EF=VEH2+FH2=32+12, .EF=V10. 第26页/共26页