精品解析：山东临沂市兰山区2025～2026学年度下学期期中阶段质量检测试题 八年级数学

2025~2026学年度下学期期中阶段质量检测试题 八年级数学 2026.4 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题注意事项见答题纸，答在本试卷上不得分． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．，被开方数含能开得尽方的因数，不符合要求； B．，被开方数是小数即含分母，不符合要求； C．，被开方数含分母，不符合要求； D．的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，符合要求． 2. 由下列三条线段组成的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 9，40，41 C. 2，3，4 D. 1，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理，验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可得到答案． 【详解】解：A．，能构成直角三角形，故A不符合题意； B．，能构成直角三角形，故B不符合题意； C．，不能构成直角三角形，故C符合题意； D．，能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 3. 在四边形中，已知，与交于点，则添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知，结合各选项条件，利用平行线性质、全等三角形判定与性质、平行四边形判定定理，判断能否推出四边形是平行四边形即可． 【详解】解：∵， ∴ A、若，四边形可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形，符合题意， C、由本身即可推出，无法额外判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、无法推出或，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：B． 4. 直角三角形的两直角边长a，b满足，则其斜边长为（ ） A. 5 B. C. 4或5 D. 或5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据非负性求出，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴斜边． 5. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质和内角和公式，根据正多边形内角和公式求出正十二边形的内角和再除以12正十二边形一个内角的大小即可． 【详解】解：该正十二边形一个内角的大小为：， 故选：A 6. 已知，则近似值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题先利用二次根式的性质化简所求式子，再代入已知的近似值计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ===， ∴． 7. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 25 B. 15 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理得出，结合已知条件求出的值，再根据三角形面积公式及正方形性质求解阴影部分面积． 【详解】解：由勾股定理得， 正方形面积，，， ， ， ， ， ． 如图，设正方形的左上角顶点为，则，且，点到直线的距离等于， ． 8. 如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相平分可得  为  中点，结合  利用直角三角形斜边中线定理可得 ，从而求出  的度数，最后利用菱形对角线互相垂直及平分对角的性质求出 ． 【详解】解： 四边形  是菱形  平分 ∵在中，为中点 ∵在中， 9. 某巡逻舰在太平洋海域的点执行任务时，发现南偏东方向，距离海里的点，有一艘敌舰正以海里/小时的速度沿南偏西方向行驶．巡逻舰立即沿直线方向进行驱离，半小时后在点成功拦截敌舰并完成驱离任务．则巡逻舰的航行速度为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向角的度数及平行线的性质得出，根据敌舰的速度得出海里，利用勾股定理求出海里，进而可求出巡逻舰的航行速度． 【详解】解：如图所示，由题意得，，，，海里， ∴， ∴， ∵敌舰以海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，半小时后在点成功拦截敌舰并完成驱离任务， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴巡逻舰的航行速度为（海里/小时）． 10. 如图，矩形中，，对角线相交于O，过C点作交于E点，H为中点，连接交于G点，交的延长线于F点，下列4个结论：①；②；③；④．正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形的斜边中线可判断①结论；根据等边对等角和等角的余角相等可判断②结论；利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定可判断③结论；根据等边对等角的性质，得出，结合三角形外角的性质，得出，再结合等角对等边，可判断④结论． 【详解】解：在中，H为中点， ， ， ，①结论正确； ， ， ，， ，②结论正确； 如图，连接， ，， ， 同理可得，， ，即， ， 不能得出，③结论错误； ， ， 矩形， ，，， ，， 由②可知，， ， ， ， ， ， ， ，④结论正确． 第II卷（非选择题90分） 注意事项： 1．第II卷分填空题和解答题． 2．第II卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，的直角边，且在数轴上，以A为圆心，以为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为 _________________ ． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 则点表示的数为． 12. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得， 解得． 13. 若，则化简的结果是_______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 14. 跨学科一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，轴对称的知识．根据题意，作点关于的对称点交轴于点，则，，过点作轴，根据点，可得，，根据勾股定理，求出，即可． 【详解】解：作点关于的对称点交轴于点， ∴，， 过点作轴， ∵点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴光线从点到点经过的路线长是． 故答案为：． 15. 如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理 ，四边形的综合；根据题意得到四边形为菱形，结合勾股定理得到，再计算周长即可． 【详解】解：由题知：四边形为菱形； ， ， 所以形的周长为米， 故答案为：． 16. 如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可知，，作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上，可证得四边形是平行四边形，则，可知，当点在上时取等号，即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴，， 作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上， ∵分别是的中点， ∴，， 由轴对称可知，， 则， ∴四边形是平行四边形，则， ∴，当点在上时取等号， 故的最小值为． 三、解答题（本题共7小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 求下列代数式的值． （1）已知：，求的值； （2）已知：，，若，的小数部分分别为，，请求出的平方根． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）通过对变形得，然后两边平方整理可得答案； （2）先估算无理数的大小得到的小数部分，再计算的值，最后求的平方根，用到无理数估算和平方根的概念． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴， ∴，即， ∴ ； 【小问2详解】 解： 的整数部分为，小数部分 的整数部分为，小数部分 ∴ 的平方根为 的平方根为 19. 如图，是的中点，，交于点，，且． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，连接．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，即，然后结合得到四边形是平行四边形； （2）根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【小问1详解】 证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 20. 为迎接2026年“网络中国节”，某景区举办特色文创展览，计划制作一批纪念徽章．徽章图案设计包含图1所示的直角三角形和图2所示的四边形区域． （1）如图1，，，直角边分别为，，斜边为，请根据图1证明勾股定理； （2）如图2所示，四边形是铜制徽章的主体轮廓．经测量：，，，，．请你计算这个四边形的面积，以便景区核算成本用量． 【答案】（1）见解析 （2）四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）连接，根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，根据计算即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ，即， ，， ∵， ，即； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，，， ∴， ，， ， ， ， 答：四边形的面积为． 21. 如图，在平行四边形中，以为圆心，的长为半径画弧，与交于点；再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）已知平行四边形的面积为36，，，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由作图过程可得：，平分，即，根据平行四边形的性质得到，得到，进而得到，根据等角对等边得到，进而得到，证明四边形是平行四边形，进而根据证明四边形为菱形即可； （2）设，可知，分别根据菱形的性质和平行四边形的性质得到，，根据平行四边形与菱形同高可知，进而得到，根据菱形面积公式求出，根据菱形的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：由作图过程可得：，平分，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：设，由可知， ∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形与菱形同高， ∴， ∵平行四边形的面积为36， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 22. 【综合实践：防掉折叠书签的设计与探究】 八年级（2）班数学兴趣小组发现：普通矩形书签夹在书中易滑落，因此设计了一款带折叠卡扣的防掉书签：利用矩形折叠形成的三角结构作为卡扣，让书签能牢牢卡在书页间．已知该书签的原型为矩形纸片，其中短边，长边． 兴趣小组进行了如下设计： 1．在边上取一点，在边上取一点（，均不与矩形顶点重合）； 2．将纸片沿折叠，使点的对应点为，且与边交于点，形成． 探究任务： （1）基础验证：若在折叠过程中，测得，请直接写出 ； （2）模型探究：请结合折纸的操作过程，探究的形状，并说明理由； （3）拓展应用：为了使卡扣结构更稳固，需要的面积尽可能大．请利用备用图探究并求出面积的最大值． 【答案】（1） （2）是等腰三角形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形对边平行的性质，结合折叠前后角相等的性质，利用平行线的内错角相等，求出的度数． （2）由矩形对边平行得内错角相等，结合折叠的性质，推出，进而根据等角对等边判断的形状． （3）根据三角形面积公式，当高固定时，底边长最大则面积最大，因此需找到的最大值，当点与点重合时，最大，再结合勾股定理和矩形边长关系求解． 【小问1详解】 解：， ． ， ． 【小问2详解】 解：是等腰三角形，理由如下： ， ． ， ． ． 是等腰三角形． 【小问3详解】 解：，． ， ， 要的面积尽可能大，则即可能大， 当点与点重合时，最大，此时． 设，则． ， ． 解得． ． ． 故面积的最大值为． 23. 学完《正方形》后，老师布置了一道作业如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． （1）【思路梳理】取的中点，连接，根据 （判定），易证 ，从而证得； （2）【类比引申】爱思考的小华做完这道题后，想到老师在课堂上经常通过变条件、变结论、条件结论互换或变换图形等多种方式对例题进行变式，以锻炼同学们的思维能力．于是他把原题中的点为边的中点改为点为边上任意一点（，两点除外），其他条件不变（如图2），那么结论是否还成立？请说明理由； （3）【拓展应用】若将（2）中的点改为边延长线一点，其他条件不变，请猜想是否仍然成立？ （填是或否） （4）【拓展应用】如图3，当点为反向延长线上一点，交正方形外角的平分线所在直线于点．若，时，求的长． 【答案】（1）， （2）结论还成立，理由见解析 （3）是 （4） 【解析】 【分析】（1）取正方形边中点构造辅助点，利用正方形边长相等、内角为直角的性质，推出线段相等，再求出对应角度，借助同角的余角相等，利用角边角证明三角形全等，从而证得线段相等． （2）在边上截取与相等的线段，构造等腰直角三角形求出钝角角度，结合外角平分线得到等角，再利用余角关系推导角相等，证三角形全等得出结论成立． （3）在延长线上截取等长线段构造等腰直角三角形，依次推导边角等量关系，沿用前两问全等证明思路，完整推导线角相等，证得线段相等仍然成立． （4）先构造辅助线证明三角形全等，再利用外角平分线和等腰直角三角形性质求出垂线段长度，结合全等得到对应边长，最后用勾股定理分步求出线段长． 【小问1详解】 解：取的中点，连接． 四边形是正方形， ，， 为中点，为中点， ，， ， ，， ， ， 平分正方形的外角， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ． 【小问2详解】 解：结论还成立，理由如下： 在上截取，连接． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， 平分正方形的外角， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， 【小问3详解】 解：在延长线上截取，连接，点在延长线上， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 平分正方形外角， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴ （）， ． 【小问4详解】 解：在延长线上截取，连接；过点作，交的延长线于点． 四边形是正方形， ，， ， ，, ， 平分正方形外角， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ∴（）, ∴， ，，， （）， ， ， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度下学期期中阶段质量检测试题 八年级数学 2026.4 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题注意事项见答题纸，答在本试卷上不得分． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 由下列三条线段组成的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 9，40，41 C. 2，3，4 D. 1，， 3. 在四边形中，已知，与交于点，则添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 直角三角形的两直角边长a，b满足，则其斜边长为（ ） A. 5 B. C. 4或5 D. 或5 5. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则近似值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 25 B. 15 C. D. 8. 如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 某巡逻舰在太平洋海域的点执行任务时，发现南偏东方向，距离海里的点，有一艘敌舰正以海里/小时的速度沿南偏西方向行驶．巡逻舰立即沿直线方向进行驱离，半小时后在点成功拦截敌舰并完成驱离任务．则巡逻舰的航行速度为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 10. 如图，矩形中，，对角线相交于O，过C点作交于E点，H为中点，连接交于G点，交的延长线于F点，下列4个结论：①；②；③；④．正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题90分） 注意事项： 1．第II卷分填空题和解答题． 2．第II卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，的直角边，且在数轴上，以A为圆心，以为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为 _________________ ． 12. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 13. 若，则化简的结果是_______． 14. 跨学科一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是_______． 15. 如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为________米． 16. 如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 三、解答题（本题共7小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 求下列代数式的值． （1）已知：，求的值； （2）已知：，，若，的小数部分分别为，，请求出的平方根． 19. 如图，是的中点，，交于点，，且． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，连接．求的长． 20. 为迎接2026年“网络中国节”，某景区举办特色文创展览，计划制作一批纪念徽章．徽章图案设计包含图1所示的直角三角形和图2所示的四边形区域． （1）如图1，，，直角边分别为，，斜边为，请根据图1证明勾股定理； （2）如图2所示，四边形是铜制徽章的主体轮廓．经测量：，，，，．请你计算这个四边形的面积，以便景区核算成本用量． 21. 如图，在平行四边形中，以为圆心，的长为半径画弧，与交于点；再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）已知平行四边形的面积为36，，，求． 22. 【综合实践：防掉折叠书签的设计与探究】 八年级（2）班数学兴趣小组发现：普通矩形书签夹在书中易滑落，因此设计了一款带折叠卡扣的防掉书签：利用矩形折叠形成的三角结构作为卡扣，让书签能牢牢卡在书页间．已知该书签的原型为矩形纸片，其中短边，长边． 兴趣小组进行了如下设计： 1．在边上取一点，在边上取一点（，均不与矩形顶点重合）； 2．将纸片沿折叠，使点的对应点为，且与边交于点，形成． 探究任务： （1）基础验证：若在折叠过程中，测得，请直接写出 ； （2）模型探究：请结合折纸的操作过程，探究的形状，并说明理由； （3）拓展应用：为了使卡扣结构更稳固，需要的面积尽可能大．请利用备用图探究并求出面积的最大值． 23. 学完《正方形》后，老师布置了一道作业如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． （1）【思路梳理】取的中点，连接，根据 （判定），易证 ，从而证得； （2）【类比引申】爱思考的小华做完这道题后，想到老师在课堂上经常通过变条件、变结论、条件结论互换或变换图形等多种方式对例题进行变式，以锻炼同学们的思维能力．于是他把原题中的点为边的中点改为点为边上任意一点（，两点除外），其他条件不变（如图2），那么结论是否还成立？请说明理由； （3）【拓展应用】若将（2）中的点改为边延长线一点，其他条件不变，请猜想是否仍然成立？ （填是或否） （4）【拓展应用】如图3，当点为反向延长线上一点，交正方形外角的平分线所在直线于点．若，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $