精品解析：山东省临沂市兰山区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024~2025学年度下学期期中阶段质量检测试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题注意事项见答题纸，答在本试卷上不得分． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 下列式子是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，逐一判断即可，一般形如的代数式叫做二次根式．当时，表示的算术平方根；当小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）． 【详解】解：A、无意义，故本选项不符合题意； B、的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意； C、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意； D、，根式无意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加、减、乘、除运算法则，二次根式的性质逐一排除即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、与不同类二次根式，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 3. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、因为，所以不能构成直角三角形； B、因为，所以不能构成直角三角形； C、因为，所以能构成直角三角形； D、因为，所以不能构成直角三角形． 故选：C． 4. 平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等，是解题的关键．利用平行四边形的对角相等性质直接求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴． 故选：B． 5. 如果，那么（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，由题意得，则有，然后解不等式即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴，解得， 故选：． 6. 如图，数轴上点对应的数是0，点对应的数是1，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，解题的关键是求出． 先由勾股定理求出，再由画弧可得，即可求解点表示的数． 【详解】解：由题意得，， ∵，， ∴， 故选：A． 7. 下列条件中，能判定四边形为菱形的是（　　） A. 对角线互相垂直 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相垂直且平分 D. 对角线互相垂直且平分一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定定理，根据菱形的判定方法即可解答． 【详解】A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项无法判定四边形是菱形； B、对角线平分一组对角，无法判定四边形是菱形； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项能够判定四边形是菱形； D、对角线垂直且平分一组对角，但未明确对角线是否互相平分，无法判定四边形是菱形． 故选：C 8. 如图，在四边形中，，，，，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：，，， 的面积， 故选：D． 9. 如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于点．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的长为（　　） A. 8 B. 6 C. 3 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，尺规作图---角平分线等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．记与交于点O，连接，先证明是菱形，然后由勾股定理求出，再由菱形的性质即可求解． 【详解】解：如下图，与交于点O，连接， 由作图可知，平分，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，，分别为，的中点，连接，交于点，将沿对折，得到，延长交延长线于点．下列结论：；②；③；④．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ②④ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，二次根式的运算，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．①首先证明，再利用角的关系求得，即可得到；②△沿对折，得到△，利用角的关系求出；③由②知，，则，，在中，，得，化简即可；④设，求出，利用，求出，利用勾股定理求出，分别求出，，可得，则，即可解决． 【详解】解：①四边形是正方形， ，， ，分别是正方形边，的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ，故①正确； ②根据题意得，，，， 正方形，， ， ， ，故②正确； ③由②知，， 则，， 在中，， ∴， 即 ， ， 故③正确； ④∵，，分别是正方形边，的中点， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 得：， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故④错误． 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：D． 第II卷（非选择题90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 12. 已知直角三角形两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 13. 已知，且，化简二次根式的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简．根据题意确定的取值范围是解题的关键． 由题意知，，则，由，可得，然后利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积是______． 【答案】24 【解析】 【分析】题目主要考查菱形的性质及勾股定理解三角形，理解题意是解题关键． 根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：如图，在菱形中，． ∴，， ∴ ． ∴面积 故答案为：24． 15. 观察下列各式：．猜测___________． 【答案】10301 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律的归纳与应用，熟练掌握观察式子特征、归纳一般规律是解题的关键．观察所给式子的规律，找出等式左边根号内式子与右边表达式的对应关系，从而推测出所求式子的结果． 【详解】解：观察已知的三个等式： 对于，这里等式左边根号内是，右边是； 对于，等式左边根号内是，右边是； 对于，等式左边根号内是，右边是． 由此可归纳规律：对于，其结果为． 当时，． ∴． 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解： ． 17. 已知，． 求 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则即可求出； （2）先根据二次根式的乘法法则即可求出，根据完全平方公式变成，再代入求出答案即可． 【小问1详解】 ∵， ∴ ； 【小问2详解】 ， ， ． 18. 某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，甲船以每小时15海里的速度沿北偏东方向航行，乙船以每小时20海里的速度沿南偏东方向航行．问：离开港口2小时后，两船相距多少海里？ 【答案】海里 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．离开港口2小时后，甲、乙两船的位置分别记为A，B，由题意得，，（海里），（海里），利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，离开港口2小时后，甲、乙两船的位置分别记为A，B， 由题意得，，（海里），（海里）， （海里） 答：离开港口2小时后，两船相距50海里． 19. 某城市规划局计划在一块平行四边形空地上建设智慧停车场．已知该平行四边形相邻两边长分别为米和米，且其中一条对角线与较短边的夹角为． （1）求该平行四边形的面积； （2）若在停车场内修建两条相互垂直，且宽为的充电桩通道，其中一条通道垂直于平行四边形的长边，求修建的充电桩通道的总面积． 【答案】（1）平方米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）设平行四边形为为长边，为短边，对角线与夹角为，作于点，易证米，勾股定理求出米，进而求出米，根据即可解答； （2）过点作的高，交于点，根据平方米，求出米，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：设平行四边形为为长边，为短边，对角线与夹角为，作于点， 米，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 米， 又米， 根据勾股定理，， 可得，米， ∴米， ∴平方米； 【小问2详解】 解：过点作的高，交于点， 平方米，为边上的高， ∴平方米， 解得：米 ∴ 平方米． 20. 如图，在中，点D、E分别为、的中点，点F在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，进而证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：∵点D、E分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 21. 如图，现有一张长、宽的矩形纸片，将纸片按下面的步骤进行折叠． ①沿对角线对折后，再展开； ②将矩形对折，使得顶点，重合，然后展开．折痕与对角线相交于点，与边交于点，与边交于点； ③分别折出折痕． （1）补全图形：请直接用直尺图中将折痕画出来； （2）求证：四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）由步骤2折叠可知，，证明出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 补全图形如图： 【小问2详解】 由步骤2折叠可知，， 四边形为矩形， ． ． ． ． 四边形为菱形． 【点睛】此题考查了矩形的性质和折叠的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 如图，在中，，点是的中点，，，垂足分别为，连接交于点． （1）求证：当时，四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，则是等腰直角三角形，，然后通过矩形的判定即可求证； （）由等腰三角形的性质可得平分，，，，由勾股定理得，通过等面积法得，则有，同理，然后通过等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形，， 又∵，， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵为中点，， ∴平分，，，， ∴， 又∵， ∴， 解得， 又∵， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 解得， ∴． 23. 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在正方形中，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）当点在线段上时，如图1，求证：； （2）探究问题：当点在线段的延长线上时，如图2，请直接写出之间的数量关系___________； （3）当点在线段的延长线上时，请探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或．证明见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转得，结合正方形性质，证，得，再通过线段和代换 ． （2）同理，旋转得，正方形性质证，，进而 ． （3）分点在上和延长线上两种情况．均先由旋转和正方形性质证得，再根据点位置，用线段差代换，得出或 ． 【小问1详解】 解：点在直线上，将绕点顺时针旋转得到线段， ． 四边形为正方形， ． ． ． ． ． 【小问2详解】 解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴（同角的余角相等）． 在和中， ∴． ∴． ∵，， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 解：当点在延长线上时，或． ①当点在上时 绕点旋转得线段， ． 四边形为正方形， ． ． ． ． ．即． ②当点在延长线上时， 由①可得，． ． ． 即． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定（ ）和性质（对应边相等 ），结合正方形边与角的特性分析线段关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度下学期期中阶段质量检测试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题注意事项见答题纸，答在本试卷上不得分． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 下列式子是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确是（　　） A. B. C. D. 3. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 4. 平行四边形中，，则度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如果，那么（　　） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上点对应的数是0，点对应的数是1，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A. B. C. D. 7. 下列条件中，能判定四边形为菱形的是（　　） A. 对角线互相垂直 B. 对角线平分一组对角 C 对角线互相垂直且平分 D. 对角线互相垂直且平分一组对角 8. 如图，在四边形中，，，，，则的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于点．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则长为（　　） A. 8 B. 6 C. 3 D. 10 10. 如图，在正方形中，，分别为，的中点，连接，交于点，将沿对折，得到，延长交延长线于点．下列结论：；②；③；④．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ②④ C. ①③ D. ①②③ 第II卷（非选择题90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 13. 已知，且，化简二次根式的结果是___________． 14. 已知菱形周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积是______． 15. 观察下列各式：．猜测___________． 三、解答题（本题共8小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，． 求 （1）； （2）． 18. 某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，甲船以每小时15海里的速度沿北偏东方向航行，乙船以每小时20海里的速度沿南偏东方向航行．问：离开港口2小时后，两船相距多少海里？ 19. 某城市规划局计划在一块平行四边形空地上建设智慧停车场．已知该平行四边形相邻两边长分别为米和米，且其中一条对角线与较短边的夹角为． （1）求该平行四边形的面积； （2）若在停车场内修建两条相互垂直，且宽为的充电桩通道，其中一条通道垂直于平行四边形的长边，求修建的充电桩通道的总面积． 20. 如图，在中，点D、E分别为、的中点，点F在的延长线上，．求证：． 21. 如图，现有一张长、宽的矩形纸片，将纸片按下面的步骤进行折叠． ①沿对角线对折后，再展开； ②将矩形对折，使得顶点，重合，然后展开．折痕与对角线相交于点，与边交于点，与边交于点； ③分别折出折痕． （1）补全图形：请直接用直尺在图中将折痕画出来； （2）求证：四边形为菱形． 22. 如图，在中，，点是的中点，，，垂足分别为，连接交于点． （1）求证：当时，四边形是矩形； （2）若，，求的长． 23. 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在正方形中，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）当点在线段上时，如图1，求证：； （2）探究问题：当点在线段的延长线上时，如图2，请直接写出之间的数量关系___________； （3）当点在线段的延长线上时，请探究线段之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $