精品解析：北京市师范大学附属实验中学2025-2026学年八年级上学期数学1月月考试卷

2026年1月7日初二数学练习 一、单选题（本题共8小题，每题2分，共16分） 1. 我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（　　） A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术 2. 2025年4月19日，全球首场人形机器人半程马拉松赛在北京举行．人形机器人的发展是科学技术进步的结果，比如说人形机器人的碳纤维骨架的表面粗糙度不超过0.8微米，将0.0000008用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小英在池塘一侧选取了点O，测得，，那么池塘两岸A，B间距离可能是（ ） A. B. C. D. 5. 点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列等式成立的是( ) A. B. C D. 7. 如图所示，是角平分线，且，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共8小题，每题2分，共16分） 9. 计算：______；______． 10. 若分式有意义，则x的取值范围是________． 11. 计算：______． 12. 如图，在和中，点、、在同一条直线上，，．若添加一个条件后可用“”证明，则添加的条件可以是_________． 13. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为_____． 14. 如图，平分，于D，连接．若的面积为8，则的面积为______． 15. 如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为______． 16. 如图，是等边三角形，是的中线，点D关于直线的对称点为E．连接，交于点F，交于点G，连接，． 有下面四个结论： ①点A在线段的垂直平分线上； ②是等边三角形； ③； ④点P是线段上的一个动点，的最小值等于． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本题共8小题，共58分，其中第17题、19-21题、24题8分，第18题10分，第22，23题9分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中x满足． 19. 解分式方程：． 20. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. （1）我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为，“宽臂”的宽度，勾尺的一边MN满足、、三点共线（所以）． 下面以三等分为例说明利用勾尺三等分锐角的过程： 第一步：画直线DE使，且这两条平行线的距离等于PQ； 第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点落在DE上，使勾尺的MN边经过点，同时让点落在的BA边上； 第三步：标记此时点和点所在位置，作射线BQ和射线BP． 请完成第三步操作，图中的三等分线是射线______、______． （2）在（1）的条件下补全三等分的主要证明过程： ______，， （线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）， ____________． ，，， ．（______）（填写依据） ． （3）在（1）的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由：如果不成立，请在图中的外部画出（尺规作图，并保留作图痕迹）． 22. 我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形，在代数中如，，，…，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母a、b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用和表示，例如：．请根据上述材料解决下列问题： （1）式子①，②，③中，属于对称式的是______（填序号）． （2）已知． ①______，______（用含a，b代数式表示）； ②若，求对称式值； ③若，，求对称式的最小值． 23. 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段与角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． 【活动初探】（1）如图1，在中，，点D为中点，于点E，于点F，请直接写出与的数量关系：______． 【变式再探】（2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G，连接并延长，交于点D，求证：点D为中点． 【类比深探】（3）如图3，在中，，点D为中点，，点F为直线上一动点，点E为延长线上一动点，且满足，连接．补全图形，猜想并证明、、的数量关系． 24. 在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形关于直线的对称图形为，图形上任一点到轴，轴的距离的最大值是，称是图形关于直线的倍镜像“接收距离”．已知点，． （1）①线段关于直线的倍镜像“接收距离”是 ； ②线段关于直线的倍镜像“接收距离”是，的取值范围是 ； （2）点，关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值是 ． （3）点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线的倍镜像“接收距离”，直接写出的取值范围． 四、选做题（本题共10分，其中第25题4分，第26题6分） 25. 已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； （1）求；（用含的式子表示） （2）_____；（用含的式子表示） （3）计算． 26. 在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且，则称点为线段美好点． （1）若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是_____． （2）若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为_____． （3）如图2，点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点，点的坐标是，以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为的正方形上存在线段的美好点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月7日初二数学练习 一、单选题（本题共8小题，每题2分，共16分） 1. 我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（　　） A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、图形是轴对称图形，故此选项符合题意； D、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 2025年4月19日，全球首场人形机器人半程马拉松赛在北京举行．人形机器人的发展是科学技术进步的结果，比如说人形机器人的碳纤维骨架的表面粗糙度不超过0.8微米，将0.0000008用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．将0.0000008用科学记数法表示，需确定其有效数字和指数，科学记数法的形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：C． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，合并同类项，进行解答即可. 【详解】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、不能合并，故此选项错误； D、，故此选项正确； 故选D． 【点睛】此题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，掌握运算法则是解题关键. 4. 如图，小英在池塘一侧选取了点O，测得，，那么池塘两岸A，B间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边，根据三角形的三边关系列出不等式，通过解不等式判断即可． 【详解】解：在中，，， 则，即， ∴A、B间的距离可能是，不可能是、、， 故选：A． 5. 点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标为， 故选：C． 6. 下列等式成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质进行判断. 【详解】解：A、分子、分母同时除以-1，则原式=，故本选项错误； B、分子、分母同时乘以-1，则原式=，故本选项错误； C、分子、分母同时除以a，则原式= ，故本选项错误； D、分子、分母同时乘以b，则原式=，故本选项正确. 故选D. 【点睛】本题考查了分式的基本性质.特别要注意：分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变. 7. 如图所示，是的角平分线，且，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作出辅助线表示出三角形的面积是解题的关键．先过点作于，于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式即可求出两三角形的面积的比值． 【详解】解：如图，过点作于，于， ∵是的角平分线， ∴． ∵，， 又∵， ∴． 故选：A． 8. 如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为腰时，当为底时，分别画出图形，即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 当为底时，为等腰三角形， 满足条件的点共有个， 故选：D． 二、填空题（本题共8小题，每题2分，共16分） 9. 计算：______；______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂； 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算． 【详解】解：∵， ∴ ； 根据负整数指数幂的运算法则，得， 故答案为：1，． 10. 若分式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分式的分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：． 故答案为． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，先计算幂的乘方，再根据单项式除以单项式法则进行运算即可． 【详解】原式 ， 故答案为：． 12. 如图，在和中，点、、在同一条直线上，，．若添加一个条件后可用“”证明，则添加的条件可以是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，添加的条件为 ， ， ， 故答案为：． 13. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据题意，慢马的速度为里/天，则快马的速度为里/天．慢马所需时间比规定时间多一天，快马所需时间比规定时间少3天，通过规定时间相等列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天， 由题意，得； 故答案为：． 14. 如图，平分，于D，连接．若的面积为8，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长交于点，证明，得到，进而得到． 【详解】解：延长交于点， ∵平分，于D， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为______． 【答案】 ①. ②.   【解析】 【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键． （1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解； （2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解． 【详解】解：（1）由题知即为大矩形面积， 由图知还可用求面积， ∴=． 故答案是：； （2）∵图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为， 故答案为： ． 16. 如图，是等边三角形，是的中线，点D关于直线的对称点为E．连接，交于点F，交于点G，连接，． 有下面四个结论： ①点A在线段的垂直平分线上； ②是等边三角形； ③； ④点P是线段上的一个动点，的最小值等于． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形和垂直平分线的性质．熟练掌握等边三角形和垂直平分线的性质，全等三角形的判断和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键． 由对称的性质可得①正确；根据垂直平分线的性质证得，再根据等边三角形性质得，得是等边三角形；故②正确；由②得，，进而得出与不全等；故③不正确；关于直线的对称点为，利用对称性得出的最小值等于，故④正确；进而得出结果． 【详解】解：①点D关于直线的对称点为E， ， 点A在线段的垂直平分线上； 故①正确； ②设与交于点， 点D关于直线的对称点为E， ， 点A在线段的垂直平分线上； ， 又， ， 是等边三角形，是的中线， ， ， 又， 是等边三角形； 故②正确； ③由②得， ， ， 与不全等； 故③不正确； ④作如图点，设关于直线的对称点为， 与关于直线对称， ，， 是等边三角形，是的中线， 与关于直线对称， ， ， ， 当点，，三点共线时，为最小值， 即， 故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共8小题，共58分，其中第17题、19-21题、24题8分，第18题10分，第22，23题9分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】（1）；（2）， 5 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法运算，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，根据，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； ∵， ∴， ∴原式． 19. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 20. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，得到，选择适当的判定定理证明即可； （2）根据三角形全等的性质，结合线段的和差计算即可． 本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明： ． 和中， 由, ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 21. （1）我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为，“宽臂”的宽度，勾尺的一边MN满足、、三点共线（所以）． 下面以三等分为例说明利用勾尺三等分锐角的过程： 第一步：画直线DE使，且这两条平行线的距离等于PQ； 第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点落在DE上，使勾尺的MN边经过点，同时让点落在的BA边上； 第三步：标记此时点和点所在位置，作射线BQ和射线BP． 请完成第三步操作，图中的三等分线是射线______、______． （2）在（1）的条件下补全三等分的主要证明过程： ______，， （线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）， ____________． ，，， ．（______）（填写依据） ． （3）在（1）的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由：如果不成立，请在图中的外部画出（尺规作图，并保留作图痕迹）． 【答案】（1） ， 射线；（2），，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；（3）不成立，见解析 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质、轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称构造角相等． （1）作射线和射线，射线和射线就是的三等分线； （2） 由线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一性质、角平分线的判定定理，即可得出结论； （3）等式不成立，作点关于射线的对称点，连接即可． 【详解】解：（1）如图，作射线和射线，射线和射线就是的三等分线， 故答案为：、射线； （2）， （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， （等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）， ， （角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）， ． 故答案为：，，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； （3）在（1）的条件下探究：不成立， 如图，作点关于射线的对称点，连接 垂直平分， ， ． 22. 我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形，在代数中如，，，…，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母a、b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用和表示，例如：．请根据上述材料解决下列问题： （1）式子①，②，③中，属于对称式的是______（填序号）． （2）已知． ①______，______（用含a，b的代数式表示）； ②若，求对称式值； ③若，，求对称式的最小值． 【答案】（1）③ （2）①，；②；③4 【解析】 【分析】本题考查代数式，完全平方公式，对称式，分式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用公式解决问题． （1）根据对称式的定义判断即可； （2）①利用多项式的乘法公式展开，可得结论；②利用完全平方公式求解即可；③利用非负数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵ 不一定成立，不一定成立，成立，③属于对称式． 故答案为：③． 【小问2详解】 解：① 故答案：，； ②∵， ∴， ∴，解得． ． ． ③ ， ∵ ∴ 原式 ， ， ， ∴当时，原式取的最小值，最小值为4， 的最小值为4． 23. 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段与角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． 【活动初探】（1）如图1，在中，，点D为中点，于点E，于点F，请直接写出与的数量关系：______． 【变式再探】（2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G，连接并延长，交于点D，求证：点D为中点． 【类比深探】（3）如图3，在中，，点D为中点，，点F为直线上一动点，点E为延长线上一动点，且满足，连接．补全图形，猜想并证明、、的数量关系． 【答案】 （1）（2）见详解；（3），证明见详解 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半，掌握并熟练应用等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半等知识是解题的关键． （1）根据 “三线合一”，得平分，再根据角平分线的性质可得； （2）根据和等边三角形可得和，根据角之间的关系得到，进而得到，根据垂直平分线的判定可证垂直平分，则可证点D为中点； （3）过点F作交于点P，连接，根据等腰三角形和垂直平分线的性质，易证，则点P为中点，进而得到，再根据“直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半”，可得，，最后利用线段之间的和差关系和等量代换，可得． 【详解】（1）解：在中，，点D为中点， 平分， ，， ； 故答案为：； （2）证明：， ， 和分别为等边三角形， ， ， ， ， 点G在的垂直平分线上， 又 点A在的垂直平分线上， 垂直平分， 点D为中点； （3）猜想：，理由如下： 如图3，过点F作交于点P，连接， 在中，，点D为中点， ，，即垂直平分， ， ， ， 又， 点P中点，即， 在中，， ， 又，，， 在中，， ， 则， ， ， ， ． 24. 在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形关于直线的对称图形为，图形上任一点到轴，轴的距离的最大值是，称是图形关于直线的倍镜像“接收距离”．已知点，． （1）①线段关于直线倍镜像“接收距离”是 ； ②线段关于直线的倍镜像“接收距离”是，的取值范围是 ； （2）点，关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值是 ． （3）点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线的倍镜像“接收距离”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②； （2） （3） 【解析】 【分析】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是数形结合． （1）①求出、关于直线的倍镜像的对应点坐标，进而根据定义判断； ②表示出、关于直线的倍镜像的对应点坐标，根据定义列出不等式组，解不等式组即可求解； （2）可推出、关于直线的倍镜像、的距离之差也是，从而得出关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值； （3）表示出A、B、D、E于直线l的倍镜像的对应点坐标，关于直线l的n倍镜像的线段是，根据当点，，线段关于直线l的倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的倍镜像“接收距离”时，即当的横坐标关于轴对称时，得出，从而求得临界的值，进而得出结果． 【小问1详解】 解：①设线段关于直线l的1倍镜像的线段为， 如图， ，， ∵点距离y轴距离最大为：4， ∴线段关于直线的倍镜像“接收距离”是； 故答案为：4； ②点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的倍镜像“接收距离”是， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， ，，， 、距离轴的距离之差是， 、关于直线的倍镜像、的距离之差也是， ，关于直线l的倍镜像“接收距离”的最小值是 ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图， 点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的倍镜像的线段是，则，， 当点，，线段关于直线l的倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的n倍镜像“接收距离”时， 当的横坐标关于轴对称时，线段关于直线的倍镜像“接收距离”等于线段关于直线的倍镜像“接收距离” 即， ， 当点，，线段关于直线l的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的倍镜像“接收距离”时，． 四、选做题（本题共10分，其中第25题4分，第26题6分） 25. 已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； （1）求；（用含的式子表示） （2）_____；（用含的式子表示） （3）计算． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 ， ． 26. 在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且，则称点为线段的美好点． （1）若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是_____． （2）若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为_____． （3）如图2，点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点，点的坐标是，以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为的正方形上存在线段的美好点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）或 （2）①见解析；②； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了几何新定义，全等三角形性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，理解新定义，分类讨论是解题的关键． （1）根据新定义可得是等腰直角三角形，且是斜边；结合坐标系，写出点的坐标，即可求解； （2）①构造等腰直角三角形，结合坐标系得出美好点的坐标，进而可得美好点在象限平分线上，进而画出图形，即可求解； ②根据①的结论得出点的坐标为即，即可求解； （3）根据题意画出图形，找到的最大值与最小值，根据全等三角形的性质结合坐标系，得出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：点满足最小，且， ∴，即是等腰直角三角形，且是斜边； ∵，，且，如图所示， 线段的美好点的坐标是或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：①如图所示，直线即为所求 理由如下， 如图所示，设，过点作轴，过点作于点， ∵，，则是的美好点； 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 即点在第二象限的平分线上， 如图所示，当在的另一侧时， 同理可得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 即点在第一象限的平分线上， 如图所示，同理可得在第三、四象限的平分线上， 综上所述，线段的所有美好点组成的图形为象限平分线； ②如图所示， 由①可得， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 又∵点的坐标为， ∴ ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示，设，过点分别作垂足分别为，分别在轴上， ∵点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点， ∵，则，是等腰直角三角形， ∴ 即，且， 设P为线段的美好点，， 过P作直线轴，过F作于t，过G作于S，如图， ∵ ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， 或， 解得， 或， 当P在上时，，即， ∴ ∴， ∵， ∴，符合题意； 当P在上时，，即或， ∴或， ∴（与P在左侧矛盾，舍去）或， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当P在上时，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当P在上时，，不符合题意； 综上所述，t的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $