精品解析：天津市耀华中学2025-2026学年八年级下学期期中考数学试卷

八年级数学学科 一、选择题（共12小题） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象中，可以表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计实数的值，它的所在范围是（ ） A. 在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D. 在8和9之间 5. 如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 若正多边形的一个外角为，则该正多边形为（ ） A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形 7. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A. 56 B. 60 C. 65 D. 75 8. 如图，菱形的对角线、交于点，、分别为、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（ ） ①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 11. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为 A. 1 B. C. D. 12. 如图，正方形ABCD中，E、F分别为上的点，，CE、BF交于H，交于M，O为AC的中点，交于N，连．下列结论中：①；②；③；④．其中正确有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题） 13. 计算的结果为___． 14. 已知直角三角形的两条直角边长分别为，，则这个直角三角形的斜边的长为_____． 15. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，．则矩形对角线的长等于_________． 16. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为__________． 17. 如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G为的中点，连接，若，则的长为________． 三、解答题（共7小题） 18. 如图，六个完全相同的小矩形排成一个大矩形，AB是其中一个小矩形的对角线，请在大矩形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺②保留必要的作图痕迹. (1)在如图中画出与线段AB平行的线段CD (2)在如图中画出过点A与线段AB垂直的线段AE (3)在如图中画出线段AB的垂直平分线MN 19. 计算： （1） （2） 20. 已知：点D，E分别是△ABC的BC，AC边的中点． （1）如图①，若AB=10，求DE的长； （2）如图②，点F是AB边上的一点，FGAD，交ED的延长线于点G．求证：AF=DG 21. 如图，四边形ABCD是矩形纸片，，，在上取一点，将纸片沿AE翻折，使点D落在BC边上的点F处． （1）AF的长=______； （2）BF的长=______； （3）CF的长=______； （4）求DE的长． 22. 已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，小丽从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小丽离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 小丽离开宿舍的时间 1 10 20 60 小丽离宿舍的距离 1.2 （2）填空： ①文具店到体育场的距离为________； ②小丽从体育场到文具店的速度为________； ③当小丽离宿舍的距离为时，她离开宿舍的时间为________． （3）当小丽离开体育场时，同宿舍的小红也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果小红的速度为，那么她在回宿舍的途中遇到小丽时离宿舍的距离是多少千米？（直接写出结果即可） 23. 如图，在平行四边形中，E，F分别为边，的中点，连接，过点A作交的延长线于点G． （1）求证； （2）若，试判断四边形的形状并说明理由； （3）当与满足_________时，四边形是正方形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴正半轴，点D在矩形的边上，与相交于点G，，． （1）求A点坐标和D点坐标；（直接写出结果） （2）平行于x轴的直线m，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，到达点C时停止，运动时间为t秒，平移过程中，直线m与线段、分别交于点E、F． ①记线段的长度为L，当点F在点E右边时，求L与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围； ②当四边形为平行四边形时，求t的值；判断此时的平行四边形是否为菱形，并说明理由； （3）在（2）的情况下，以为边向下作等边（点P在线段下方），与重叠部分的面积记为S． 填空：当秒时，S的值________；当E点落在中点时，S的值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科 一、选择题（共12小题） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零列得，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，熟记条件是解题的关键． 2. 下列图象中，可以表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数的定义：对于自变量的每一个确定的值，函数值都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于任意一个值，可能有多个值与之对应，故不是函数图象； B．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； C．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； D．对于任意一个值，有唯一确定的值与之对应，故是函数图象． 3. 下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：A．∵最长边为，， ∴该组能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．∵最长边为，， ∴该组能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．∵最长边为，， ∴该组能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D．∵最长边为，，， ∴， ∴该组不能构成直角三角形，故此选项符合题意． 4. 估计实数的值，它的所在范围是（ ） A. 在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D. 在8和9之间 【答案】B 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，再对不等式各边同时加2，即可得到的范围． 【详解】∵， ∴，即， 对不等式各边同时加2，得， 即， ∴在6和7之间． 5. 如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，熟记实数和数轴的关系是解题的关键． 根据正方形的面积求出的长，再根据勾股定理求得，再结合数轴确定点E表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，（点E在点A的左侧）， ∴， ∵点A表示的数是1， ∴点E所表示的数为． 故选：D． 6. 若正多边形的一个外角为，则该正多边形为（ ） A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的外角和等于，正多边形的每个外角均相等进行求解即可． 【详解】解：正多边形边数为：， ∴该多边形为正十二边形． 故选：D． 【点睛】本题主要考查多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和等于． 7. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A. 56 B. 60 C. 65 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】如解答图，易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键． 8. 如图，菱形的对角线、交于点，、分别为、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线性质，菱形的面积公式，关键是根据三角形中位线性质求得． 由是的中位线可得，再根据菱形的性质可得，最后由菱形的面积公式求得面积． 【详解】解： ∵、分别为、的中点， ， ， ， 四边形是菱形， ∴， 菱形的面积． 故选：B． 9. 已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（ ） ①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊四边形的判定．利用菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当时，对边相等，无法证明平行四边形是菱形，①结论错误； 当时，对角线垂直，即平行四边形是菱形，②结论正确； 当时，有一个角是直角，即平行四边形是矩形，③结论正确； 当时，对角线相等，即平行四边形是矩形，④结论错误； 结论中正确的是②③，共2个， 故选：C． 10. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，菱形，正方形等，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理，是解此题的关键． 根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，逐一判定． 【详解】解：A．当时，平行四边形不是菱形，故该选项不正确，符合题意； B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 11. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为 A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°， ∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°－∠BAE=90°－22.5°=67.5°． 在△ADE中，∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠ADE．∴AD=DE=4． ∵正方形的边长为4，∴BD=．∴BE=BD－DE=． ∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形． ∴EF=BE==． 故选：C． 12. 如图，正方形ABCD中，E、F分别为上的点，，CE、BF交于H，交于M，O为AC的中点，交于N，连．下列结论中：①；②；③；④．其中正确有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质、借助全等三角形即可进行判断． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故①正确； ∵四边形为正方形，且O为AC的中点 ∴ 故②正确； ∴当为中点时，有 故只有当为中点时，③才成立 故③错误； 作交于点 ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ 故④正确； 故选：C 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质．熟记相关几何结论是解题关键． 二、填空题（共6小题） 13. 计算的结果为___． 【答案】8 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：； 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确计算、掌握平方差公式是解题关键． 14. 已知直角三角形的两条直角边长分别为，，则这个直角三角形的斜边的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理直接求解即可． 【详解】解：这个直角三角形的斜边长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理求边长，熟练运用勾股定理是解题的关键． 15. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，．则矩形对角线的长等于_________． 【答案】6 【解析】 【分析】由矩形的性质得出，再证明为等边三角形，得出，进而求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴矩形对角线的长等于6． 16. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为__________． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段长的最小值为． 故答案为：． 17. 如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G为的中点，连接，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作，根据条件证明，即可求出，从而得出答案 【详解】解：过点E作，如图所示， ∵已知四边形和四边形均为正方形，且G为的中，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形与直角三角形勾股定理的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（共7小题） 18. 如图，六个完全相同的小矩形排成一个大矩形，AB是其中一个小矩形的对角线，请在大矩形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺②保留必要的作图痕迹. (1)在如图中画出与线段AB平行的线段CD (2)在如图中画出过点A与线段AB垂直的线段AE (3)在如图中画出线段AB的垂直平分线MN 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的判定和性质即可解决问题（AC∥BD，AC=BD）；（2）利用△ABC≌△AED，可以推出AE⊥AB；(3) 根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题． 【详解】解：（1）在图1中，直线CD如图所示；(2) 直线CD如图2所示；（2）线段AB的垂直平分线如图所示. 【点睛】本题考查复杂作图、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将所有的二次根式化为最简二次根式，再去括号后合并同类二次根式计算即可； （2）先把括号内的每一项都除以，再化简各二次根式，再计算减法运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 已知：点D，E分别是△ABC的BC，AC边的中点． （1）如图①，若AB=10，求DE的长； （2）如图②，点F是AB边上的一点，FGAD，交ED的延长线于点G．求证：AF=DG 【答案】（1）DE=5（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DEAB，DE=AB，然后代入数据计算即可得解； （2）判断出四边形AFGD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等证明． 【详解】（1）解：如图①，∵D、E分别为BC、AC边的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB，DE=AB， ∵AB=10， ∴DE=5． （2）证明：如图②，∵F是AB边上一点，由（1）知ABDE， ∴AFDE， ∵FGAD， ∴四边形AFGD为平行四边形， ∴AF=DG． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定与性质，熟记定理是解题的关键． 21. 如图，四边形ABCD是矩形纸片，，，在上取一点，将纸片沿AE翻折，使点D落在BC边上的点F处． （1）AF的长=______； （2）BF的长=______； （3）CF的长=______； （4）求DE的长． 【答案】（1）10 （2）6 （3）4 （4）5 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质即可得； （2）先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得； （3）根据即可得； （4）先根据折叠的性质可得，设，则，再在中，利用勾股定理即可得． 【小问1详解】 解：由折叠的性质得：， 故答案为：10． 【小问2详解】 解：四边形是矩形，，， ， 由折叠的性质得：， ， 故答案为：6． 【小问3详解】 解：， ， 故答案为：4． 【小问4详解】 解：由折叠的性质得：， 四边形是矩形， ， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长为5． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键． 22. 已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，小丽从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小丽离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 小丽离开宿舍的时间 1 10 20 60 小丽离宿舍的距离 1.2 （2）填空： ①文具店到体育场的距离为________； ②小丽从体育场到文具店的速度为________； ③当小丽离宿舍的距离为时，她离开宿舍的时间为________． （3）当小丽离开体育场时，同宿舍的小红也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果小红的速度为，那么她在回宿舍的途中遇到小丽时离宿舍的距离是多少千米？（直接写出结果即可） 【答案】（1）填表见详解 （2）①0.6，②0.06；③2.5或70 （3）0.3千米 【解析】 【分析】（1）先求解小丽从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场的速度，再结合图象填表即可； （2）①直接利用文具店离宿舍的距离和体育场离宿舍的距离，二者相减即可； ②通过路程除以时间即可得到答案； ③先得出，观察图象可得出现在和中，分别求出两个区间的分段函数解析式，将代入即可得解； （3）先写出小红离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式并据此作出其图象，求出两图象交点的纵坐标即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴小丽离开宿舍的时间为时，小丽离宿舍的距离为； 由图象可知，小丽离开宿舍的时间为时，小丽离宿舍的距离为； 小丽离开宿舍的时间为时，小丽离宿舍的距离为， 填表如下： 小丽离开宿舍的时间 1 10 20 60 小丽离宿舍的距离 0.12 1.2 1.2 0.6 【小问2详解】解：①∵文具店离宿舍，体育场离宿舍， ∴文具店到体育场的距离为； ②小丽从体育场到文具店的速度为； ③当小丽离宿舍的距离为时，， 由图象可知，出现在和中， 当时，设y与x的函数解析式为， 将代入得： ，解得， ∴， 当时，，解得； 当时，设y与x的函数解析式为， 将代入得： ，解得， ∴， 当时，，解得， ∴她离开宿舍的时间为或． 【小问3详解】 解：小红离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为， 当时，解得， ∴小红离宿舍的距离y关于时间x的函数图象如图所示： 当二人相遇时，得， 解得， ∴她在回宿舍的途中遇到小丽时离宿舍的距离是0.3千米． 23. 如图，在平行四边形中，E，F分别为边，的中点，连接，过点A作交的延长线于点G． （1）求证； （2）若，试判断四边形的形状并说明理由； （3）当与满足_________时，四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 （3）相等且垂直 【解析】 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，，又由、分别为边、的中点，易得，，即可判定四边形为平行四边形，则可证得； （2）由，，易证得为直角三角形，又由为边的中点，即可得，则可证得：四边形是菱形； （3）根据正方形的判定定理得到，当与满足垂直且相等时，四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， 、分别为、的中点， ，， ，， 四边形为平行四边形， ； 【小问2详解】 证明：， ， 为直角三角形， 又为边的中点． ， 又四边形为平行四边形， 四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当与满足相等且垂直时，四边形是正方形． 由（1）得：四边形是平行四边形， ，为边的中点， ， ， ， ， 四边形是正方形， 故答案为：相等且垂直． 【点睛】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴正半轴，点D在矩形的边上，与相交于点G，，． （1）求A点坐标和D点坐标；（直接写出结果） （2）平行于x轴的直线m，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，到达点C时停止，运动时间为t秒，平移过程中，直线m与线段、分别交于点E、F． ①记线段的长度为L，当点F在点E右边时，求L与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围； ②当四边形为平行四边形时，求t的值；判断此时的平行四边形是否为菱形，并说明理由； （3）在（2）的情况下，以为边向下作等边（点P在线段下方），与重叠部分的面积记为S． 填空：当秒时，S的值________；当E点落在中点时，S的值________． 【答案】（1）， （2）①；②，平行四边形是菱形，理由见详解 （3）， 【解析】 【分析】（1）先求得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求得点A、D的坐标； （2）①分别求出直线和直线的表达式，设，则，利用坐标与图形性质求解即可，再通过含30度角的直角三角形的性质求得t的取值范围； ②根据平行四边形的性质知，进而解方程求得，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出结论； （3）当时，可得，，，过点P作交于点M，利用等边三角形的性质求得，则此时与重叠部分为，可求得S值；取中点，根据三角形中位线性质可证得与F重合，则，再根据等边三角形的性质证得，，则点P在上，故与重叠部分为，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在矩形中，， ∵，， ∴在中，， ∴，即， 在中，， ∴， 由勾股定理得，， ∴，解得：， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点A，C分别代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点O，D分别代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点E是直线与m的交点， ∴， 又∵点F是直线与m的交点， ∴， ∴， ∵点G为与的交点， 当m与点G相交时，点E，F重合， 如图，过点G作轴交x轴于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴t的取值范围是， 综上所述，L与t的函数关系式为； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 平行四边形是菱形， 理由：∵，， ∴，即于点G， ∴平行四边形是菱形． 【小问3详解】 解：当时，，， ∴， 如图，过点P作交于点M， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 此时与重叠部分为， ∴， 如图，取中点， ∵点E在中点， ∴是的中位线， ∴轴，， ∵轴， ∴与F重合，则， ∵，， ∴点P在上， ∴与重叠部分为， ∵， ∴， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $