精品解析：2026年吉林省长春市榆树市教育联盟4月份质量检测九年级数学试题

榆树市教育联盟4月份质量检测九年级数学试题 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 在，0，，，，中，负数的个数有几个（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中实际含义．根据题目中的数据可以判断哪些数是负数，从而可以解答本题． 【详解】解：在，0，，，，中，负数有：，，，共3个， 故选：B． 2. 下列几何体中，主视图可能是三角形的是（ ） A. 球体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从物体正面看即可求解． 【详解】解：根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图： A、球的主视图是圆，不符合题意； B、圆柱的主视图是矩形，不符合题意； C、圆锥的主视图是三角形，符合题意； D、长方体的主视图是长方形，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的主视图知识，解题关键是熟练掌握主视图的定义． 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 三角形的外角可能小于它的内角 B. 三角形中最多有一个钝角 C. 大于劣弧的弧叫作优弧 D. 多边形的内角和不可能等于 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查三角形、多边形及圆的基本概念，根据三角形、多边形及圆的性质逐一判断． 【详解】解：A、三角形的外角等于不相邻两内角之和。若一个内角为钝角（如），其对应的外角为，此时外角小于内角，故A正确； B、三角形内角和为，若有两个钝角（每个），则两钝角之和，矛盾，故B正确； C、优弧定义为大于半圆的弧，而非单纯“大于劣弧的弧”，例如，两条劣弧中较长者仍为劣弧（若均未超过半圆），故C错误； D、多边形内角和公式为，若，解得，非整数，故不存在内角和为的多边形，D正确． 故选：C． 4. 以下是小李记录的自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），，则下列关于小李该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ） A. 众数为分钟 B. 中位数为分钟 C. 平均数为分钟 D. 方差为0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了统计数据的求解，中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．众数是一组数据中出现次数最多的数值．平均数，是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数． 方差是每个数据与平均数之差的平方值的平均数.熟记相关统计数据的求解法则即可． 【详解】解：由题意知：众数为分钟，故A错误； 中位数为分钟，故B错误； 平均数为：分钟，故C正确； 方差为：，故D错误； 故选：C 5. 测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度．其中的数学道理是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 点到直线的距离 D. 过一点有且只有一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点到直线的距离、两点确定一条直线、两点之间线段最短、垂线、垂线段最短．把踏板看作一条直线，落地点（脚跟处）看作一点，为了公平准确，测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度，即利用了点到直线的距离原理．据此选择正确选项即可． 【详解】解：利用点到直线的距离原理，测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度． 故选：C． 6. 如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为米，则气球顶部离地面的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】先解直角三角形得，后根据解答即可． 本题考查了矩形的判定和性质，仰角的计算，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得到四边形是矩形， 故， 由 得， 故, 故选：C． 7. 如图，已知钝角，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，过点D作于点C，过点D作，交于点B．若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．如图，过点B作于点E．先证明，推出，再证明，再利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于点E． 由作图可知：平分， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴，解得：． 故选：A． 8. 如图，的顶点A，B的坐标分别是，D均在函数 的图象上，若，则k的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】分别过C、D作x轴的垂线，垂足为F、G，过C点作，垂足为H，连接，根据可证，则，由题意，推出，由，可知点D的横坐标为2，易知C的横坐标为3，设，则，列出方程即可解决问题． 【详解】解：如图，过C，D分别作轴，轴，垂足为F、G，与相交于点M，过C点作，连接， ∵是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点D的横坐标为2，C的横坐标为3， 设，则， ∵顶点C、D均在函数的图象上， ∴， 解得， ∴ ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，解答此题的关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标，根据面积关系，列方程求解． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解： . 10. 三角形的三边长分别为 、、，则 的取值范围是 _____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系．根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，即可得到的取值范围． 【详解】解： 、、为三角形的三边长， ， ． 故答案为： ． 11. 若点，都在直线上，则与的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】将和带入可得和的值即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 则：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，求出函数值再比较大小是解题的关键． 12. 已知与的两边分别平行，其中为，为，则＝__________ 度． 【答案】80或60 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解答此题需要分类讨论. 当两个角的两边分别平行时，两个角相等或互补，据此分两种情况列方程求解即可. 【详解】分两种情况讨论： ①当时， ， 此时； ②当时， ， 此时； 综上可得，或. 13. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A恰好落在边上的点G处．则图中阴影部分的面积等于______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，旋转得到，勾股定理求出的长，利用矩形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∵矩形， ∴， 在中，， ∴阴影部分的面积等于； 故答案为：9． 14. 如图，点D在等边三角形的边上，，若，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质，得，，再运用三角形外角性质，得，证明，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共10小题，满分78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，49 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式以及平方差公式，先分析式子，运用完全平方公式以及平方差公式进行展开，再去括号，合并同类项，得出，然后把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： 当时， 原式 ． 16. 为了探索船厂历史发扬水师精神，在年，船营区人民政府出资建设了吉林水师营博物馆．该博物馆坐落在吉林省吉林市船营区德胜路号，向社会免费开放．小吉与小林两名同学约定本周日从学校出发，骑行去吉林水师营博物馆参观．已知从学校到吉林水师营博物馆的骑行路线有，，三条，小吉和小林各自随机选择一条骑行路线，请用画树状图法或列表法求两人恰好选择同一条路线的概率． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了用树状图法或列表法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 用树状图法得到所有等可能的结果，然后找出符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 小吉 小林 共有9种等可能的情况，其中两人恰好选择同一条路线（记作事件）的情况有3种， ． 17. 图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画出的边上的中线． （2）在图②中的边上确定一点，使． （3）在图③中的边上确定一点，使． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接即可． （2）取格点，使，且，连接，与的交点即为点． （3）取格点，，使，且，连接交于点，则点即为所求． 本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 解：如图①，即为所求． 【小问2详解】 解：如图②，取格点，使，且，连接交于点， 则点即为所求． 【小问3详解】 如图③，取格点，，使，且，连接交于点， 则， 则， 即， 则点即为所求． 18. 《孙子算经》中有过样一道题，原文如下： “今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？” 大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题. 【答案】城中有75户人家. 【解析】 【详解】【分析】设城中有x户人家，根据今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，可得方程x+x=100，解方程即可得. 【详解】设城中有x户人家，由题意得 x+x=100， 解得x=75， 答：城中有75户人家. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出等量关系列方程进行求解是关键. 19. 如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的面积及的值． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2）的面积为120， 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角函数，勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，则，而，所以，则，所以四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，则，所以，则，，再证明四边形是平行四边形，则，因为，即可得出面积，根据勾股定理得出，即可得出的值． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为120． ∴． 20. 某果园共收获5万箱鸭梨，为估算该果园鸭梨总产量，从中随机抽取箱进行称重，单箱净重（单位：，精确到）分别有：，根据数据，绘制了如图1和图2所示尚不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求的值及的度数，并补全条形统计图； （2）直接写出这箱鸭梨的单箱净重的中位数与众数； （3）计算这箱鸭梨的单箱净重的平均数，并估算该果园鸭梨总产量． 【答案】（1）；；统计图见解析 （2）这箱鸭梨的单箱净重的众数为，中位数为； （3）这箱鸭梨的单箱净重的平均数为，该果园鸭梨总产量为 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，中位线，众数，平均数和用样本估计总体： （1）用重量为的箱数除以其所占百分比即可求出n的值，进而求出重量为的箱数，则可求出的度数，再补全统计图即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）利用加权平均数的计算方法先求出这箱鸭梨的单箱净重的平均数，进而求出该果园鸭梨总产量即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴净重为的鸭梨共有箱， ∴， 补全统计图如下所示： 【小问2详解】 解：∵重量为的鸭梨箱数最多， ∴这箱鸭梨的单箱净重的众数为； 把这箱鸭梨的单箱净重按照从低到高排列，处在第10名和第11名的净重都为， ∴这箱鸭梨的单箱净重的中位数为 【小问3详解】 解：， ∴这箱鸭梨的单箱净重的平均数为， ∴该果园鸭梨总产量为． 21. 随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试甲，乙，丙三个测试点依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处，测试点丙距离甲处．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留一段时间后继续匀速走到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离随离开测试点甲的时间变化关系图象如下．请根据相关信息，解答下列问题： （1）该智能机器人从甲处出发到回到甲处一共用了多长时间？ （2）该款新型智能机器人在乙处停留了多长时间？ （3）图中点A表示的意义是什么？ 【答案】（1） （2） （3）点A表示的意义是新型智能机器人离开测试点甲时，离测试点甲的距离是． 【解析】 【分析】本题考查用图象表示两个变量间的关系，能从图象上获取有用信息是解答的关键． （1）根据图象中测试点甲的距离y为0时的时间x值即可； （2）直接由图象中的14分钟减去8分钟求解即可； （3）根据点A的坐标可得点A表示的意义． 【小问1详解】 解：由图象可知，当时，， 答：从甲处出发到回到甲处一共用了； 【小问2详解】 解：由图象可得，该款新型智能机器人在乙处停留了； 【小问3详解】 解：∵该款新型智能机器人在丙处停留了， ∴点A的坐标为， 故图中点A表示的意义是新型智能机器人离开测试点甲时，离测试点甲的距离是． 22. 数学课本上有一题：如图1，四边形是正方形，点E是的中点，，且交正方形外角平分线于点F．求证． （1）课本中给出证法提示：取的中点G，连接．请你在图1中补全图形并证明结论； （2）若点E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，． ①如图2，连接，请你求出的大小； ②填空：如图3，连接，当，时，则的面积为________． 【答案】（1）图形见解析；证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）取的中点G，连接，根据正方形的性质和等边对等角的性质，证明，即可得出结论； （2）①在上截取，连接，根据正方形的性质和等腰三角形的性质，证明，得到，即可求出的大小； ②过点作，分别交延长线于点，延长线于点，则四边形是矩形，再证明是等腰直角三角形，得到，，设，则，，，利用勾股定理，求出，进而得出，即可求出的面积． 【小问1详解】 证明：如图，取的中点G，连接， 四边形是正方形， ，， 点E是的中点，点G是的中点， ，， ， ， ， 是正方形外角平分线， ， ， ， , ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：①如图，在上截取，连接， 四边形是正方形， ，， ，即， ， ， 是等腰直角三角形， ，， , ， ， 在和中， ， ， ， ； ②如图，过点作，分别交延长线于点，延长线于点， 四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，， 由①可知，， 是等腰直角三角形， ，， 设，则，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的哦安定额性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． 23. 的边在直线l上，，且，的边也在直线l上，边与边重合，且． （1）如图1，直接写出与的数量关系： ，与的位置关系： ； （2）将沿直线l向左平移到图2的位置时，交于点O，交于点Q，连接，求证：； （3）将沿直线l向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连接，试探究与满足的数量关系，并说明理由； （4）若， ，点P在的延长线上继续向左平移，当时，请直接写出与的面积之比． 【答案】（1）, ； （2）见解析 （3），理由见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度比较大，解题的关键是掌握相关基础性质，根据题意，作出合适的辅助线． （1）根据等腰三角形的性质，直接求解即可； （2）通过SAS可得，再根据角的和差关系，求解即可； （3）通过SAS可得，再根据角的和差关系，求解即可； （4）根据可得，上截取，求得线段和，再根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：, ； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 而， ∴； 【小问3详解】 解：， 理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 而， ∴； 【小问4详解】 解：∵，， ∴， 如图， 在上截取，而， ∴，， ∴， 而， ∴，， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与y轴相交于点，与x轴相交于点，． （1）求抛物线的函数表达式及d的值． （2）M是抛物线上的一点，且在第四象限内． ①如图1，当点M到x轴的距离为3时，的面积为_______． ②如图2，过点M作于点N，当线段最大时，求此时点M的坐标． （3）将抛物线：沿x轴翻折，得到抛物线，点P（横坐标为x）在抛物线上，其最大值为m，最小值为n．若对于任意，恒成立，请直接写出实数t的所有整数值的和． 【答案】（1）； （2）①6；② （3）3 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求得抛物线的函数表达式，然后把代入解析式求解即可； （2）①根据两点坐标求出，再根据三角形面积公式求解； ②过点M作于P，连接，，设点，且点M在第四象限内，则，，，再根据，则，然后由二次函数的最值求解即可； （3）根据二次函数图象的几何变换求得抛物线：，则抛物线：开口向下，当时，y随x增大而增大 ，当时，，y随x增大而减小，当时，y 有最大值4；然后分类讨论：当时，当时，当时，分别求出整数t的值，从而即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入，得 ，解得：， ∴抛物线的函数表达式， 把代入，得 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①∵，， ∴ ∵当点M到x轴的距离为3时， ∴； ②过点M作于P，连接，， ∵，， ∴， 设点， ∵点M在第四象限内， ∴，，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当时，有最大值， ∴当时， ∴当线段最大时，此时点M的坐标为． 【小问3详解】 解：∵抛物线：沿x轴翻折，得到抛物线， ∴抛物线：， ∵ ∴抛物线：开口向下，当时，y随x增大而增大 ，当时，，y随x增大而减小，当时，y 有最大值4； 当，即时， 在时，最大值， 最小值， ∵ ∴ 解得： ∴； ∴t的整数值为0， ②当 且，即时， 在时， i)当时，最大值， 最小值， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴t的整数解为1； ii)当时， ∴t无整数解； ③当，即时，最大值， 最小值， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴t的整数解为2； 综上，若对于任意，恒成立， 实数t的所有整数值的和为． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，坐标与图形，二次函数的最值，二次函数的几何变换．熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆树市教育联盟4月份质量检测九年级数学试题 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 在，0，，，，中，负数的个数有几个（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列几何体中，主视图可能是三角形的是（ ） A. 球体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 三角形的外角可能小于它的内角 B. 三角形中最多有一个钝角 C. 大于劣弧的弧叫作优弧 D. 多边形的内角和不可能等于 4. 以下是小李记录的自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），，则下列关于小李该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ） A. 众数为分钟 B. 中位数为分钟 C. 平均数为分钟 D. 方差为0 5. 测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度．其中的数学道理是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 点到直线的距离 D. 过一点有且只有一条直线 6. 如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为米，则气球顶部离地面的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，已知钝角，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，过点D作于点C，过点D作，交于点B．若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 5 8. 如图，的顶点A，B的坐标分别是，D均在函数 的图象上，若，则k的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 计算：_____． 10. 三角形的三边长分别为 、、，则 的取值范围是 _____ ． 11. 若点，都在直线上，则与的大小关系是________． 12. 已知与的两边分别平行，其中为，为，则＝__________ 度． 13. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A恰好落在边上的点G处．则图中阴影部分的面积等于______． 14. 如图，点D在等边三角形的边上，，若，，则的长为____． 三．解答题（共10小题，满分78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 为了探索船厂历史发扬水师精神，在年，船营区人民政府出资建设了吉林水师营博物馆．该博物馆坐落在吉林省吉林市船营区德胜路号，向社会免费开放．小吉与小林两名同学约定本周日从学校出发，骑行去吉林水师营博物馆参观．已知从学校到吉林水师营博物馆的骑行路线有，，三条，小吉和小林各自随机选择一条骑行路线，请用画树状图法或列表法求两人恰好选择同一条路线的概率． 17. 图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画出的边上的中线． （2）在图②中的边上确定一点，使． （3）在图③中的边上确定一点，使． 18. 《孙子算经》中有过样一道题，原文如下： “今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？” 大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题. 19. 如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的面积及的值． 20. 某果园共收获5万箱鸭梨，为估算该果园鸭梨总产量，从中随机抽取箱进行称重，单箱净重（单位：，精确到）分别有：，根据数据，绘制了如图1和图2所示尚不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求的值及的度数，并补全条形统计图； （2）直接写出这箱鸭梨的单箱净重的中位数与众数； （3）计算这箱鸭梨的单箱净重的平均数，并估算该果园鸭梨总产量． 21. 随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试甲，乙，丙三个测试点依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处，测试点丙距离甲处．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留一段时间后继续匀速走到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离随离开测试点甲的时间变化关系图象如下．请根据相关信息，解答下列问题： （1）该智能机器人从甲处出发到回到甲处一共用了多长时间？ （2）该款新型智能机器人在乙处停留了多长时间？ （3）图中点A表示的意义是什么？ 22. 数学课本上有一题：如图1，四边形是正方形，点E是的中点，，且交正方形外角平分线于点F．求证． （1）课本中给出证法提示：取的中点G，连接．请你在图1中补全图形并证明结论； （2）若点E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，． ①如图2，连接，请你求出的大小； ②填空：如图3，连接，当，时，则的面积为________． 23. 的边在直线l上，，且，的边也在直线l上，边与边重合，且． （1）如图1，直接写出与的数量关系： ，与的位置关系： ； （2）将沿直线l向左平移到图2的位置时，交于点O，交于点Q，连接，求证：； （3）将沿直线l向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连接，试探究与满足的数量关系，并说明理由； （4）若， ，点P在的延长线上继续向左平移，当时，请直接写出与的面积之比． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与y轴相交于点，与x轴相交于点，． （1）求抛物线的函数表达式及d的值． （2）M是抛物线上的一点，且在第四象限内． ①如图1，当点M到x轴的距离为3时，的面积为_______． ②如图2，过点M作于点N，当线段最大时，求此时点M的坐标． （3）将抛物线：沿x轴翻折，得到抛物线，点P（横坐标为x）在抛物线上，其最大值为m，最小值为n．若对于任意，恒成立，请直接写出实数t的所有整数值的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $