河南省新乡市牧野区 河南师范大学附属中学2025-2026学年九年级下学期期中试题第二卷

**基本信息** 覆盖初中数学核心知识，基础题与综合题梯度分布，融入高速车组、利润问题等真实情境，适配初三期中能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|数轴、旋转、二次函数图像|第4题科学记数法结合“中国创造”体现时代性，第10题动态几何考查空间观念| |填空题|5/15|方差、函数增减性、菱形与等腰三角形|第12题射飞镖数据考查数据意识，第15题坐标系与几何结合培养几何直观| |解答题|8/75|圆的切线证明、函数综合、利润问题|第18题切线证明发展推理能力，第22题利润模型强化应用意识，第23题几何旋转探究创新思维|

【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C 【解析】∵点A位于﹣3和﹣2之间，∴点A表示的实数大于﹣3，小于﹣2． 2．【答案】B 3. 【答案】C； 【解析】∠CFA＝∠E＝65°，再由三角形的内角和为180° 4. 【答案】B． 5．【答案】C 【解析】选项A，根据合并同类项法则可得x4+x4=2x4，故错误；选项B，根据同底数幂的乘法可得x3•x2=x5，故错误；选项C，根据积的乘方可得（x2y）3=x6y3，故正确；选项D，根据平方差公式（x﹣y）（y﹣x）=﹣x2+2xy﹣y2，故错误；故答案选C． 6．【答案】C ； 【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：，，从而． 7. 2.【答案】D； 【解析】作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图， ∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O， ∴OD=CD， ∴OD=OC=OA， ∴∠OAD=30°， 而OA=OB， ∴∠CBA=30°， ∴∠AOB=120°， ∴∠APB=∠AOB=60°． 故选D． 8．【答案】C. 【解析】第一次摸出红球的概率是，第二次摸出红球的概率是， 所以P（都摸到红球）=. 9. 【答案】D； 【解析】抛物线与x轴交于两点，则． 由图象可知a＞0，c＜0， 则b＜0，故abc＞0． 当x＝-2时，y＝4a-2b+c＞0． ∵ ，∴ b＝-2a， ∴ 4a-(-2a)×2+c＞0，即8a+c＞0． 当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故4个结论都正确． 10．【答案】D 【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D． ∵在△ABC中，AC=BC，∴AD=BD． ①点P在边AC上时，s随t的增大而减小．故A、B错误； ②当点P在边BC上时，s随t的增大而增大； ③当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小，点P与点D重合时，s最小，但是不等于零．故C错误； ④当点P在线段AD上时，s随t的增大而增大．故D正确．故答案选D． 11. x为任意实数 12.【答案】乙； 13. Y=-X,答案不唯一 14. 阴影部分的面积为 15.【答案】； 【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案． 16.（1）（a+1）2 （2）. 1 17.【答案】（1）24人；（2）C组；（3）150人． 【解析】（1）由图可知：B组人数为12；B组所占的百分比为20%， ∴本次抽取的总人数为：（人）， ∴抽取的学生成绩在C：组的人数为：（人）； （2）∵总人数为60人， ∴中位数为第30,31个人成绩的平均数， ∵，且 ∴中位数落在C组； （3）本次调查中竞赛成绩在A：组的学生的频率为：， 故该学校有名学生中竞赛成绩在A：组的学生人数有：（人）． 18.【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°，于是得到结论； （2）过C作CH⊥BF于H，根据勾股定理得到BF2，根据相似三角形的性质得到CH，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． ∵AB＝AC， ∴2∠1＝∠CAB． ∵∠BAC＝2∠CBF， ∴∠1＝∠CBF ∴∠CBF+∠2＝90° 即∠ABF＝90° ∵AB是⊙O的直径， ∴直线BF是⊙O的切线； （2）解：过C作CH⊥BF于H， ∵AB＝AC，⊙O的直径为4， ∴AC＝4， ∵CF＝6，∠ABF＝90°， ∴BF2， ∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F， ∴△CHF∽△ABF， ∴， ∴， ∴CH， ∴HF， ∴BH＝BF﹣HF＝2， ∴tan∠CBF． 19．【解析】（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4， ∵CD⊥x轴，∴OB∥CD，∴△ABO∽△ACD， ∴=，∴=，∴CD=20， ∴点C坐标为（–4，20），∴n=xy=–80， ∴反比例函数解析式为：y=–， 把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：，解得， ∴一次函数解析式为：y=–2x+12； （2）当–=–2x+12时，解得x1=10，x2=–4； 当x=10时，y=–8，∴点E坐标为（10，–8）， ∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=×20×10+×8×10=140； （3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不高于反比例函数图象； ∴由图象得，x≥10，或–4≤x＜0． 20. 【解析】（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x−4）， 即y=ax2−3ax−4a， 则−4a=2，解得a=−， 则b=-3a=． （2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图， BC=， 当x=0时，y=-x2+x+2=2，则C（0，2）， 设直线BC的解析式为y=mx+n， 把C（0，2），B（4，0）得，解得， ∴直线BC的解析式为y=x+2， 设P（t，t2+t+2），则M（t，t+2）， ∴PM=−t2+t+2−（−t+2）=−t2+2t， ∵∠NBM=∠NPQ，∴△PQM∽△BOC， ∴，即PQ=， ∴PQ=−t2+t=−（t−2）2+， ∴当t=2时，线段PQ的最大值为． ②当∠PCQ=∠OBC时，△PCQ∽△CBO， 此时PC∥OB，点P和点C关于直线x=对称， ∴此时P点坐标为（3，2）； 当∠CPQ=∠OBC时，△CPQ∽△CBO， ∵∠OBC=∠NPQ， ∴∠CPQ=∠MPQ， 而PQ⊥CM， ∴△PCM为等腰三角形， ∴PC=PM， ∴t2+（−t2+t+2−2）2=（−t2+2t）2， 解得t=， 此时P点坐标为（，）， 综上所述，满足条件的P点坐标为（3，2）或（，）． 21.【答案】137　； 【解析】如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m， 设AD=xm， 在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=， ∴CD=AD=x， ∴BD=BC+CD=x+100， 在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=， ∴x=（x+100）， ∴x=50（+1）≈137， 即山高AD为137米． 22. 【答案与解析】 ⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元） ⑵ ①依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160 即x－10x+16=0 解得：x=2,x=8 经检验：x=2,x=8都是方程的解，且符合题意. 答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元. ②依题意得：y=（100－80－x）（100+10x） ∴y= －10x+100x+2000=－10(x－5)+2250 23.（1）60° 45° （2）90°－ （3）∠AFB＝90°－ ∠AFB＝90°＋ 对∠AFB＝90°－证明如下：∵AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，∴△ABC∽△EDC，得∠ACB＝∠ECD，，∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，得∠CBD＝∠CAE.∵∠AQF＝∠BQC，∠CBD＝∠CAF，∴∠AFB＝∠ACB＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026河南新乡河师大附中初三下学期期中试题第二卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图所示，在数轴上点A表示的数可能是（　　） A．1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.6 2.下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是(　 ) 　　 3．已知：如图，AB∥DE，∠E=65°，则∠B+∠C的度数是( ) . A．135° B．115° C．65° D．35° 4.一列CRH5型高速车组进行了“300000公里正线运营考核”标志着中国高速快车从“中国制造”到“中国创造”的飞跃，将300000用科学记数法表示为（　　） 　 A．3×106 B． 3×105 C． 0.3×106 D． 30×104 5. 下列计算正确的是 A． B． C． D． 6．若、是一元二次方程的两根，则的值为（ ）． A．-1 B．0 C．1 D．2 7.如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（　　） A．45° B．30° C．75° D．60° 第9题 8.在一个不透明的袋子中装有4个除颜色以外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是(　 ). A． 　　　　B． 　　　　 C． 　　　　D． 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中，正确结论的个数是( )． A．1 B．2 C．3 D．4 10.如图，在△ABC中，AC＝BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是 A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11．y= ，x取何值时，函数在实数范围内有意义______________________ 12. 12.甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13，乙所得环数如下：2，5，6，9，8，则成绩比较稳定的是________． 13.写出一个函数Y随X增大而减小的函数________． 14.如图14所示，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙0于点D.已知OA＝OB＝6cm，AB＝cm，图中阴影部分的面积________． 图 14 图15 15.如图15，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标 （－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标______________. 三．解答题 16.化简计算（10分） ﹣22+（）﹣2+（π）0． 17.某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制出如下不完整的统计图． （1）求被抽取的学生成绩在C：组的有多少人； （2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内； （3）若该学校有名学生，估计这次竞赛成绩在A：组的学生有多少人． 18.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF． 19. 如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积； （3）直接写出不等式kx+b≤的解集． 20. 如图，二次函数的图象与轴交于点A、B，与轴交于点C． （1）__________；__________； （2）点P为该函数在第一象限内的图象上的一点，过点P作于点Q，连接PC， ①求线段PQ的最大值； ②若以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标． 21.如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为？（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732） 22. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？ 23. 点B，C，E在同一直线上，点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE，BD交于点F． （1）如图1，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝＿＿＿＿；如图2，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝＿＿＿＿； （2）如图3，若∠BAC＝，则∠AFB＝＿＿＿＿（用含的式子表示）； （3）将图3中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A，B重合），得图4或图5．在图4中，∠AFB与∠的数量关系是＿＿＿；在图5中，∠AFB与∠的数量关系是＿＿＿． 请你任选其中一个结论证明． ( 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 ) 学科网（北京）股份有限公司 $