专题6 解答题基础题（18题19题）题位训练（9大考点） 2026年中考三轮复习系列1-南通九年级数学中考冲刺题位训练

**基本信息** 聚焦南通中考18-19题基础题，按9大高频考点分类训练，覆盖代数、几何、统计核心模块，针对性提升中等生基础题得分能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |因式分解等9大考点|2-7题/考点，精选南通模拟题|证明、计算、作图、数据分析|从代数变形到几何推理再到统计应用，构建基础题完整知识链，突出中考高频基础考点的内在联系与应用|

专题6 解答题基础题（18题19题）题位训练（9大考点） 专题诠释：本专题精选2026南通市各地区中考模拟试题的18题，19题，南通中考第18题、第19题比较基础，比较适合成绩中等及中等偏下的孩子练习。按照考点分类，这样可以清晰地看出哪些是高频考点， 便于孩子更高效地复习，确保中考基础题不丢分。 考点一 因式分解的应用 1．（2025•南通）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． （1）若a2＝b2，则a＝b； （2）对于任意实数x，y，一定有x2+y2＞2xy； （3）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【分析】（1）因为a2＝b2，所以a2＝b2＝0，即（a+b）（a﹣b）＝0，所以a+b＝0或a﹣b＝0，得a＝﹣b或a＝b，举个例子即可； （2）因为（x﹣y）2≥0，所以x2+y2﹣2xy≥0，所以x2+y2≥2xy，举例判断本题错误； （3）设两个连续的正奇数为2k﹣1，2k+l（k为正整数），（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，据此可得本题正确； （4）梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但并不是平行四边形，据此解答． 【解答】解：（1）（2）（4）都是假命题．（3）是真命题． （1）是假命题，反例：当a＝2，b＝﹣2时，结论不成立； （2）是假命题，反例：当x＝y时结论不成立； （3）是真命题，证明如下： 设两个连续的正奇数为2k﹣1，2k+l（k为正整数）， （2k+1）2﹣（2k﹣1）2 ＝4k2+4k+1﹣（4k2﹣4k+1） ＝8k， ∵k为正整数， ∴8k是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍敛． （4）是假命题，反例：当四边形为等腰梯形时结论不成立． 【点评】本题考查了因式分解的应用、平行四边形的判定、命题与定理，解决本题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式解决问题． 2．（2026•海安市一模）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． （1）若a＞b，则a2＞b2； （2）若n为正整数，则（4n+3）2﹣（2n+3）2能被24整除． 【分析】（1）当a＝1，b＝﹣2时，满足a＞b，但a2＝12＝1，b2＝（﹣2）2＝4，此时a2＜b2，故原命题不成立； （2）对代数式进行因式分解，然后根据因式分解的结果，判断多项式能否被24整除即可． 【解答】解：（1）该命题是假命题， 反例：当a＝1，b＝﹣2时， a＞b， a2＝12＝1，b2＝（﹣2）2＝4， 但a2＜b2， 所以该命题是假命题； （2）该命题是真命题， （4n+3）2﹣（2n+3）2 ＝（4n+3+2n+3）（4n+3﹣2n﹣3） ＝（6n+6）×2n ＝6×（n+1）×2n ＝12n（n+1）， 因为n为正整数，n和n+1是连续正整数， 所以必有一个是偶数，所以n（n+1）能被2整除， 因此12n（n+1）能被24整除， 所以（4n+3）2﹣（2n+3）2能被24整除． 【点评】本题考查命题与定理、因式分解的应用，解决本题的关键是熟练运用不等式性质及因式分解的知识解答． 考点二 反比例函数的性质 3．（2022•河南）如图，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB． 【分析】（1）直接把点A的坐标代入求出k即可； （2）利用尺规作出线段AC的垂直平分线m即可； （3）证明∠DCA＝∠BAC，可得结论． 【解答】（1）解：∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（2，4）， ∴k＝2×4＝8， ∴反比例函数的解析式为y； （2）解：如图，直线m即为所求． （3）证明：∵AC平分∠OAB， ∴∠OAC＝∠BAC， ∵直线m垂直平分线段AC， ∴DA＝DC， ∴∠OAC＝∠DCA， ∴∠DCA＝∠BAC， ∴CD∥AB． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，反比例函数的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．（2026•海门区模拟）如图，一次函数y1＝﹣x的图象与反比例函数y2的图象交于A，B两点，已知△AOC的面积为． （1）求反比例函数的表达式； （2）求A、B的坐标并根据图象，直接写出当y1＞y2时，x的取值范围． 【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得； （2）解析式联立，解方程组即可求得A、B的坐标，然后根据函数的图象即可得到结论． 【解答】解：（1）由条件可知|k|， ∴|k|＝3， ∵在第二象限， ∴k＝﹣3， ∴反比例函数为y； （2）联立方程组得， 得或， ∴A（，2），B（2，）， 观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围x或0＜x＜2． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数综合，解一元二次方程，待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 考点三 平行线的判定 5．（2024•南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB． 【分析】证明△ADE≌△CFE（SAS），得出∠ADE＝∠CFE，得到CF∥AB． 【解答】证明：∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴∠ADE＝∠CFE， ∴CF∥AB． 【点评】本题考查了平行线的判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 考点四 全等三角形的判定与性质 6．（2025•吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF． （1）求证：△ABE≌△DCF． （2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长． 【分析】（1）根据矩形的性质得AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，然后利用ASA即可证明△ABE≌△DCF； （2）由（1）△ABE≌△DCF，得AE＝DF＝13，根据勾股定理即可求出BE的长． 【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（ASA）； （2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF， ∴AE＝DF＝13， ∵AB＝12， ∴BE5． 【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 7．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC． 求证：∠1＝∠2． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°． ∵∠DOB＝∠EOC， ∴∠B＝∠C．…第一步 又OA＝OA，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO．…第二步 ∴∠1＝∠2．…第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第 　二　 步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理判断； （2）证明△DOB≌△EOC，根据全等三角形的性质得到OD＝OE，再证明Rt△ADO≌Rt△AEO，得到∠1＝∠2． 【解答】（1）解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二； （2）证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， 在△DOB和△EOC中， ， ∴△DOB≌△EOC（AAS）， ∴OD＝OE， 在Rt△ADO和Rt△AEO中， ， ∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠1＝∠2， 方法二：∵OD＝OE，∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠1＝∠2． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 考点五 勾股定理的应用 8．（2026•南通模拟）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝520m，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上（取1.732，结果取整数）？ 【分析】根据三角形内角与外角的关系可求出∠AED的度数，再根据勾股定理即可求出DE的长． 【解答】解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°， ∴∠AED＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△BDE中，BD＝520m，∠D＝30°， ∴BEBD＝260m， ∴DE260450（m）． 答：另一边开挖点E离D450m，正好使A，C，E三点在一直线上． 【点评】本题考查三角形的外角性质与勾股定理的应用．关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用． 考点六 特殊平行四边形的判定和性质 （一）命题证明 9．（2026•海门区一模）利用图形的定义探索和证明几何图形的性质定理和判定定理是数学学习的重要方法，请完成菱形的其中一个判定定理的证明． 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC，再由线段垂直平分线的性质得AD＝CD，然后由菱形的定义即可得出结论． 【解答】解：如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC⊥BD于点O， 求证：平行四边形ABCD是菱形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AC⊥BD， ∴AD＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，掌握菱形的判定是解题的关键． 10．（2026•启东市模拟）下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC的中线． 求证：BOAC． 方法一 证明：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD． 方法二 证明：如图，取BC的中点D，连接OD． 【分析】方法一：延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD，根据三角形中线的定义可得AO＝CO，从而可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得四边形ABCD是矩形，然后利用矩形的性质可得AC＝BD，从而可得BOAC，即可解答； 方法二：取BC的中点D，连接OD，再结合已知可得DO是△ABC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得DO∥AB，从而可得∠ODC＝∠ABC＝90°，进而可得OD是BC的垂直平分线，最后利用线段垂直平分线的性质可得OB＝OC，从而可得BOAC，即可解答． 【解答】解：方法一：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD， ∵BO是斜边AC的中线， ∴AO＝CO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∵BO＝DOBD， ∴BOAC； 方法二：如图，取BC的中点D，连接OD， ∵点O是AC的中点， ∴DO是△ABC的中位线， ∴DO∥AB， ∴∠ODC＝∠ABC＝90°， ∴OD是BC的垂直平分线， ∴OB＝OC， ∵AO＝COAC， ∴BOAC． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握握矩形的判定与性质，以及三角形的中位线定理是解题的关键． （二）作图+计算或证明 11．（2026•海门区模拟）如图，在矩形ABCD中，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段AC的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交AD，BC于点E，F，交AC于点O，连接AF，CE． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若，BC＝3，求四边形AECF的面积． 【分析】（1）由作图可知直线EF是线段AC的垂直平分线，则AO＝CO，AF＝CF，利用矩形性质得AE∥FC，证明△AOE≌△COF，则有AE＝CF，先证四边形AECF是平行四边形，再证平行四边形AECF是菱形即可； （2）设BF＝x，则AF＝CF＝3﹣x，利用勾股定理列方程求解后代入菱形面积公式即可． 【解答】（1）证明：由作图过程可知：直线EF是线段AC的垂直平分线， ∴AO＝CO，AF＝CF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， ∵AE∥FC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AF＝CF， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：设BF＝x， ∵BC＝3， ∴AF＝CF＝3﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 在Rt△ABF中，，根据勾股定理得，AB2+BF2＝AF2， ∴， 解得x＝1， ∴CF＝3﹣1＝2， ∴菱形AECF的面积． 【点评】本题考查了尺规作图，菱形的判定，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12．（2026•海门区模拟）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＜AD． （1）利用尺规作图作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF＝AB，连接EF；（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ABEF是菱形．（补全下列证明过程） 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴　∠AEB＝∠DAE ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴　∠BAE＝∠AEB ∴BA＝BE， 又∵AB＝AF， ∴BE＝AF 又∵AD∥BC， ∴四边形ABEF为平行四边形， 又∵AB＝AF ， ∴四边形ABEF是菱形． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【解答】解：（1）图形如图所示； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BA＝BE， 又∵AB＝AF， ∴BE＝AF， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是菱形． 故答案为：∠AEB＝∠DAE，∠BAE＝∠AEB，BE＝AF，AB＝AF． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 考点七 利用圆的性质进行证明和计算 13．（2026•汶上县一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，． （1）求证：△BOC≌△DOC； （2）求∠ABD的度数． 【分析】（1）利用弧相等得出圆心角相等，再结合圆的半径相等，通过SAS证明三角形全等； （2）先利用等腰三角形性质求出∠COB的度数，再结合弧的关系求出∠AOD的度数，最后根据圆周角定理求出∠ABD的度数． 【解答】（1）证明：∵已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，， ∴∠BOC＝∠DOC． ∵OC＝OC，OD＝OB， 在△BOC和△DOC中： ∴△BOC≌△DOC（SAS）； （2）解：∵OC＝OB， ∴∠ABC＝∠OCB＝65°， ∴∠COB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝50°， ∴∠DOC＝∠BOC＝50°， ∴∠AOD＝180°﹣∠DOC﹣∠BOC＝80°， ∴． 【点评】本题考查圆的性质与三角形全等的判定，掌握弧相等则对应圆心角相等，圆周角定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 14．（2026•海门三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE⊥CD； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 【分析】（1）欲证明AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE＝90°即可； （2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF＝AE，根据垂径定理得出DFCD，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径． 【解答】（1） 证明：连接OA． ∵AE是⊙O切线， ∴OA⊥AE， ∴∠OAE＝90°， ∴∠EAD+∠OAD＝90°， ∵∠ADO＝∠ADE，OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝∠ADE， ∴∠EAD+∠ADE＝90°， ∴∠AED＝90°， ∴AE⊥CD； （2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F． ∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°， ∴四边形AOFE是矩形． ∴OF＝AE＝4cm． 又∵OF⊥CD， ∴DFCD＝3cm． 在Rt△ODF中，OD5cm， 即⊙O的半径为5cm． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 15．（2026•海门区模拟）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD＝∠APC． （1）求证：AP是⊙O的切线． （2）若⊙O的半径是4，AP＝4，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OP，如图，利用等腰三角形的性质由OD＝OP得到∠OPD＝∠ODP，而∠APC＝∠AOD，则∠OPD+∠APC＝∠ODP+∠AOD，由于∠ODP+∠AOD＝90°，易得∠APO＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到AP是⊙O的切线； （2）在Rt△APO中，利用勾股定理计算出，AO＝8，即PO，则∠A＝30°，可计算出∠POA＝60°，∠OPC＝30°，再利用垂径定理PC＝CD，且∠POD＝120°，OCPO＝2，接着在Rt△OPC中计算出PC＝2，得到PD＝2PC，然后根据扇形面积公式和S阴影＝S扇形OPBD﹣S△OPD进行计算即可． 【解答】（1）证明：连接OP，如图， ∵OD＝OP， ∴∠OPD＝∠ODP， ∵∠APC＝∠AOD， ∴∠OPD+∠APC＝∠ODP+∠AOD， 又∵PD⊥BE， ∴∠ODP+∠AOD＝90°， ∴∠OPD+∠APC＝90°， 即∠APO＝90°， ∴OP⊥AP， ∴AP是⊙O的切线； （2）解：在Rt△APO中， ∵AP，PO＝4， ∴AO，即PO， ∴∠A＝30°， ∴∠POA＝60°， ∴∠OPC＝30° 又∵PD⊥BE， ∴PC＝CD， ∴∠POD＝120°，OCPO＝2， 在Rt△OPC中，∵OC＝2，OP＝4， ∴PC2， ∴PD＝2PC， ∴S阴影＝S扇形OPBD﹣S△OPD ． 【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了垂径定理和扇形的面积公式． 16．（2026•海门区模拟）在⊙O中，弦CD垂直于直径AB交AB于L，弦AE平分半径OC交OC于H，证明：弦DE平分弦BC． 【分析】连接BD，根据垂径定理可证BC＝BD，∠ABC＝∠ABD，可得：∠DBM＝2∠ABC，根据三角形外角的性质可证∠AOH＝2∠ABC，从而可证∠AOH＝∠DBM，根据圆周角定理可证∠HAO＝∠MDB，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证△AOH∽△DBM，根据相似三角形的性质可证，根据点H是OC的中点，可证结论成立． 【解答】证明：弦CD垂直于直径AB交AB于L，弦AE平分半径OC交OC于H， 如下图所示，连接BD， 由题意可得：， ∴BC＝BD，∠ABC＝∠ABD， ∵∠DBM＝∠ABC+∠ABD， ∴∠DBM＝2∠ABC， ∵OC＝OB， ∴∠ABC＝∠OCB，∠AOH＝∠ABC+∠OCB， ∴∠AOH＝2∠ABC， ∴∠AOH＝∠DBM， ∵∠HAO＝∠MDB， ∴△AOH∽△DBM， ∴， ∴， ∵H是OC的中点， ∴， ∵CO＝AO， ∴， ∴， ∵BC＝BD， ∴， ∴弦DE平分弦BC． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正确进行推理是解题关键． 考点八 解直角三角形的应用 17．（2026•海门区模拟）某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位ABCD，车位的三面围墙及墙DE均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为70°，当前车门与车身夹角不小于25°时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度100厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为215厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙BC保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有10厘米的安全距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.76，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.46，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．） 结合上述条件，回答下列问题： （1）当该汽车倒车停入车位ABCD区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由． （2）已知车库门前有一条平行于CD且与CD距离270厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．（精确到1厘米） 【分析】（1）作MN垂直车身于点N，求得点M到车库边BC的安全距离，与260比较即可判断能够顺畅地从车中出来； （2）设车门打开为MQ，作MP垂直于车身于点P，DN⊥MP于点N，求得FG的长度，与270比较即可判断汽车是否占用到人行道． 【解答】解：（1）驾驶员能够顺畅地从车中出来． 理由：如图，作MN垂直车身于点N，则∠MNP＝90°， 由题意得：∠MPN＝25°，MP＝100cm， ∴MN＝100×sin25°≈42（cm）， ∴驾驶员那的车门打开需要的距离为：42+10185＝252cm， ∵252＜260， ∴驾驶员能够顺畅地从车中出来； （2）汽车不会占用到人行道． 理由：如图，设车门打开为MQ，作MP垂直于车身于点P，DN⊥MP于点N，则∠DNM＝∠MPQ＝90°，四边形DFPN是矩形， ∴FP＝DN，NP＝DF， 由题意得：MQ＝100cm，∠MQP＝70°， ∴PQ＝100×cos70°≈34cm，MP＝100×sin70°≈94cm， ∵FC＝10185＝210cm， ∴DF＝50cm， ∴NP＝50cm， ∴MN＝MP﹣NP＝44cm， ∵∠ADM＝143°， ∴∠DMN＝53°， ∴DN＝44×tan53°≈58.52cm， ∴FP＝58.52cm， ∴FG＝FP+PQ+QG＝58.52+34+160＝252.52cm， ∵252.52＜270， ∴汽车不会占用到人行道． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．构造合适的直角三角形解决相关问题是解决本题的关键． 18．（2026•海门区一模）课间休息时小明同学望向窗外，看着校园里的一棵古树突发奇想，能不能利用刚学过的数学知识来测量这棵古树的高度呢？经过思考他和同学们一起实践起来．如图所示，他站在教室里点A处的凳子上，从教室的窗口望出去，恰好能看见古树的整个树冠DK，古树长在一个小坡上，经测量，斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°，窗口高EF＝1.2米，树干底部KC＝0.9m，A点距墙根G为1.5m，树干距墙面的水平距离IC为4.5m，请根据上面的信息，计算出树顶到地面的距离DL的长度． 【分析】根据相似三角形的性质求出树冠DK，根据坡角求出CL，即可求出树高DL． 【解答】解：连接EF，过点B作BM⊥DL，垂足为M，交EF于点N， 由题意可知，BN＝AG＝1.5米，MN＝IC＝4.5米， 由△BEF∽△BKD得， ，即，解得，KD＝4.8米， ∵斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°， ∴CLHJ＝1.1米， ∴DL＝DK+KC+CL＝4.8+0.9+1.1＝6.8（米）， 答：树顶到地面的距离DL的长度为6.8米． 【点评】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定和性质，相似三角形的相似比等于对应高的比是解决问题的关键． 19．（2026•海门区模拟）某研究性学习小组，为了测量某池塘边A、B两点间的距离，让一架航模在直线AB的正上方24米的高度飞行，当航模位于点D处时，在A点处测得航模仰角为60°，5分钟后，当航模在点C处时，在B点测得航模仰角为45°，已知航模飞行的速度为每分钟45米，试计算A、B两点的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：1.73．） 【分析】作DM⊥AB于M，BN⊥CD于N，则DM＝BN＝24米，在Rt△ADM中，由题意∠DAM＝60°，故可得出AM的长，同理可得出CN的长，根据AB＝AM+MB即可得出结论． 【解答】解：如图所示，作DM⊥AB于M，BN⊥CD于N，则DM＝BN＝24米， 在Rt△ADM中，由题意∠DAM＝60°， ∴AM8米， 在Rt△BNC中，由题意∠NCB＝45°， ∴DN＝DC﹣NC＝45×5﹣24＝201米， ∴AB＝AM+MB＝8201＝214.8米， 答：A、B两点的距离214.8米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 20．（2026•海门区一模）如图，一海轮位于灯塔P的西南方向，距离灯塔每里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）． 【分析】根据题意，作 PC⊥AB，在Rt△ACP中求出AC，PC，在Rt△BCP中求出BC，即可得到AB的长，得到结果． 【解答】解：如图，过点P作 PC⊥AB于点C， ∵在Rt△ACP中，（海里），∠PCA＝90°，∠APC＝45°， ，cos∠APC， ∴AC＝AP•sin45°＝6030（海里）， PC＝AP•cos45°＝6030（海里）， ∵在Rt△BCP中，∠BPC＝60°，， ∴（海里）， ∴（海里）， 答：航程AB的值为（3090）海里． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 考点九 数据的收集、整理、描述与数据的分析 21．（2025•南通）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动．为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下未完成的统计表． 体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操 人数 6 a 10 9 8 5 （1）表格中a的值为　12　 ； （2）若该校有1000名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数； （3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由． 【分析】（1）根据6种体育活动的总人数为50人可得a的值； （2）总人数乘以样本中足球人数所占比例即可； （3）求出甲、乙的平均成绩，比较后再进一步求解即可（答案不唯一）． 【解答】解：（1）a＝50﹣（6+10+9+8+5）＝12， 故答案为：12； （2）1000120（人）， 答：估计该校参加足球活动的学生人数约为120人； （3）选择甲， 由图知，（8+7+6+7+8+6）＝7，（3+4+7+8+10+10）＝7， 所以， 又因为甲成绩明显比乙成绩更稳定， 所以选择甲（答案不唯一）． 【点评】本题考查了折线统计图、统计表以及用样本估计总体的知识，此题综合性较强，难度适中． 22．（2026•海门区二模）【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果．【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用x表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E x 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，90，… 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为20%． 【数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在C组的有　12　 人，并补全频数分布直方图； 任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是　80.5　 ，D组对应扇形的圆心角是　115.2　 °； 任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为82.3分；心理健康课前测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为55，65，75，85，95；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出15%，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 【分析】任务1：根据这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为20%．得出D，E组有10人，进而求得D组的人数，根据频数分布直方图求得C组的人数，进而补全统计图； 任务2：根据图②可得心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数在D组，进而求得第25，26个数据分别为81，80，即可求得中位数，根据D组80≤x＜90的人数为16人，用其占比乘以360°，进而求得D组对应圆心角的度数； 任务3：根据加权平均数的方法计算心理健康课前测试成绩的平均分，进而求得心理健康课后的平均分比心理健康课前高出的百分比，和15%比较，即可求解． 【解答】解：任务1：由题意可得： ∴50×20%＝10人， ∴D组的人数为10﹣4＝6人， 则C组的人数为：50﹣10﹣18﹣10＝12人， 补全频数分布直方图如图， 故答案为：12． 任务2：根据图②可得心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数在D组， 其中E组占比为20%，共有50×20%＝10人 根据整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，90，… ∴D组80≤x＜90的人数为16人 ∴从大到小排列，第25，26个数据分别为81，80 ∴心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是 D组对应扇形的圆心角是 故答案为：80.5，115.2°； 任务3：依题意，， ∴达到“效果显著”． 【点评】本题考查了求中位数，频数分布直方图，加权平均数，求扇形统计图的圆心角；熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23．（2026•海门区模拟）中考改革是为了进一步推进高中阶段学校考试招生制度，某市在初中毕业生学业考试、综合素质评价、高中招生录取等方面进行了积极探索，对学生各科成绩实行等级制，即A、B、C、D、E五个等级，根据某班一次数学模拟考试成绩按照等级制绘制了两幅统计图（均不完整），请根据统计图提供的信息解答下列问题． （1）本次模拟考试该班学生有　40　 人； （2）补全条形统计图； （3）本次模拟考试该班学生考试成绩等级的中位数在等级D ； （4）该校共有1000名学生，根据统计图估计该校A等级的学生人数． 【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比即可得出答案； （2）先求出C等级的人数，再补全统计图即可； （3）算出第20、21个数的平均数即可； （4）用该校的总人数乘以A等级的学生所占的百分比即可． 【解答】解：（1）本次模拟考试该班学生有：5÷12.5%＝40（人）； 故答案为：40； （2）C等级的人数有：40﹣2﹣5﹣13﹣8＝12（人）， 补全统计图如下： （3）∵第20、21个数的在D等级； ∵中位数是第20、21个数的平均数， ∴学生考试成绩等级的中位数在等级D， 故答案为：D； （4）100050（人）． 答：估计该校A等级的学生人数为50人． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24．（2026•海安市一模）为了解海安市九年级学生身体素质情况，从海安市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是　40　 ；m＝　20　 ；并把图2条形统计图补充完整； （2）图1中α的度数是　144　 °； （3）海安市九年级有学生7000名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数是多少？ 【分析】（1）利用已有的数据求出抽样测试的学生人数，利用抽样的学生人数减去其他等级人数求出C级学生人数，即可算出C级学生的占比；结合C级学生人数即可补全条形统计图； （2）用360°乘A级所占比例即可求出∠α的度数； （3）利用样本估计总体的方法估计出不及格人数． 【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数为：14÷35%＝40（人）， m%100%＝20%， ∴m＝20． C级人数＝40﹣16﹣14﹣2＝8（人）， 补全条形统计图如下： 如图所示： 故答案为：40，20； （2）∠α＝360°144°， 故答案为：144； （3）7000＝350（人）． 答：估计不及格的人数是350人． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体． 25．（2026•海门区模拟）某初中数学老师要从甲乙两位学生中选一名参加数学竞赛，甲乙两人前5学期的数学成绩如下表， 第一学期 第二学期 第三学期 第四学期 第五学期 甲 75 80 85 90 95 乙 95 87 88 80 75 （1）分别求出甲乙二人前五学期的数学平均成绩． （2）在如图中分别画出甲、乙前五学期数学成绩折线图． （3）如果你是老师，你认为该选哪位学生参加数学竞赛？请简要说明理由． 【分析】（1）根据平均数的求法，用所有数据之和再除以数据的个数即可解答． （2）根据折线统计图的画法，依次描点连线即可，注意区分甲乙． （3）由于平均成绩相同，所以要看谁的呈上升趋势，读折线统计图可知． 【解答】解：（1）甲（75+80+85+90+95）÷5＝85， 乙（75+80+87+88+95）÷5＝85． （2）如图 （3）派甲去，因为甲的成绩呈上升趋势，而乙的成绩呈下降趋势． 【点评】本题考查了折线图的意义和平均数的概念．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数． 26．（2024•南通）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表． 50个家庭去年月均用水量频数分布表 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 2.0≤t＜3.4 7 B 3.4≤t＜4.8 m C 4.8≤t＜6.2 n D 6.2≤t＜7.6 6 E 7.6≤t＜9.0 2 合计 50 根据上述信息，解答下列问题： （1）m＝　20　 ，n＝　15　 ； （2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 B 组； （3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少？ 【分析】（1）依据题意得，C组的频数n50＝15，从而B组的频数m＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20，进而可以判断得解； （2）依据题意，根据中位数的意义，由50÷2＝25，可得中位数是第25个数和第26个数的平均数，结合A组频数为7，B组频数为20，故可判断得解； （3）依据题意，由50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20＝27（户），进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意得，C组的频数n50＝15． ∴B组的频数m＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20． 故答案为：20；15． （2）由题意，根据中位数的意义，∵50÷2＝25， ∴中位数是第25个数和第26个数的平均数． 又∵A组频数为7，B组频数为20， ∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组． 故答案为：B． （3）由题意，∵50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20＝27（个）， ∴该小区有1200个家庭估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有：1200648（个）． 【点评】本题主要考查了中位数、用样本估计总体、频数（率）分布表、加权平均数，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 27．（2026•邵阳模拟）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组15个成绩的平均数为　84　 分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为　50　 ，本次被抽取的所有成绩的中位数为　80　 分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【分析】（1）直接利用平均数公式计算即可； （2）由B组人数除以其百分比即可得到总数据的个数，再利用中位数的含义求解中位数即可； （3）由总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案． 【解答】解：（1）B组15个成绩的平均数为： ＝84； ∴B组15个成绩的平均数为84； 故答案为：84； （2）∵15÷30%＝50， ∴本次被抽取的所有成绩的个数为50， ∵50×24%＝12，而12+15＝27＞25， 所抽取的50个成绩分数排序后排在第25个，第26个分数落在B组， 而B组成绩排序后为： 从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． ∴第25个，第26个分数， 本次被抽取的所有成绩的中位数为80分； （3）则本次竞赛的获奖人数为500×24%＝120（人）． 【点评】本题考查扇形统计图、用样本估算总体，平均数，中位数的含义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 28．（2026•南通一模）育才中学九年级1班为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加全校举行的“绳彩飞扬”1分钟跳绳比赛，对他们进行了1分钟跳绳训练测试，10次测试的成绩如下（单位：次）： 甲：186，184，185，191，190，192，196，196，198，202； 乙：180，183，195，198，202，181，195，196，208，182． 为了比较两人的成绩，制作如下统计分析表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 192 191.5 a 32.2 乙 192 b 195 87.2 （1）填空：a＝　196　 ，b＝　195　 ． （2）根据以上数据，请至少选择两个统计量作为选拔依据，说明应选拔哪位同学参加比赛． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得； （2）在平均数相等的前提下可从方差或中位数的角度分析求解可得． 【解答】解：（1）甲10次测试成绩中，196次出现2次，次数最多， 所以众数a＝196， 把乙的成绩重新排列为180，181，182，183，195，195，196，198，202，208， 中位数b195， 故答案为：196，195； （2）从平均数和方差来看，甲、乙两名同学成绩的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，说明甲同学的成绩比乙的成绩稳定，可选拔甲同学参加比赛（答案不唯一）． 【点评】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 29．（2023•南通）某校开展以“筑梦天宫、探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表． 抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 83 87 52.6 八年级 82 84 91 65.6 注：设竞赛成绩为x（分），规定： 90≤x≤100为优秀；75≤x＜90为良好； 60≤x＜75为合格；x＜60为不合格． （1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有 　90　 人； （2）你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些？请从两个方面说明理由． 【分析】（1）用300乘以样本中优秀等次的百分比即可； （2）根据众数和中位数的意义求解即可（答案不唯一）． 【解答】解：（1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有30090（人）， 故答案为：90； （2）八年级成绩较好，理由如下： 因为七、八年级的平均数相等，而八年级的众数和中位数大于七年级的众数和中位数， 所以八年级得分高的人数较多，即八年级成绩较好（答案不唯一）． 【点评】本题考查方差、中位数、众数、条形图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6 解答题基础题（18题19题）题位训练（9大考点） 专题诠释：本专题精选2026南通市各地区中考模拟试题的18题，19题，南通中考第18题、第19题比较基础，比较适合成绩中等及中等偏下的孩子练习。按照考点分类，这样可以清晰地看出哪些是高频考点， 便于孩子更高效地复习，确保中考基础题不丢分。 考点一 因式分解的应用 1．（2025•南通）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． （1）若a2＝b2，则a＝b； （2）对于任意实数x，y，一定有x2+y2＞2xy； （3）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 2．（2026•海安市一模）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． （1）若a＞b，则a2＞b2； （2）若n为正整数，则（4n+3）2﹣（2n+3）2能被24整除． 考点二 反比例函数的性质 3．（2022•河南）如图，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB． 4．（2026•海门区模拟）如图，一次函数y1＝﹣x的图象与反比例函数y2的图象交于A，B两点，已知△AOC的面积为． （1）求反比例函数的表达式； （2）求A、B的坐标并根据图象，直接写出当y1＞y2时，x的取值范围． 考点三 平行线的判定 5．（2024•南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB． 考点四 全等三角形的判定与性质 6．（2025•吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF． （1）求证：△ABE≌△DCF． （2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长． 7．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC． 求证：∠1＝∠2． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°． ∵∠DOB＝∠EOC， ∴∠B＝∠C．…第一步 又OA＝OA，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO．…第二步 ∴∠1＝∠2．…第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第 　 　 步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 考点五 勾股定理的应用 8．（2026•南通模拟）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝520m，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上（取1.732，结果取整数）？ 考点六 特殊平行四边形的判定和性质 （一）命题证明 9．（2026•海门区一模）利用图形的定义探索和证明几何图形的性质定理和判定定理是数学学习的重要方法，请完成菱形的其中一个判定定理的证明． 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 10．（2026•启东市模拟）下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC的中线． 求证：BOAC． 方法一 证明：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD． 方法二 证明：如图，取BC的中点D，连接OD． （二）作图+计算或证明 11．（2026•海门区模拟）如图，在矩形ABCD中，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段AC的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交AD，BC于点E，F，交AC于点O，连接AF，CE． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若，BC＝3，求四边形AECF的面积． 12．（2026•海门区模拟）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＜AD． （1）利用尺规作图作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF＝AB，连接EF；（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ABEF是菱形．（补全下列证明过程） 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴　 ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴　 ∴BA＝BE， 又∵AB＝AF， ∴ 又∵AD∥BC， ∴四边形ABEF为平行四边形， 又∵ ， ∴四边形ABEF是菱形． 考点七 利用圆的性质进行证明和计算 13．（2026•汶上县一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，． （1）求证：△BOC≌△DOC； （2）求∠ABD的度数． 14．（2026•海门三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE⊥CD； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 15．（2026•海门区模拟）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD＝∠APC． （1）求证：AP是⊙O的切线． （2）若⊙O的半径是4，AP＝4，求图中阴影部分的面积． 16．（2026•海门区模拟）在⊙O中，弦CD垂直于直径AB交AB于L，弦AE平分半径OC交OC于H，证明：弦DE平分弦BC． 考点八 解直角三角形的应用 17．（2026•海门区模拟）某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位ABCD，车位的三面围墙及墙DE均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为70°，当前车门与车身夹角不小于25°时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度100厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为215厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙BC保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有10厘米的安全距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.76，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.46，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．） 结合上述条件，回答下列问题： （1）当该汽车倒车停入车位ABCD区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由． （2）已知车库门前有一条平行于CD且与CD距离270厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．（精确到1厘米） 18．（2026•海门区一模）课间休息时小明同学望向窗外，看着校园里的一棵古树突发奇想，能不能利用刚学过的数学知识来测量这棵古树的高度呢？经过思考他和同学们一起实践起来．如图所示，他站在教室里点A处的凳子上，从教室的窗口望出去，恰好能看见古树的整个树冠DK，古树长在一个小坡上，经测量，斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°，窗口高EF＝1.2米，树干底部KC＝0.9m，A点距墙根G为1.5m，树干距墙面的水平距离IC为4.5m，请根据上面的信息，计算出树顶到地面的距离DL的长度． 19．（2026•海门区模拟）某研究性学习小组，为了测量某池塘边A、B两点间的距离，让一架航模在直线AB的正上方24米的高度飞行，当航模位于点D处时，在A点处测得航模仰角为60°，5分钟后，当航模在点C处时，在B点测得航模仰角为45°，已知航模飞行的速度为每分钟45米，试计算A、B两点的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：1.73．） 20．（2026•海门区一模）如图，一海轮位于灯塔P的西南方向，距离灯塔每里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）． 考点九 数据的收集、整理、描述与数据的分析 21．（2025•南通）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动．为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下未完成的统计表． 体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操 人数 6 a 10 9 8 5 （1）表格中a的值为　12　 ； （2）若该校有1000名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数； （3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由． 22．（2026•海门区二模）【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果．【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用x表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E x 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，90，… 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为20%． 【数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在C组的有　 　 人，并补全频数分布直方图； 任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是　 　 ，D组对应扇形的圆心角是　 　 °； 任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为82.3分；心理健康课前测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为55，65，75，85，95；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出15%，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 23．（2026•海门区模拟）中考改革是为了进一步推进高中阶段学校考试招生制度，某市在初中毕业生学业考试、综合素质评价、高中招生录取等方面进行了积极探索，对学生各科成绩实行等级制，即A、B、C、D、E五个等级，根据某班一次数学模拟考试成绩按照等级制绘制了两幅统计图（均不完整），请根据统计图提供的信息解答下列问题． （1）本次模拟考试该班学生有　 　 人； （2）补全条形统计图； （3）本次模拟考试该班学生考试成绩等级的中位数在等级D ； （4）该校共有1000名学生，根据统计图估计该校A等级的学生人数． 24．（2026•海安市一模）为了解海安市九年级学生身体素质情况，从海安市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是　 　 ；m＝　 　 ；并把图2条形统计图补充完整； （2）图1中α的度数是　 °； （3）海安市九年级有学生7000名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数是多少？ 25．（2026•海门区模拟）某初中数学老师要从甲乙两位学生中选一名参加数学竞赛，甲乙两人前5学期的数学成绩如下表， 第一学期 第二学期 第三学期 第四学期 第五学期 甲 75 80 85 90 95 乙 95 87 88 80 75 （1）分别求出甲乙二人前五学期的数学平均成绩． （2）在如图中分别画出甲、乙前五学期数学成绩折线图． （3）如果你是老师，你认为该选哪位学生参加数学竞赛？请简要说明理由． 26．（2024•南通）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表． 50个家庭去年月均用水量频数分布表 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 2.0≤t＜3.4 7 B 3.4≤t＜4.8 m C 4.8≤t＜6.2 n D 6.2≤t＜7.6 6 E 7.6≤t＜9.0 2 合计 50 根据上述信息，解答下列问题：（1）m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 B 组； （3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少？ 27．（2026•邵阳模拟）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组15个成绩的平均数为　 　 分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为　 　 ，本次被抽取的所有成绩的中位数为　 　 分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 28．（2026•南通一模）育才中学九年级1班为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加全校举行的“绳彩飞扬”1分钟跳绳比赛，对他们进行了1分钟跳绳训练测试，10次测试的成绩如下（单位：次）： 甲：186，184，185，191，190，192，196，196，198，202； 乙：180，183，195，198，202，181，195，196，208，182． 为了比较两人的成绩，制作如下统计分析表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 192 191.5 a 32.2 乙 192 b 195 87.2 （1）填空：a＝ 　 ，b＝　 　 ． （2）根据以上数据，请至少选择两个统计量作为选拔依据，说明应选拔哪位同学参加比赛． 29．（2023•南通）某校开展以“筑梦天宫、探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表． 抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 83 87 52.6 八年级 82 84 91 65.6 注：设竞赛成绩为x（分），规定： 90≤x≤100为优秀；75≤x＜90为良好； 60≤x＜75为合格；x＜60为不合格． （1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有 　 　 人； （2）你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些？请从两个方面说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $