专题1 选择题压轴题（第9第10题）题位训练（10大考点） 2026年中考三轮复习系列1-南通九年级数学中考冲刺题位训练

**基本信息** 聚焦南通中考选择题压轴题，按10大考点分类整合真题模拟题，以题载知构建从单一到综合的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动点问题的函数图象|4题|动点路径与函数图象动态对应|几何运动转化为代数表达| |函数与几何综合|6题|一次/反比例/二次函数与图形性质结合|函数性质与几何计算融合| |含参二次函数|5题|参数对函数图象及性质的影响|代数推理与数形结合| |几何综合（三角/四边/圆）|15题|图形变换与性质综合应用|平面几何知识网络构建| |数式规律/代数综合|3题|规律探究与代数关系推导|抽象思维与逻辑推理|

专题1 选择题压轴题（第9第10题）题位训练（10大考点） 专题诠释：本专题精选南通近三年中考真题及2026年中考模拟题选择题压轴题，按考点分类。可以清晰地看出南通选择题压轴题的重难点。方便孩子针对性地训练。复习更高效。 考点一 动点问题的函数图象 1．（2026•启东市模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，动点P，Q同时从点B出发，动点P以每秒1个单位的速度沿线段BA运动到点A停止，动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线B﹣C﹣D运动到点D停止．设运动时间为ts，△DPQ的面积为S，则S与t的函数图象应为（　　） A． B． C． D． 【分析】画出点Q在BC和CD上时的图象，分别计算出相应的S与t的函数解析式，即可判断出相应的函数图象． 【解答】解：①当点Q在BC上运动时，即0≤t≤1时， 过点P作PM⊥BC于点M，交AD于点N，则PN⊥AD， ∴∠NMB＝∠N＝90°， 由题意得：BP＝t，BQ＝2t， ∴AP＝2﹣t， ∵∠B＝60°， ∴∠BPM＝30°， ∴PMt，∠APN＝30°， ∴PN（2﹣t）， ∴MN＝PM+PN， ∴S△DPQ＝S菱形ABCD﹣S△BPQ﹣S△APD﹣S△QCD ＝22t•t2（2﹣t）（2﹣2t） ＝2t2tt t2t， ∴函数图象是开口向下的二次函数图象； ②当点Q在CD上时， S△DPQ（4﹣2t）2t， ∴函数图象为y随x的增大而减小的一次函数， 故选：C． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象．判断出点Q在不同位置时S与t的函数解析式是解决本题的关键． 2．（2026•南通模拟）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝4，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t秒，DP2＝y．当动点P沿BC运动到点C时，y与t的函数图象如图2．在点P整个运动的过程中，y的最小值为（　　） A． B．3 C．9 D．12 【分析】作DM⊥BC于点M，求得等边三角形的边长，进而求得AD的长，作DN⊥AC于点N，则点P与点N重合时，DP2最小，求得DP2的值即为在点P整个运动的过程中，y的最小值． 【解答】解：由题意得：当点P运动到点C时，DP2＝28， 作DM⊥BC于点P，则∠DMB＝∠DMC＝90°， ∵△ABC是等边三角形，AB＝BC， ∴∠A＝∠B＝60°， ∵BD＝4， ∴BM＝2， ∴DM＝2， ∴MC4， ∴BC＝BM+MC＝6， ∴AB＝6， ∴AD＝6﹣4＝2， 作DN⊥AC于点N，则点P与点N重合时，DP2最小，∠DNA＝90°， ∴AN＝1， ∴y＝DP2＝AD2﹣NA2＝3， ∴在点P整个运动的过程中，y的最小值为3， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，判断出在点P整个运动的过程中，得到y的最小值时点P的位置是解决本题的关键． 3．（2026•如东模拟）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（　　） A．54 B．52 C．50 D．48 【分析】根据勾股定理求出AB＝25，再分别求出0≤x≤15和15＜x≤35时的PD，AD的长，再用三角形的面积公式写出y与x的函数解析式即可． 【解答】解∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20， ∴AB25， ①当0≤x≤15时，点D在AC边上，如图所示， 此时AD＝x， ∵ED⊥AB， ∴∠DEA＝90°＝∠C， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴△CAB∽△EAD， ∴， ∴AE， DE， BE＝25， ∴yBE•DE（25）10x， 当x＝10时，y＝76， ∴a＝76， ②当15＜x≤35时，点D在BC边上，如图所示， 此时BD＝35﹣x， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°＝∠C， ∵∠DBE＝∠ABC， ∴△DBE∽△ABC， ∴， ∴BE28， DE21， ∴yDE•BE（28）×（21）＝（14）（21）， 当x＝25时，y＝24， ∴b＝24， ∴a﹣b＝76﹣24＝52， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握． 4．（2026•海门区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P，Q分别是边AB，CD上的动点，CQ＝2AP，设AP＝x，PQ2＝y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】过Q作AB的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出y关于x的表达式从而可以得到图象的形状． 【解答】解：过Q作QM⊥AB于M， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC⊥AB，CQ∥BM， ∴BC∥QM， ∴四边形BCQM也是矩形， ∴BM＝CQ＝2AP＝2x，MQ＝BC＝4， ∴PM＝|PB﹣CQ|＝|6﹣x﹣2x|＝|6﹣3x|， ∴y＝PQ2＝MQ2+PM2＝16+（6﹣3x）2＝9（x﹣2）2+16， ∵P在AB上，Q在CD上， ∴x≤6，2x≤6， ∴x≤3， ∴y关于x的函数图象是开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图形，写出y关于x的解析式是本题解题的关键． 考点二 函数图象与几何图形综合 （一）一次函数与几何综合 5．（2026•海门区模拟）直线y＝x+4分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（　　） A．22 B．3﹣2 C． D．1 【分析】首先证明△MOC≌△NOA，推出∠MPN＝90°，推出P在以MN为直径的圆上，所以当圆心G，点P，C（0，2）三点共线时，P到C（0，2）的最小值．求出此时的PC即可． 【解答】解：在△MOC和△NOA中， ， ∴△MOC≌△NOA， ∴∠CMO＝∠ANO， ∵∠CMO+∠MCO＝90°，∠MCO＝∠NCP， ∴∠NCP+∠CNP＝90°， ∴∠MPN＝90° ∴MP⊥NP， 在正方形旋转的过程中，同理可证，∴∠CMO＝∠ANO，可得∠MPN＝90°，MP⊥NP， ∴P在以MN为直径的圆上， ∵M（﹣4，0），N（0，4）， ∴圆心G为（﹣2，2），半径为2， ∵PG﹣GC≤PC， ∴当圆心G，点P，C（0，2）三点共线时，PC最小， ∵GN＝GM，CN＝CO＝2， ∴GCOM＝2， 这个最小值为GP﹣GC＝22． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与几何变换、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是发现点P在以MN为直径的圆上，确定点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型． （二）反比例函数图象与几何综合（重点） 6．（2026•南通模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数，的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为10，，则k的值为（　　） A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣5 【分析】设AB与y轴相交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，则四边形AMNB，四边形AMOE和四边形BNOE都是矩形，根据反比例系数的几何意义得S矩形AMOE＝7，S矩形BNOE＝|k|，根据得S△BAD＝6，进而得S矩形AMNB＝12，则S矩形BNOE＝|k|＝5，据此可得k的值． 【解答】解：设AB与y轴相交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，如图所示： ∵AB∥x轴， ∴AM⊥AB，BN⊥AB，OE⊥AB， ∴四边形AMNB，四边形AMOE和四边形BNOE都是矩形， ∴点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴根据反比例系数的几何意义得：S矩形AMOE＝7，S矩形BNOE＝|k|， ∵△BCD的边CD上的高与△BAD的边AD上的高相同， ∴， 设S△BCD＝2a，S△BAD＝3a， ∴S△BCD+S△BAD＝5a， ∵△ABC的面积为10， ∴S△ABC＝S△BCD+S△BAD＝5a＝10， 解得：a＝2， ∴S△BAD＝3a＝6， ∴S△BADAB•AM＝6， ∴AB•AM＝12， ∴S矩形AMNB＝AB•AM＝12， ∴S矩形AMNB＝S矩形AMOE+S矩形BNOE＝12， ∵S矩形AMOE＝7，S矩形BNOE＝|k|， ∴7+|k|＝12， ∴|k|＝5， 又∵k＜0， ∴k＝﹣5， 即k的值为﹣5． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，理解同高的两个三角形的面积之比等于对应底边的比，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键． 7．（2025•海安市一模）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（　　） A．（4，） B．（，3） C．（5，） D．（，） 【分析】求出反比例函数y，设OB的解析式为y＝mx，由OB经过D（3，2），得出OB的解析式为yx，设C（a，），且a＞0，由平行四边形的性质得BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，则B（，），BCa，代入面积公式即可得出结果． 【解答】解：∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2）， ∴2， ∴k＝6， ∴反比例函数y， ∵OB经过原点O， ∴设OB的解析式为y＝mx， ∵OB经过点D（3，2）， 则2＝3m， ∴m， ∴OB的解析式为yx， ∵反比例函数y经过点C， ∴设C（a，），且a＞0， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC， ∴点B的纵坐标为， ∵OB的解析式为yx， ∴B（，）， ∴BCa， ∴S△OBC（a）， ∴2（a）， 解得：a＝2或a＝﹣2（舍去）， ∴B（，3）， 故选：B． 解法2：∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2）， ∴2， ∴k＝6， ∴反比例函数y， 同上得：B（，）， ∴BCa， ∵平行四边形OABC的面积是， ∴（a）， 解得：a＝2或a＝﹣2（舍去）， ∴B（，3）， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积计算等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （三）二次函数图象与几何综合 8．（2025•眉山）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，CD，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当t＝1时，S＝3；②点P在线段BA上时S＝2t2﹣16t+34；③AD＝4；④t1+t2＝4．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用正方形面积公式得出S＝PD2＝t2+2，代入t＝1求得S的值即可判断①；根据图2中的数据求得函数的解析式即判断②；利用勾股定理求得AC，进而求得AD即可判断③；画出函数S＝t2+2（0≤t≤2），观察图象t1、t2关于t＝2对称，即可判断④． 【解答】解：在Rt△PCD中CD，PC＝t， 则S＝PD2＝t2+2， 当S＝6时，即t2+2＝6， 解得：t＝2（负值已舍去）， 即BC＝2， 当t＝1时，S＝t2+2＝3，故①正确； 由图象可知抛物线顶点为（4，2），且过点（2，6）， 则抛物线的表达式为：S＝a（t﹣4）2+2， 将（2，6）代入上式得：6＝a（2﹣4）2+2， 解得：a＝1， 则抛物线的表达式为：S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18（2≤x≤8），故②错误； 当S＝18时，则t2﹣8t+18＝18， 解得：t＝0（舍去）或8， 则AB＝8﹣2＝6， ∴AC4， ∴AD＝43，故③错误； 画出S＝t2+2（0≤t≤2），如图： 从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1， 若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等， 从图象看，t1、t2关于t＝2对称， 则（t1+t2）＝2， 即t1+t2＝4，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到动点问题、面积的计算，读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合是本题解题的关键． 9．（2026•海门区模拟）如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP． ①点E在⊙M的内部； ②CD的长为； ③若P与C重合，则∠DPE＝15°； ④在P的运动过程中，若，则； ⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是π． 则正确的选项为（　　） A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤ 【分析】①ME＝2＝AM，可知点E在⊙M上，答案可求； ②由题意，OD，利用勾股定理OC可求，故CD＝OC+OD，结论可得； ③由锐角三角函数可求∠OCM＝30°，利用平行线和等腰三角形的性质可求∠ECD∠OCM＝15°，结论可得； ④连接EA，EB，过点A作AK⊥PE于K，利用圆周角定理和锐角三角函数求得AK，EK，KP，则PE＝EK+PK，结论可得； ⑤连接MN，则MN⊥PE，可得点N的运动轨迹，根据圆的周长公式，可得点N运动的路径长． 【解答】解：∵yx2， ∴顶点E（1，2）． ∴M（1，0）． ∴OM＝1，ME＝2． 令x＝0，则y． ∴D（0，）． ∴OD． 令y＝0，则0． 解得：x＝﹣1或x＝3． ∴A（﹣1，0），B（3，0）． ∴OA＝1，OB＝3． ∴AB＝4． ∴⊙M的半径为2． ①∵ME＝2，⊙M的半径为2， ∴E点在⊙M上． 故①不正确； ②连接MC，则MC＝2，如图： 在Rt△OCM中，sin∠OCM， ∴∠OCM＝30°． ∴OC＝MC×cos30°． ∴CD＝OC+OD． 故②不正确； ③连接MC，ME，CE，如图： 由②知：∠OCM＝30°． ∵ME∥OC， ∴∠MEC＝∠DCE． ∵ME＝MC＝2， ∴∠MCE＝∠MEC． ∴∠MCE＝∠DCE∠OCM＝15°． ∵P与C重合， ∴∠DPE＝∠DCE＝15°． 故③正确； ④如图，连接PB，AE，ME，过点A作AK⊥PE于K， ∵ME＝2， ∴E点在⊙M上． ∴∠AEP＝∠ABP． ∵AB是圆的直径， ∴∠APB＝90°． ∴sin∠ABP． ∴∠ABP＝60°． ∴∠AEP＝60°． ∵AE， ∴EK＝AE•cos∠AEP＝2． AK＝AE•sin∠AEP＝2． ∵∠AME＝90°， ∴∠APE∠AME＝45°． ∴△AKP为等腰直角三角形． ∴PK＝AK． ∴PE＝EK+PK． 故④正确； ⑤如图，连接AE，BE，设AE，BE的中点分别为G，F，连接GF交ME于点R． ∵G，F为EA，EB的中点， ∴FG为△EAB的中位线． ∴FGAB＝2． 连接MN， ∵N为PE的中点，M为圆心， ∴MN⊥PE． ∴点N的运动轨迹为以ME为直径的半圆． 即点N的运动轨迹是以点G，F为端点的半圆． ∴点N运动的路径长是2π×1＝π． 故⑤正确； 综上，正确的选项为③④⑤． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，涉及的知识点较多，由垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，锐角三角函数，圆周角定理，点和圆的位置关系等，本题综合性较强，难度较大． 10．（2025•南通）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．若AB＝4，AD＝x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点C作CH⊥AB于点H，过点D作DK⊥AC于点K，根据等边三角形性质得AB＝BC＝CA＝4，∠A＝∠B＝∠C＝60°，根据AD＝BE＝CF＝x得AF＝BD＝CE＝4﹣x，由此依据“SAS”判定△ADF≌△BED≌△CFE得S△ADF＝S△BED＝S△CFE，则y＝S△ABC﹣3•S△ADF，再求出CH得S△ABCAB•CH，解Rt△ADK得DK，则S△ADFAF•DK，进而得y，由此得y关于x的函数图象开口向上，当x＝2，y的最小值为，据此可得出答案． 【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点D作DK⊥AC于点K，如图所示： ∵△ABC是等边三角形，AB＝4， ∴AB＝BC＝CA＝4，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵AD＝BE＝CF＝x， ∴AF＝BD＝CE＝4﹣x， 在△ADF，△BED和△CFE中， ， ∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）， ∴S△ADF＝S△BED＝S△CFE， ∴S△DEF＝S△ABC﹣3•S△ADF， 即y＝S△ABC﹣3•S△ADF， ∵CH⊥AB， ∴AH＝BHAB＝2， 在Rt△ACH中，由勾股定理得：CH， ∴S△ABCAB•CH， ∵DK⊥AC于点K， 在Rt△ADK中，∠A＝60°，AD＝x，sinA， ∴DK＝AD•sinA＝x•sin60°， ∴S△ADFAF•DK， ∴y，其中0≤x≤4， ∴y关于x的函数图象开口向上，当x＝0时，y，当x＝4时，y，当x＝2，y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的图象和性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，二次函数的图象和性质是解决问题的关键． 考点三 一次函数的应用 11．（2024•南通）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　） A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h 【分析】根据图象可知，甲比乙早出发1小时，但晚到2小时，从甲地到乙地，甲实际用4小时，乙实际用1小时，从而可求得甲、乙两人的速度． 【解答】解：甲的速度是：20÷4＝5km/h； 乙的速度是：20÷1＝20km/h； 由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，培养学生观察图象的能力，分析解决问题的能力，要培养学生视图知信息的能力． 考点四 含参二次函数（重点） 12．（2026•启东市模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2x+c（c＜0），当自变量为x1时，其函数值y1大于零：当自变量为x1﹣2，x1+2时，其函数值分别为y2，y3，则（　　） A．y2＜0，y3＞0 B．y2＜0，y3＜0 C．y2＞0，y3＞0 D．y2＞0，y3＜0 【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴和x1的取值范围，再根据当自变量为x1﹣2与x1+2时，其函数值分别为y2，y3，即可得到y2和y3大小关系． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，c＜0， ∴该函数图象开口向下，当x＝1时，该函数取得最大值1+c，当x＝0时，y＝c， ∴该函数与y轴的交点为（0，c），在y轴的负半轴， ∴点（2，c）在该函数图象上，在x轴下方， ∵当自变量为x1时，其函数值y1大于零， ∴0＜x1＜2， ∴x1﹣2＜0，x1+2＞2， ∵当自变量为x1﹣2与x1+2时，其函数值分别为y2，y3， ∴y2＜0，y3＜0， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，明确题意，利用二次函数的性质是解答本题的关键． 13．（2026•海安市模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a2+3a﹣2（a为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】求得抛物线的顶点为（a，3a﹣2），由题意可知只有在x轴下方的函数图象与y＝﹣3有两个交点即可． 【解答】解：∵y＝﹣x2+2ax﹣a2+3a﹣2＝﹣（x﹣a）2+3a﹣2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝a，顶点为（a，3a﹣2）， ∵二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a2+3a﹣2（a为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度， ∴﹣3＜3a﹣2＜3， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意，得到关于a的不等式组是解题的关键． 14．（2025•南通）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣1），E（5，5）．若抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知点的坐标特征和抛物线的对称性得到：点A、E同时在抛物线上或同时不在抛物线上，然后分四种情况利用待定系数法求得a的值，即可判断． 【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0） ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2． ∵A（﹣1，5），E（5，5），且2， ∴点A、E同时在抛物线上或同时不在抛物线上． 当抛物线过A、E、B时， 把B（1，2），A（﹣1，5）代入得， 解得a； 当抛物线过A、E、C时， 把A（﹣1，5），C（2，1）代入得， 解得a， 当抛物线过A、E、D时， 把A（﹣1，5），D（3，﹣1）代入得， 解得a， 当抛物线过B、C、D时， 把C（2，1）代入解析式求得k＝1， ∴y＝a（x﹣2）2+1， 把B（1，2）代入得a+1＝2，解得a＝1， 把D（3，﹣1）代入得a+1＝﹣1，解得a＝﹣2， ∴B、C、D三点不能同时在抛物线上， 综上，a的值可能为，，，不可能为， 故选：C． 【点睛】本题综合考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的对称性，分类讨论是解题的关键． 15．（2026•海门区一模）二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（6，y3）．若y1y2y3＜0，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】先判断出对称轴为直线x＝1，故点B为顶点坐标．把其余两点代入函数解析中可得y1＝5a+2，y3＝12a+2，进而可判断出y2＞y1＞y3.因为y2＝2﹣4a恒为正，且y1y2y3＜0，故y3必为负，y1必为正，由此可列不等式组，解不等式组即可解决问题． 【解答】解：由二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）可知对称轴为直线x＝2， 故点B为顶点坐标． ∵二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）的图象还过A（﹣1，y1），C（6，y3）两点， ∴y1＝a+4a+2＝5a+2，y3＝36a﹣24a+2＝12a+2， ∵2﹣（﹣1）＜6﹣2， ∴y2＞y1＞y3． ∵y2＝2﹣4a恒为正，且y1y2y3＜0， ∴y3必为负，y1必为正， 故有，解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，函数值大小的比较，准确判断出y2和y1和y3的正负情况是解题关键． 16．（2026•海安市一模）已知抛物线y＝ax2﹣3a2x+c（a＞0），A（x1，y1）和B（4a，y2）是抛物线上的两点，对于3≤x1≤4都有y1＜y2，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B． C．0＜a＜1 D．a＞1 【分析】本题先将抛物线化为顶点式，确定对称轴，再根据a＞0时抛物线开口向上，结合y1＜y2的条件，分析x1与x2在对称轴两侧的位置关系，进而确定a的取值范围． 【解答】解：已知抛物线y＝ax2﹣3a2x+c（a＞0）＝a（x）2a3+c， ∴抛物线的对称轴为直线xa， ∵A（x1，y1）和B（4a，y2）是抛物线上的两点， ∴y2＝a（4a）2a3+c＝4a3+c， ∵3≤x1≤4，且y1＜y2，a＞0时抛物线开口向上， ∴x2到对称轴xa的距离大于x1到对称轴xa的距离， x2＝4a到对称轴xa的距离为|4a|a， x1到对称轴x的距离最小为|3|，（当x1＝3时），要使y1＜y2恒成立，则|3|， 分情况讨论： 当30， 即a≤2时， 3a， 移项可得3＜4a， 解得a， 结合a＞0且a≤2， ∴a≤2， 当30， 即a＞2时， a﹣3a， 移项可得﹣3＜a，结合a＞2， ∴a＞2， 综合以上两种情况，取并集可得a， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，分类讨论的思想方法，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 考点五 二次函数综合题 17．（2025•遂宁）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3．有下列结论： ①abc＜0；②9a﹣3b+c＞0；③；④关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，当y1＜y3＜y2时，则n的取值范围为． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为（﹣2，0），则当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即可判断②；根据b＝﹣2a，2＜c＜3，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据y1＜y3＜y2，结合函数图象分析，即可得出，进而判断⑤，即可求解． 【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a＜0，对称轴为直线x＝1，则， ∴b＝﹣2a＞0， 又∵抛物线与y轴交点坐标是（0，m），即c＝m， ∵2＜m＜3，即c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），对称轴为直线x＝1， ∴另一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，故②错误； ∵（﹣2，0），（4，0）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上， ∴4a﹣2b+c＝0， 又∵b＝﹣2a， ∴4a+4a+c＝0， ∴8a+c＝0即c＝﹣8a， ∵2＜m＜3，即2＜c＜3， ∴2＜﹣8a＜3， ∴即， 当x＝1时，y取得最大值，最大值为a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a， ∴y最大值＝﹣9a， ∴，故③正确； ∵ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0，b＝﹣2a，c＝﹣8a， 即ax2+（﹣2a﹣1）x﹣8a﹣2＝0， ∵Δ＝（﹣2a﹣1）2+4a（8a+2）＝36a2+12a+1， 对称轴为直线，当时，Δ的值随a的增大而减小， 又∵2＜﹣8a＜3， ∴， ∴当时，， ∴当时，Δ＞0恒成立，即ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0有两个不相等实根，故④正确； ∵若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上， 且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3， ∴2n+1＜x1+x2＜2n+3，2n+3＜x2+x3＜2n+5，2n+2＜x1+x3＜2n+4， ∵存在y1＜y3＜y2， ∴，，， 即，，， 解得：，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤，共4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 18．（2026•海门区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y2与直线y1均过原点，直线经过抛物线的顶点（2，4），则下列说法： ①当0＜x＜2时，y2＞y1； ②y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2； ③使得y2大于4的x值不存在； ④若y2＝2，则x＝2或x＝1． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据图象得出函数解析式为y＝a（x﹣2）2+4，再把c＝0代入即可得出解析式，根据二次函数的性质得出答案． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+4， ∵抛物线与直线均过原点， ∴a（0﹣2）2+4＝0， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣2）2+4， ∴由图象得当0＜x＜2时，y2＞y1，故①正确； y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2，故②正确； ∵抛物线的顶点（2，4）， 使得y2大于4的x值不存在，故③正确； 把y＝2代入y＝﹣（x﹣2）2+4，得 若y2＝2，则x＝2或x＝2，故④不正确． 其中正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．（2026•海门区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），且对于任意x的值，不等式恒成立，则该二次函数的解析式为（　　） A． B．y＝x2+4x+4 C． D． 【分析】由二次函数经过点（﹣2，0）和不等式恒成立，推导出函数必过点（2，2），从而求得，再结合不等式恒成立条件，利用判别式求得，． 【解答】解：由条件可知4a﹣2b+c＝0． 又∵对于任意x，有，当x＝2时，且x＝2， ∴y＝2，即函数过点（2，2）， ∴4a+2b+c＝2， 联立方程， 相减得4b＝2， ∴， 把代入4a﹣2b+c＝0得4a﹣1+c＝0，即4a+c＝1． 设恒成立， 要使g（x）≥0恒成立，须有a＞0， ∴判别式，即， ∴， 设， 代入和c＝1﹣4a得，需h（x）≥0恒成立， 要使h（x）≥0恒成立，须有二次项系数，即， 判别式， 即，化简得， ∴64a2﹣16a+1≤0， 即， ∴，代入4a+c＝1得， ∴． 故答案选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、不等式恒成立问题、一元二次方程与二次函数的关系以及利用配方法求二次函数的顶点式．熟练掌握以上知识点是关键． 20．（2023•黄石模拟）已知二次函数y＝﹣2x2+3x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的是（　　） ①线段AC的长度为；②抛物线的对称轴为直线x；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为（，）时，|PA﹣PC|的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有4个． A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④ 【分析】求得抛物线与坐标轴的交点，然后根据勾股定理求得AC，即可判断①；根据对称轴方程求得对称轴，即可判断②；求得直线AC的解析式，求得直线AC与对称轴的交点即可判断③；分两种情况讨论根据平行四边形的性质求得M的坐标，即可判断④． 【解答】解：①二次函数y＝﹣2x2+3x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴x＝0时，y＝2，当y＝0时，则﹣2x2+3x+2＝0，解得x1，x2＝2， ∴A（，0），B（2，0），C（0，2）， ∴OA，OC＝2， ∴AC，故说法①正确； ②∵y＝﹣2x2+3x+2， ∴抛物线的对称轴为直线x，故说法②正确； ③∴A（，0），C（0，2）， ∴直线AC为y＝4x+2， 把x代入得，y＝42＝5， ∴当P点坐标为（，5）时，|PA﹣PC|的值最大，故说法③错误； ④当AM＝NC，则M（1，0）或（﹣2，0）， 当AC＝MN，则M（，0）或（，0）， 综上所述：点M的坐标分别是（1，0）或（﹣2，0）或（，0）或（，0）共4个，故说法④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的判定，此题综合性强，有一定的难度． 考点六 数式规律的探究 21．（2026•海门区模拟）对于两个多项式，，若满足下列两种情形之一： （1）p1≠0，p2＝0；（2）p1＝p2，q1＞q2；则称多项式A为“较大”多项式，多项式B为“较小”多项式． 对于两个多项式和，若将A1和A2中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作A3，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对A2和A3进行“优选作差”操作得到A4，…，以此类推，经过n次操作后得到的序列A1，A2，A3，…，An称为“优选作差”序列{An}． 现对，A2＝x+1进行n次“优选作差”操作得到“优选作差”序列{An}，则下列说法： ①A2024＝x+1； ②； ③当n＝2024时，“优选作差”序列{An}中满足Ak﹣Ak+1＝Ak+2的正整数k有1350个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据题意列出A1到A14的值，找出值为x+1的规律，即可判断①，计算A1+A2+…+A11＝7x2﹣17x﹣17，即可判断②，找出Ak﹣Ak+1≠Ak+2的k的值，根据规律计算k的个数，即可判断③． 【解答】解：∵A1＝x2，A2＝x+1， ∴A3＝x2﹣x﹣1，A4＝x2﹣2x﹣2，A5＝x+1，A6＝x2﹣3x﹣3，A7＝x2﹣4x﹣4，A8＝x+1，A9＝x2﹣5x﹣5，A10＝x2﹣6x﹣6，A11＝x+1，A12＝x2﹣7x﹣7， A13＝x2﹣8x﹣8，A14＝x+1 ∴A2、A5、A8、A11多项式为x+1，即A3m﹣1＝x+1，m＝1，2，3…当m＝675时，A675×3﹣1＝A2024＝x+1，故①正确；A1+A2+…+A11＝4（x+1）+7x2+（﹣1﹣2…﹣6）x+（﹣1﹣2…﹣6）＝7x2﹣17x﹣17，故②错误；当k＝1时，A1﹣A2＝x2﹣（x+1）＝x2﹣x﹣1＝A3， 当k＝2时，A2﹣A3＝x+1﹣（x2﹣x﹣1）＝﹣x2+2x+2≠A4，当k＝3时，A3﹣A4＝（x2﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣2）＝x+1＝A5， 当k＝4时，A4﹣A5＝（x2﹣2x﹣2）﹣（x+1）＝x2﹣3x﹣3＝A6， 当k＝5时，A5﹣A6＝（x+1）﹣（x2﹣3x﹣3）＝﹣x2+4x+4≠A7， ∴当k＝2，5，8，•••，即：k＝3m﹣1，m＝1，2.3，•••时，Ak﹣Ak+1≠Ak+2，当m＝675时，k＝3×675﹣1＝2024，k+2＝2024+2＝2026， 当m＝674时，k＝3×674﹣1＝2021， ∴在序列{An}中，只有2022个等式，即k的可能取值为1～2022，因此共有1348个k值使得Ak﹣Ak+1＝Ak+2，③错误 在序列{An}中，只有2022个等式，即k的可能取值为1～2022，因此共有1349个k值使得Ak﹣Ak+1＝Ak+2，故③错误，综上所述①正确，个数为1． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减，新定义，数字的规律探索，解题的关键是：找到满足条件的规律． 考点七 代数综合 22．（2023•南通）若实数x，y，m满足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，则代数式﹣2xy+1的值可以是（　　） A．3 B． C．2 D． 【分析】结合已知条件解含参的二元一次方程组，然后代入﹣2xy+1中确定其取值即可． 【解答】解：由题意可得， 解得：， 则﹣2xy+1 ＝﹣21 1 1 1 ， ∵32， ∴A，B，C不符合题意，D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解得x，y的值后代入﹣2xy+1中整理出是解题的关键． 考点八 三角形综合题 23．（2026•海安市一模）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，在边BC上取一点D，连接AD，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．两位同学经过深入研究：小明发现：；小丽发现：若给定一个AD的值，点D的位置唯一确定，则4＜AD≤5．请对两位同学的发现作出判断（　　） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明小丽都错误 D．小明小丽都正确 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，如图，则∠AHB＝∠AHC＝90°，设AH＝x，BH＝y，则CH＝BC﹣BH＝6﹣y，利用勾股定理得到x2+y2＝42，x2+（6﹣y）2＝52，则解方程组得到AH，然后根据垂线段最短得到AD≤5，从而可对小明的发现和小丽的发现进行判断． 【解答】解：过A点作AH⊥BC于H点，如图，则∠AHB＝∠AHC＝90°， 设AH＝x，BH＝y，则CH＝BC﹣BH＝6﹣y， 在Rt△ABH中，x2+y2＝42①， 在Rt△ACH中，x2+（6﹣y）2＝52②， ②﹣①得36﹣12y＝9， 解得y， 把y代入①得x216， 解得x1，x2（舍去）， 即AH， ∵点D为边BC上一点， ∴AD≤5，所以小明的发现正确，小丽的发现错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，构建直角三角形，灵活运用勾股定理进行几何计算是解决问题的关键．也考查了垂线段最短． 24．（2026•海门区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC：BC＝7：10，∠ABC和∠ACD的角平分线相交于点D，过点D作BD的垂线，交CA延长线于点E，连接AD，若△BCD的面积为6，下列结论：①AC＝AB；②∠EDC＝135°；③AD平分∠BAC；④，其中正确的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由AC：BC＝7：10可判定①不正确；根据∠BAC＝90°，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点D，可得∠BDC＝135°，而ED⊥BD，即得∠EDC＝135°，故②正确；由∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点D，知D是△ABC的内心，可判定③正确；由△BCD≌△ECD，得S△BCD＝S△ECD＝6，又CD平分∠ACB，AC：BC＝7：10，可得，即可判定④不正确． 【解答】解：∵AC：BC＝7：10， ∴，， ∴①不正确； ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点D， ∴， ∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝135°， ∵ED⊥BD， ∴∠BDE＝90°， ∴∠EDC＝360°﹣∠BDC﹣∠BDE＝135°，故②正确； ∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点D，△ABC三条角平分线交于同一点， ∴AD平分∠BAC，故③正确； ∵∠BDC＝∠EDC＝135°，CD＝CD，∠ECD＝∠BCD， ∴△BCD≌△ECD（ASA）， ∴S△BCD＝S△ECD＝6， ∵CD平分∠ACB，AC：BC＝7：10， ∴， ∴， ∴，故④不正确； 综上所述，正确的有②③， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，涉及三角形的内心、三角形面积、三角形全等的判定及性质等知识，解题的关键是从图中找出并证明△BCD≌△ECD． 25．（2026•启东市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．点D，E分别在边AC，BC上，CD＝1．连接BD，以BD，BE为边作▱BDFE，连接AE，AF．当△AEF周长最小时，BE的长为（　　） A． B． C．1 D． 【分析】以C为原点建系，设BE＝x，用坐标表示各点位置．根据向量关系，推出F（1，﹣x），并算出为定值．△AEF周长＝AE+AF，周长最小等价于AE+AF最小．将AE+AF转化为“y轴上的点P（0，x）到定点M（3，2）和N（2，0）的距离和”，作N关于y轴的对称点N'（﹣2，0）．连接MN'，其与y轴交点的纵坐标即为x，解得，即BE． 【解答】解：以C为原点，AC为x轴，BC为y轴建立平面直角坐标系． 则A（3，0），B（0，2），D（1，0）． 设BE＝x，则E（0，2﹣x）． 由平行四边形性质可知，，（1，2），（0，﹣x）， 所以， 则F点坐标为（1，﹣x）． △AEF的周长L＝AE+EF+AF． AE，，， 要使周长最小，即求的最小值． 该式可变形为：， 这表示y轴上的点P（0，x）到点M（3，2）和点N（2，0）的距离之和． 作点N（2，0）关于y轴的对称点N′（﹣2，0）． 连接MN'，与y轴的交点即为使距离和最小的点P． 直线MN′经过点M（3，2）和N'（﹣2，0）， 设直线MN'的解析式为 y＝kx+b．， 解得，， 所以直线MN'的解析式为， 令x＝0，得o即当时，周长最小． 所以BE的长为． 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 26．（2024•南通）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB•AE请对两位同学的发现作出评判（　　） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【分析】旋转得到DH＝DE，∠HDE＝2α，当点E落在边 AC上时，利用三角形的外角推出∠CED＝α＝∠C，进而得到DE＝CD，推出 DH＝CD，判断小明的说法，连接AE，HE，等边对等角，求出，进而求出∠AHE＝∠AHD﹣∠DHE＝α，推出点E在射线HE上运动，根据垂线段最短，得到AE⊥HE时，AE的长最小，进而推出△AEH∽△AHB，判断小丽的说法即可． 【解答】解：∵将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE， ∴DH＝DE，∠HDE＝2α， 当点E落在边AC上时，如图： ∵∠HDE＝∠C+∠CED，∠C＝α， ∴∠CED＝α＝∠C， ∴DE＝CD， ∴DH＝CD， ∴D为CH的中点， 故小明的说法是正确的； 连接AE，HE， ∵DH＝DE，∠HDE＝2α， ∴， ∵AH⊥BC， ∴∠AHB＝∠AHD＝90°， ∴∠AHE＝∠AHD﹣∠DHE＝α， ∴点E在射线HE上运动， ∴当AE⊥HE时，AE的长最小， ∴当AE的长最小时，∠AEH＝∠AHB＝90°， 又∵∠B＝∠C＝α＝∠AHE， ∴△AEH∽△AHB，， ∴AH2＝AB•AE， 故小丽的说法正确； 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点E的轨迹，是解题的关键． 考点九 四边形综合题 27．（2026•启东市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在射线AD上运动，以BE为直角边向右作Rt△BEF，使得∠BEF＝90°，BE＝2EF，连接CF．则CF的最小值为（　　） A．3 B．4 C． D． 【分析】过点F作MN∥AB交AD于点M，交BC于点N，证明△BAE∽△EMF，设MF＝x，根据相似三角形的相似比，用x表示AE，并求得EM，进而根据勾股定理，用x表示CF2，根据二次函数的性质求得CF2的最小值，最后便可求得CF的最小值． 【解答】解：如图，当点F在CD左侧时，过点F作MN∥AB交AD于点M，交BC于点N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝5，∠A＝∠D＝90°，AD∥BC，AB∥CD，CD＝AB＝4， ∵MN∥AB， ∴AB∥MN∥CD， ∴四边形AMNB为矩形，四边形CDMN为矩形， ∴MN＝AB＝4，CN＝DM， ∵∠A＝90°， ∴∠AEB+∠ABE＝90°， ∵MN∥AB， ∴∠A＝∠DMF＝90°， ∴∠A＝∠EMF＝90°， ∵∠BEF＝90°， ∴∠AEB+∠MEF＝90°， ∴∠ABE＝∠MEF， ∴△BAE∽△EMF， ∴， 设MF＝x，则NF＝4﹣x， ∴， ∴EM＝2，AE＝2x， 则CN＝DM＝AD﹣EM﹣AE＝5﹣2﹣2x＝3﹣2x， ∴CF2＝FN2+CN2， ∴CF2＝（4﹣x）2+（3﹣2x）2＝5（x﹣2）2+5， 如图，当点F在CD右侧时，过点F作MN∥AB交AD延长线于M，交BC延长线于点N， 同理可得CN＝DM＝AM﹣AD＝2x+2﹣5＝2x﹣3， ∴CF2＝FN2+CN2＝（4﹣x）2+（2x﹣3）2＝5（x﹣2）2+5， 当x＝2时，CF2的最小值为5， ∴CF的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 28．（2026•海门区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BE平分∠ABC交AD于点E、交AC于点G，过E作EF⊥BC于点F、交AC于点H，若3AG＝2CH，则sin∠EGH的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据条件先证明出四边形ABFE是正方形，再根据给出边的数量关系假设出未知数，利用相似三角形的性质，找出对应边成比例，列出一元二次方程，然后求出FC的长度，最后求出所需边的长度，进而求出角的正弦值即可． 【解答】解：如图，过点B作BM⊥AC于点M， ∵矩形ABCD， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC， ∵EF⊥BC， ∴∠ABC＝∠BAD＝∠BFE＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∵BE平分∠ABC， ∴， ∴∠ABE＝∠EBF＝∠AEB＝45°， ∴AB＝AE， ∴四边形ABFE是正方形， ∴AB＝AE＝EF＝BF＝4， ∵3AG＝2CH， ∴设AG＝2x，GH＝a，则CH＝3x，AH＝AG+GH＝2x+a， ∵AD∥BC， ∴△AEH∽△CFH， ∴， 解得， ∵AD∥BC， ∴△AEG∽△CBG， ∴， ∴， 解得 CF＝2a+2x， ∴， 整理得a2+3ax﹣4x2＝0， 解得 a＝x或a＝﹣4x （舍去）， ∴， ∴BC＝8， 在Rt△ABC中，由勾股定理得，， 根据三角形等面积法可得，， 在Rt△ABE 中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴， ∵∠EGH＝∠AGB， ∴si， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，利用一元二次方程解几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握各性质，并灵活应用． 29．（2026•海安市模拟）如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG．则下列比值为定值的是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AG，CG，证明△ABG和△CBG全等得AG＝CG，∠AGB＝∠CGB，再证明△GBF是等腰直角三角形得GF＝GB，∠F＝∠CBG＝45°，进而可证明△GCF和△GEB全等，则CG＝EB，∠CGF＝∠EGB，由此可得出△GAE是等腰直角三角形，再由勾股定理得AEEG，则，据此即可得出答案． 【解答】解：连接AG，CG，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴AB＝CB，∠ABG＝∠CBG＝45°， 在△ABG和△CBG中， ， ∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴AG＝CG，∠AGB＝∠CGB， ∵FG⊥BD， ∴∠BGF＝90°， 又∵∠CBG＝45°， ∴△GBF是等腰直角三角形， ∴GF＝GB，∠F＝∠CBG＝45°， 在△GCF和△GEB中， ， ∴△GCF≌△GEB（SAS）， ∴CG＝EB，∠CGF＝∠EGB， ∴AG＝EG， ∴△GAE是等腰三角形， ∵∠AGB＝∠CGB，∠CGF＝∠EGB， ∴∠AGE＝∠AGB+∠EGB＝∠CGB+∠CGF＝∠BGF＝90°， ∴△GAE是等腰直角三角形， 在Rt△GAE中，由勾股定理得：AEEG， ∴为定值． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 30．（2026•海门区二模）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为a、b、c．若，当a变化时，正方形ABCD面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由l1、l2、l3、l4上，这四条平行线，作AF⊥l3于F，交l2于E，由弦图得BE＝a+b，得正方形ABCD面积AE2+BE2＝a2+（a+b）2，由，得正方形ABCD面积＝a2+（a+b）2＝a2+（a+1a）2（a）2，由a＞0，b＝1a＞0，得0＜a，故当a时，正方形ABCD面积的最小值． 【解答】解：由l1、l2、l3、l4上，这四条平行线， 作AF⊥l3于F，交l2于E， 由弦图得BE＝a+b， 得正方形ABCD面积＝AE2+BE2＝a2+（a+b）2， 由， 得正方形ABCD面积＝a2+（a+b）2＝a2+（a+1a）2（a）2， 由a＞0，b＝1a＞0， 得0＜a， 故当a时，正方形ABCD面积的最小值． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弦图和二次函数，解题关键是正确建立函数关系式． 考点十 圆综合题 31．（2026•通州区一模）如图，以AB为直径画半圆，点C为半圆的中点，连接AC，BC，点E在弦BC上，，过点B作AB的垂线交AE的延长线于点D，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】作DF⊥BC于点F，则∠DFE＝∠DFB＝90°，由以AB为直径画半圆，点C为半圆的中点，得∠C＝90°，∠ABC＝∠CAB＝45°，而∠ABD＝90°，则∠FDB＝∠FBD＝45°，所以BF＝DF，由∠EAB∠CAB＝15°，求得∠AEC＝∠DEF＝∠ABC+∠EAB＝60°，则∠EDF＝30°，所以DE＝2EF，则BF＝DFEF，求得BE＝（1）EF，由tan60°，得BC＝ACCE，则BE＝BC﹣CE＝（1）CE，所以CEBE＝（2）EF，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：作DF⊥BC于点F，则∠DFE＝∠DFB＝90°， ∵以AB为直径画半圆，点C为半圆的中点， ∴∠C＝90°，， ∴∠ABC＝∠CAB＝45°， ∵BD⊥AB交AE的延长线于点D， ∴∠ABD＝90°， ∴∠FBD＝∠ABD﹣∠ABC＝45°， ∴∠FDB＝∠FBD＝45°， ∴BF＝DF， ∵∠EAB∠CAB＝15°， ∴∠AEC＝∠DEF＝∠ABC+∠EAB＝60°， ∴∠EDF＝90°﹣∠DEF＝30°， ∴DE＝2EF， ∴BF＝DFEF， ∴BE＝BF+EFEF+EF＝（1）EF， ∵tan60°， ∴BC＝ACCE， ∵BE＝BC﹣CECE﹣CE＝（1）CE， ∴CEBE（1）EF＝（2）EF， ∴， 故选：D． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 32．（2026•海门区模拟）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝26，点C为⊙O上半圆的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝10，那么△ACD的面积是（　　） A．80 B．85 C．90 D．95 【分析】连接OD，过点A作AF⊥CD，垂足为F，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而可得∠ACE+∠ECB＝90°，再根据垂直定义可得∠CEB＝90°，从而可得∠CBE+∠ECB＝90°，进而可得∠ACE＝∠CBE，再利用等腰三角形的性质以及等量代换可得∠ACE＝∠OCB，然后利用角平分线的定义可得∠OCD＝∠ECD，从而利用等式的性质可得∠ACD＝45°，进而可得∠AOD＝2∠ACD＝90°，最后在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF，CF的长，再在Rt△AOD中，利用等腰直角三角形的性质求出AD的长，从而在Rt△ADF中，利用勾股定理求出DF的长，进而求出CD的长，利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【解答】解：连接OD，过点A作AF⊥CD，垂足为F， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠ECB＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠CBE+∠ECB＝90°， ∴∠ACE＝∠CBE， ∵OB＝OC， ∴∠CBE＝∠OCB， ∴∠ACE＝∠OCB， ∵CD平分∠OCE， ∴∠OCD＝∠ECD， ∴∠ACE+∠DCE＝∠OCB+∠OCD∠ACB＝45°， ∴∠ACD＝45°， ∴∠AOD＝2∠ACD＝90°， 在Rt△ACF中，AC＝10， ∴AF＝AC•sin45°＝105， CF＝AC•cos45°＝105， 在Rt△AOD中，AO＝ODAB＝13， ∴ADAO＝13， ∴DF12， ∴CD＝CF+DF＝17， ∴△ACD的面积CD•AF 175 ＝85， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 33．（2026•海门区一模）如图，经过原点的⊙P与两坐标轴分别交于点A，B，点C是上的任意一点（不与点O，B重合）如果tan∠BCO，则点A和点B的坐标可能为（　　） A．A（2，0）和B（0，2） B．A（2，0）和B（0，2） C．A（，0）和B（0，2） D．A（2，0）和B（0，） 【分析】连接AB，根据正切的定义得到tan∠BAC，得∠BAC＝30°，可得A，B两点的坐标． 【解答】解：连接AB，如图， ∵∠AOB＝90°， ∴AB是⊙P的直径， ∵∠BCO＝∠BAO， ∴tan∠BAO＝tan∠BCO， ∴∠BAO＝30°， ∴有可能A（2，0）和B（0，2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理、坐标与图形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 34．（2026•南通一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（　　） A．14 B．7 C．9 D．6 【分析】取AB的中点E，连接AD、EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围． 【解答】解：取AB的中点E，连接AD、EM、CE． 在直角△ABC中，AB10， ∵E是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CEAB＝5． ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴MEAD＝2． ∵5﹣2≤CM≤5+2， 即3≤CM≤7． ∴最大值为7， 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形三边之间的关系解答． 35．（2022•娄底）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意和图形，可知圆中的黑色部分的面积是圆的面积的一半，然后即可计算出圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比． 【解答】解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图所示， 设AB＝2a，则BD＝a， ∵∠ADB＝90°， ∴ADa， ∴ODADa， ∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是：， 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、圆的面积、三角形的内切圆与内心，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 36．（2020•高邮市二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若AB＝CD，则线段AC、CE的长度关系为（　　） A．AC＜CE B．AC＝CE C．AC＞CE D．无法确定 【分析】通过证明△ABC∽△CDE，可得，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠B+∠ADC＝180°， 又∵∠ADC+∠CDE＝180°， ∴∠B＝∠CDE， ∵， ∴∠BAC＝∠DCE， ∴△ABC∽△CDE， ∴， 又∵AB＝CD， ∴AC＝CE， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 选择题压轴题（第9第10题）题位训练（10大考点） 专题诠释：本专题精选南通近三年中考真题及2026年中考模拟题选择题压轴题。按考点分类，可以清晰地看出南通选择题压轴题的重难点。方便孩子针对性地训练，确保复习更高效。 考点一 动点问题的函数图象 1．（2026•启东市模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，动点P，Q同时从点B出发，动点P以每秒1个单位的速度沿线段BA运动到点A停止，动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线B﹣C﹣D运动到点D停止．设运动时间为ts，△DPQ的面积为S，则S与t的函数图象应为（　　） A．B． C． D． 2．（2026•南通模拟）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝4，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t秒，DP2＝y．当动点P沿BC运动到点C时，y与t的函数图象如图2．在点P整个运动的过程中，y的最小值为（　　） A． B．3 C．9 D．12 3．（2026•如东模拟）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（　　） A．54 B．52 C．50 D．48 4．（2026•海门区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P，Q分别是边AB，CD上的动点，CQ＝2AP，设AP＝x，PQ2＝y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 考点二 函数图象与几何图形综合 （一）一次函数与几何综合 5．（2026•海门区模拟）直线y＝x+4分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（　　） A．22 B．3﹣2 C． D．1 （二）反比例函数图象与几何综合（重点） 6．（2026•南通模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数，的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为10，，则k的值为（　　） A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣5 第6题 第7题 7．（2025•海安市一模）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（　　） A．（4，） B．（，3） C．（5，） D．（，） （三）二次函数图象与几何综合 8．（2025•眉山）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，CD，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当t＝1时，S＝3；②点P在线段BA上时S＝2t2﹣16t+34；③AD＝4；④t1+t2＝4．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2026•海门区模拟）如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP． ①点E在⊙M的内部； ②CD的长为； ③若P与C重合，则∠DPE＝15°； ④在P的运动过程中，若，则； ⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是π． 则正确的选项为（　　） A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤ 10．（2025•南通）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．若AB＝4，AD＝x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 考点三 一次函数的应用 11．（2024•南通）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　） A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h 考点四 含参二次函数（重点） 12．（2026•启东市模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2x+c（c＜0），当自变量为x1时，其函数值y1大于零：当自变量为x1﹣2，x1+2时，其函数值分别为y2，y3，则（　　） A．y2＜0，y3＞0 B．y2＜0，y3＜0 C．y2＞0，y3＞0 D．y2＞0，y3＜0 13．（2026•海安市模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a2+3a﹣2（a为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 14．（2025•南通）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣1），E（5，5）．若抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（　　） A． B． C． D． 15．（2026•海门区一模）二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（6，y3）．若y1y2y3＜0，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 16．（2026•海安市一模）已知抛物线y＝ax2﹣3a2x+c（a＞0），A（x1，y1）和B（4a，y2）是抛物线上的两点，对于3≤x1≤4都有y1＜y2，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B． C．0＜a＜1 D．a＞1 考点五 二次函数综合题 17．（2025•遂宁）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3．有下列结论： ①abc＜0；②9a﹣3b+c＞0；③；④关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，当y1＜y3＜y2时，则n的取值范围为． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．（2026•海门区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y2与直线y1均过原点，直线经过抛物线的顶点（2，4），则下列说法： ①当0＜x＜2时，y2＞y1； ②y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2； ③使得y2大于4的x值不存在； ④若y2＝2，则x＝2或x＝1． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（2026•海门区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），且对于任意x的值，不等式恒成立，则该二次函数的解析式为（　　） A． B．y＝x2+4x+4 C． D． 20．（2023•黄石模拟）已知二次函数y＝﹣2x2+3x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的是（　　） ①线段AC的长度为；②抛物线的对称轴为直线x；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为（，）时，|PA﹣PC|的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有4个． A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④ 考点六 数式规律的探究 21．（2026•海门区模拟）对于两个多项式，，若满足下列两种情形之一： （1）p1≠0，p2＝0；（2）p1＝p2，q1＞q2；则称多项式A为“较大”多项式，多项式B为“较小”多项式． 对于两个多项式和，若将A1和A2中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作A3，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对A2和A3进行“优选作差”操作得到A4，…，以此类推，经过n次操作后得到的序列A1，A2，A3，…，An称为“优选作差”序列{An}． 现对，A2＝x+1进行n次“优选作差”操作得到“优选作差”序列{An}，则下列说法： ①A2024＝x+1； ②； ③当n＝2024时，“优选作差”序列{An}中满足Ak﹣Ak+1＝Ak+2的正整数k有1350个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 考点七 代数综合 22．（2023•南通）若实数x，y，m满足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，则代数式﹣2xy+1的值可以是（　　） A．3 B． C．2 D． 考点八 三角形综合题 23．（2026•海安市一模）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，在边BC上取一点D，连接AD，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．两位同学经过深入研究：小明发现：；小丽发现：若给定一个AD的值，点D的位置唯一确定，则4＜AD≤5．请对两位同学的发现作出判断（　　） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明小丽都错误 D．小明小丽都正确 24．（2026•海门区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC：BC＝7：10，∠ABC和∠ACD的角平分线相交于点D，过点D作BD的垂线，交CA延长线于点E，连接AD，若△BCD的面积为6，下列结论：①AC＝AB；②∠EDC＝135°；③AD平分∠BAC；④，其中正确的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（2026•启东市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．点D，E分别在边AC，BC上，CD＝1．连接BD，以BD，BE为边作▱BDFE，连接AE，AF．当△AEF周长最小时，BE的长为（　　） A． B． C．1 D． 26．（2024•南通）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB•AE请对两位同学的发现作出评判（　　） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 考点九 四边形综合题 27．（2026•启东市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在射线AD上运动，以BE为直角边向右作Rt△BEF，使得∠BEF＝90°，BE＝2EF，连接CF．则CF的最小值为（　　） A．3 B．4 C． D． 28．（2026•海门区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BE平分∠ABC交AD于点E、交AC于点G，过E作EF⊥BC于点F、交AC于点H，若3AG＝2CH，则sin∠EGH的值是（　　） A． B． C． D． 29．（2026•海安市模拟）如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG．则下列比值为定值的是（　　） A． B． C． D． 30．（2026•海门二模）如图正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为a、b、c．若，当a变化时，正方形ABCD面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 考点十 圆综合题 31．（2026•通州区一模）如图，以AB为直径画半圆，点C为半圆的中点，连接AC，BC，点E在弦BC上，，过点B作AB的垂线交AE的延长线于点D，则的值为（　　） A． B． C． D． 32．（2026•海门区模拟）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝26，点C为⊙O上半圆的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝10，那么△ACD的面积是（　　） A．80 B．85 C．90 D．95 33．（2026•海门区一模）如图，经过原点的⊙P与两坐标轴分别交于点A，B，点C是上的任意一点（不与点O，B重合）如果tan∠BCO，则点A和点B的坐标可能为（　　） A．A（2，0）和B（0，2） B．A（2，0）和B（0，2） C．A（，0）和B（0，2） D．A（2，0）和B（0，） 34．（2026•南通一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（　　） A．14 B．7 C．9 D．6 35．（2022•娄底）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（　　） A． B． C． D． 36．（2020•高邮市二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若AB＝CD，则线段AC、CE的长度关系为（　　） A．AC＜CE B．AC＝CE C．AC＞CE D．无法确定 1 学科网（北京）股份有限公司 $