精品解析：湖南省永州市蓝山县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2025年上期期中学业质量监测 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，25个小题．如有缺页，考生须声明． 亲爱的同学，请你沉着应考，细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答．祝你成功！ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B. 不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C. 是中心对称图形，故该选项符合题意； D. 不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 2，4，5 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，首先勾股数要满足都是正整数，其次勾股数中两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，2，3不是勾股定理，故此选项不符合题意； B、∵， ∴4，2，3不是勾股定理，故此选项不符合题意； C、∵， ∴2，4，5不是勾股定理，故此选项不符合题意； D、∵， ∴6，8，10是勾股定理，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 平行四边形中，，的平分线交于，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等角对等边等知识，熟练应用各性质、定义是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，再结合角平分线的定义可证得，然后根据线段之间的关系即可得到答案． 【详解】解：平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：C． 4. 下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一直角边对应相等 D. 两锐角对应相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，直角三角形全等的判定．根据全等三角形的判定及直角三角形全等的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、两条直角边对应相等，再加上夹角都等于，根据“边角边”可判断两直角三角形全等，该选项不符合题意； B、斜边和一锐角对应相等，再加上一对直角相等，根据“角角边”可判断两直角三角形全等，该选项不符合题意； C、斜边和一直角边对应相等，根据“斜边直角边”可判断两直角三角形全等，该选项不符合题意； D、两锐角相等和直角对应相等，没有边相等，不能证明两直角三角形全等，该选项符合题意． 故选：D． 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线相等 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 矩形的对角线一定互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、矩形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行四边形的判定和性质、菱形的判定、矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A. 平行四边形的对角线相等，说法错误，故该选项不符合题意； B. 对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误，故该选项不符合题意； C. 四条边相等的四边形是菱形，说法正确，故该选项符合题意； D. 矩形的对角线一定互相垂直，说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 点关于轴对称点的坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系点的对称性质：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可解答本题． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为 故选：C． 7. 如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（　　） A. 15 B. 12 C. 10 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作EF⊥AB于点F，由角平分线的性质可得EF的值等于DE的值，再按照三角形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：过点E作EF⊥AB于点F，如图： ∵BD是AC边上的高， ∴ED⊥AC， 又∵AE平分∠CAB，DE=3， ∴EF=3， ∵AB=8， ∴△ABE的面积为：8×3÷2=12． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形的面积计算，属于基础知识的考查，难度不大． 8. 三角形的三边长分别为，则它最大边上的中线长为（ ） A. B. C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理推出此三角形为直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可得到答案． 【详解】解：， 三边长分别为的三角形是直角三角形， 它最大边上的中线长为， 故选：B． 9. 一艘轮船以 16 海里∕时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里∕时从港口 A 出发向东南方向航行．离开港口 1 小时后，两船相距（ ） A. 12 海里 B. 16 海里 C. 20 海里 D. 28 海里 【答案】C 【解析】 【分析】因为向东北和东南方向出发，所以两船所走的方向是直角，两船所走的距离 是直角边，所求的是斜边的长． 【详解】解：16×1=16 ，12×1=12 ． =20． 两船相距 20 海里． 故选C． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，解题关键是知道两船的所走的方向正好构成的是直角，然后根据勾股定理求出斜边的长． 10. 如图，正方形的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质以及勾股定理，由折叠的性质得出，设，再根据勾股定理得出，代入数值求解得出x的值，进而即可得出的值． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为3， ∴， 根据折叠的性质得：， 设， 则，，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， 故选B 二、填空题（本题共6小题，请将正确答案填写到答题卡上相应的位置，每小题3分，共18分） 11. 正十二边形的每一个外角等于______度． 【答案】30 【解析】 【分析】主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到每一个外角的度数． 【详解】解：∵多边形的外角和为360度， ∴正十二边形的每个外角度数为：． 故答案为：30． 12. 若直角三角形的两个锐角的比是，斜边长为8，则最短的直角边长为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，根据直角三角形的两个锐角互余，求出较小的锐角的度数为30度，根据30度所对的直角边是斜边的一半，进行求解即可． 【详解】解：设两个锐角的度数分别为， 则：， ∴， ∴直角三角形中较小的锐角度数为30度， ∵小角对小边，斜边长为8， ∴最短的直角边长为； 故答案为：4． 13. 如图，在中，，，平分，于点，的延长线交于点，为的中点，则长为________． 【答案】##2厘米 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，掌握这两个知识点是解题的关键.由题意可证明，则有，，从而求得，再由三角形中位线定理即可求得的长． 【详解】解：∵平分， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∴； ∵为的中点，， ∴； 故答案为：． 14. 菱形的周长为，对角线，则其面积等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题关键．根据菱形的周长可以计算菱形的边长，菱形的对角线互相垂直平分，已知，根据勾股定理即可求得的值，根据对角线长即可计算菱形的面积． 【详解】解：如图， 菱形的周长为， ， 菱形对角线互相垂直平分， ， ， ， 菱形的面积为， 故答案为：． 15. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用， 根据勾股定理得，由已知条件结合完全平方公式可得，进而求出，则此题可解． 【详解】解：根据勾股定理得， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴直角三角形的面积为． 故答案为：12． 16. 如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理等知识，垂线段最短；利用矩形的性质转化为求的最小值是解题的关键．连接，证明四边形是矩形，则，当取得最小值时，取得最小值，此时，利用面积相等即可求得的最小值，从而求解． 【详解】解：连接，如图所示； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当取得最小值时，取得最小值，此时； ∵，，， ∴由勾股定理得：； ∵， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：． 三、解答题（本题共9个小题，17、18、19每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17. 如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 【答案】 证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴． 【解析】 【分析】在和中，利用HL定理判定即可． 【详解】略 【点睛】本题考查直角三角形的判定，牢记判定定理并能够灵活应用是解题关键． 18. 如图，长方形中，，，求长方形面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，含角的直角三角形的性质，先根据矩形的性质得，，再结合等腰三角形的性质得，然后含角的直角三角形的性质和勾股定理，求得，最后根据矩形的面积公式得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴长方形面积． 19. 已知：如图，，，，，．求的面积． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积． 20. 在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）点关于轴的对称点坐标为__________； （2）将向左平移3个单位长度得到，请画出； （3）在（2）的条件下，的坐标为_________． 【答案】（1） （2） 向左平移3个单位长度后的如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标特征，画图形的平移，求平移后点的坐标；理解平移的性质，点关于坐标轴对称的特征是解题的关键； （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解； （2）求出点A、B、O三点平移后的坐标，再依次连接即可； （3）由点A的坐标得到平移后点的坐标． 【小问1详解】 解：点B的坐标为，它关于x轴对称的点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点A的坐标为，它向左平移3个单位后，点的坐标为； 故答案为：． 21. 如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．求证：四边形BEDF是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点， ∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF．在△BOE和△DOF中， ∵， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形． 【解析】 【详解】分析：根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论； 详解：略 点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键． 22. 为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注：）；②放出的风筝线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米． （1）求风筝的高度CE． （2）若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的高度CE为16.6米 （2）他应该往回收线7米． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 在Rt△CDB中， 由勾股定理得， ∴， CE＝CD＋DE＝15＋1.6＝16.6米， 答：风筝的高度CE为16.6米； 【小问2详解】 如图，设风筝沿CD方向下降9米至点，则， ， ， ， ∴他应该往回收线7米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 23. 如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）证明：四边形是菱形； （2）当时，请问四边形是什么特殊的四边形？并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵在中，，是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． （2） 四边形是正方形． 理由如下： 当时，为等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∴菱形是正方形． 【解析】 【分析】对于（1），先根据“AAS”证明，可得AF=CD，进而根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形ADCF是平行四边形，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案； 对于（2），先根据等腰直角三角形的性质得出AD⊥CD，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了菱形和正方形的判定，灵活的选择特殊平行四边形的判定定理是解题的关键． 24. 在四边形中，，，，，点从出发以的速度向运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t． 若是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用．熟练掌握平行四边形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 由题意知，分当点在线段上，当在线段上，两种情况求解；①当点在线段上，时，即，计算求解即可；②当在线段上，时，即，计算求解即可． 【详解】解：∵，是上一点，即， ∴，， ①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 解得； ②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 解得； 综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 25. 如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，正方形；矩形；菱形；平行四边形．是垂美四边形的是：______（填写序号）； （2）性质探究：如图，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：两组对边，与，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，且与相交于点，已知，，求长． 【答案】（1）①③ （2） 解：；理由如下： ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂美四边形的定义进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，，，，即可得出结论； （3）连接，，根据勾股定理得出，证明，得出，证明，得出，根据解析（2）的结论可知，，求出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：正方形的对角线互相垂直平分且相等； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形对角线互相垂直平分； 平行四边形的对角线互相平分； 因此是垂美四边形的是①③； 故答案为：①③； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，，如图所示： ∵在中，，， ∴， ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据解析（2）的结论可知，， ∵， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形和平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上期期中学业质量监测 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，25个小题．如有缺页，考生须声明． 亲爱的同学，请你沉着应考，细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答．祝你成功！ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 2，4，5 D. 6，8，10 3. 平行四边形中，，的平分线交于，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一直角边对应相等 D. 两锐角对应相等 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线相等 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 矩形的对角线一定互相垂直 6. 点关于轴对称点的坐标是(　　) A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（　　） A. 15 B. 12 C. 10 D. 14 8. 三角形的三边长分别为，则它最大边上的中线长为（ ） A. B. C. 10 D. 12 9. 一艘轮船以 16 海里∕时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里∕时从港口 A 出发向东南方向航行．离开港口 1 小时后，两船相距（ ） A. 12 海里 B. 16 海里 C. 20 海里 D. 28 海里 10. 如图，正方形的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，请将正确答案填写到答题卡上相应的位置，每小题3分，共18分） 11. 正十二边形的每一个外角等于______度． 12. 若直角三角形的两个锐角的比是，斜边长为8，则最短的直角边长为_________． 13. 如图，在中，，，平分，于点，的延长线交于点，为的中点，则长为________． 14. 菱形的周长为，对角线，则其面积等于_________． 15. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为________． 16. 如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为_____． 三、解答题（本题共9个小题，17、18、19每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17. 如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 18. 如图，长方形中，，，求长方形面积． 19. 已知：如图，，，，，．求的面积． 20. 在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）点关于轴的对称点坐标为__________； （2）将向左平移3个单位长度得到，请画出； （3）在（2）的条件下，的坐标为_________． 21. 如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．求证：四边形BEDF是平行四边形． 22. 为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注：）；②放出的风筝线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米． （1）求风筝的高度CE． （2）若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 23. 如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）证明：四边形是菱形； （2）当时，请问四边形是什么特殊的四边形？并说明理由． 24. 在四边形中，，，，，点从出发以的速度向运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t． 若是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？ 25. 如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，正方形；矩形；菱形；平行四边形．是垂美四边形的是：______（填写序号）； （2）性质探究：如图，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：两组对边，与，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，且与相交于点，已知，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $