专题04多边形易错必刷题型专项训练(15大题型共计45道题)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦多边形高频易错题型，通过典题特征与易错点梳理，系统构建从概念辨析到综合应用的解题方法体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与分类|题型01|定义辨析法（抓封闭性、正多边形双条件）|从多边形定义延伸至凸凹、正多边形概念| |边数与周长|题型02-03|分类讨论（截角三情况）、平移转化法|边数变化影响周长与图形性质| |面积与对角线|题型04-06|割补法（网格面积）、公式法（对角线公式）|面积计算与对角线数量的几何意义| |内角和与外角和|题型07-11|方程思想（内角和公式）、定值应用（外角和360°）|内角和与边数的函数关系，外角和不变性| |正多边形综合|题型12-15|性质迁移（内外角换算）、综合建模|正多边形性质与多边形通用性质的融合应用|

专题04多边形易错必刷题型专项训练 本专题汇总多边形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后的边数问题 题型03.多边形的周长 题型04.网格中多边形面积比较 题型05.多边形对角线的条数问题 题型06.对角线分成三角形个数问题 题型07.多边形内角和问题 题型08.多(少)算一个角问题 题型09.多边形截角后的内角和问题 题型10.复杂图形的内角和 题型11.多边形外角和的实际应用 题型12.正多边形概念辨析 题型13.正多边形的内角问题 题型14.正多边形的外角问题 题型15.多边形内角和与外角和综合 易错必刷题型01.多边形的概念与分类 典题特征：判定图形是否属于多边形，区分凸、凹多边形，依据定义辨别正多边形 易错点：忽略多边形封闭且线段首尾相接的核心条件；仅依据边长或角度单一条件判定正多边形，忽视二者需同时满足 1．下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 3．如图，五边形是正五边形，直线，点P在直线上运动，当点P至少与正五边形的两个顶点距离相等时，警报器就会发出警报，在直线上会发出警报的点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 易错必刷题型02.多边形截角后的边数问题 典题特征：已知原多边形边数，截取一个角后，推导新多边形的边数 易错点：未全面考虑三种截取位置，思考维度不全，解题易出现漏解情况 4．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 6．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 易错必刷题型03.多边形的周长 典题特征：利用线段平移转化方法，求解不规则封闭图形的周长 易错点：线段平移转换时计算失误，出现重复计量或遗漏边长的问题 7．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 8．如图是一个风筝设计图，其主体部分(四边形)关于所在的直线对称，与相交于点O，若，，则四边形的周长是_____． 9．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 易错必刷题型04.网格中多边形面积比较 典题特征：计算方格内格点多边形面积，对比多个图形的面积大小 易错点：运用割补法计算面积易产生计算误差；仅凭视觉直观判断面积，不进行精确演算 10．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 11．如图，网格中每个小方格的边长为1，的顶点均在格点上． (1)与关于直线l对称，请画出； (2)连接，，求四边形的面积． 12．【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 易错必刷题型05.多边形对角线的条数问题 典题特征：由多边形边数计算对角线条数，或根据对角线条数反求边数 易错点：记错对角线通用计算公式；求解后未验证结果是否为符合要求的正整数 13．一个多边形从一个顶点出发共有8条对角线，那么这个多边形是__________边形． 14．八边形的对角线一共有（    ）条 A．20 B．24 C．28 D．40 15．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数． 易错必刷题型06.对角线分成三角形个数问题 典题特征：从多边形单一顶点作对角线，计算分割形成的三角形数量 易错点：混淆不同连线方式的计算规律，记错对应数量计算公式 16．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 17．数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形(不计被分割的三角形)．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为______________． 18．【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 易错必刷题型07.多边形内角和问题 典题特征：根据边数计算内角和，或由内角和数值反向求解边数 易错点：误用多边形内角和公式，计算得出不符合取值范围的无效结果 19．在多边形内任取一点O，连接点O和多边形的各个顶点，多边形被分成8个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 20．如图，在五边形中，，，则的度数为_________． 21．如图，四边形中，，，和的角平分线交于点P，求的度数． 易错必刷题型08.多(少)算一个角问题 典题特征：根据错误统计的内角和，推算缺失或多计的内角度数与边数 易错点：不会利用单内角取值范围筛选答案，无法排除不合理计算结果 22．小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为________． 23．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 24．先阅读明明和芳芳的对话，再解答下列问题： (1)通过计算，明明发现自己少加了一个锐角，那么这个“少加的锐角”的度数是________． (2)明明求的是几边形的内角和 易错必刷题型09.多边形截角后的内角和问题 典题特征：多边形截角变形后，重新计算整体内角和度数 易错点：忽视截角引发的边数变化，直接套用原边数代入公式计算 25．将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 26．有一天，小红的爸爸想考考她，她爸爸说：今天我在做手工的时候，把一个多边形木板锯掉了一个角后得到一个新多边形木板，通过测量计算得到新多边形木板的内角和为，那么原多边形木板的边数是（    ） A．11 B．12 C．13 D．以上都有可能 27．阅读下题及解题过程． 如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？ 如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为． 上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论． 易错必刷题型10.复杂图形的内角和 典题特征：拆分复合型几何图形，整体求解多边形内角总和 易错点：图形拆解方式有误，错误判定参与运算的有效边数 28．如图，等于（    ） A． B． C． D． 29．如图，的度数为___________． 30．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 易错必刷题型11.多边形外角和的实际应用 典题特征：结合行进路线、方位转向等场景，解答角度类实际题型 易错点：混淆内角与外角定义概念，无法准确构建对应几何解题模型 31．如图所示文创设计师设计了一款拼图，其中，，，是该五边形的个外角，若，则的度数是________． 32．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 33．和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题． (1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由； (2)设的边数为 ①若，求的值； ②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 易错必刷题型12.正多边形概念辨析 典题特征：判断与正多边形相关命题的正误对错 易错点：概念认知片面，误将边长相等的多边形直接判定为正多边形 34．下列图形中，是正多边形的是（   ） A．等腰三角形 B．长方形 C．正方形 D．五边都相等的五边形 35．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 36．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 易错必刷题型13.正多边形的内角问题 典题特征：实现正多边形边数与单个内角度数的相互换算计算 易错点：内角与外角计算公式相互混淆，运算步骤易出现差错 37．禁令标志是交通标志中的一种，是对车辆加以禁止或限制的标志，如禁止通行、禁止停车、禁止左转弯、禁止鸣喇叭、限制速度、限制重量等．如图，该禁令标志外围多边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 38．图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M， ________°．    39．如图，小明从点出发，前进10米到达点，向右转再前进10米到达点，又向右转再前进10米到达…小明这样一直右转次刚好回到出发点．根据信息，解答下列问题： (1)的值为______； (2)小明走出的这个多边形周长为______； (3)若一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角的度数． 题型14.正多边形的外角问题 典题特征：依据多边形外角和定值定理，计算角度数值与边数 易错点：错误认知外角和性质，误认为外角和会随边数增减发生改变 40．某2026年亚运场馆的外观采用了正多边形设计，经计算，其内角和比外角和大，则该正多边形的边数为_________，它的每个外角的度数为_________°． 41．如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（    ） A． B． C． D． 42．如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如下图所示就是一组正多边形． （1）观察上面每个正多边形中的∠a，填写下表： 正多边形边数 4 5 6 ... n ∠a的度数                   ...       （2）是否存在正n边形使得∠a＝12°？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由． 易错必刷题型15.多边形内角和与外角和综合 典题特征：融合内外角知识点，解答综合性几何计算题型 易错点：两类定理公式混用混淆，无法准确梳理题干中的数量等量关系 43．一个多边形的每个内角都等于与它相邻的外角的5倍，这个多边形是______边形． 44．一个多边形的每一个外角都为，那么这个多边形的内角和是（    ）度 A．720 B．900 C．1080 D．1440 45．某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“多边形的两个外角的和等于与它不相邻的内角之和”．下面请同学们完成这个结论的证明并运用这个结论解题． 已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论证明】（1）如图1，证明：； 【结论应用】（2）如图2，若，分别平分四边形的外角和，与相交于点G，应用（1）的结论探究，α，β三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时，试探究，α，β之间的数量关系是________． （4）如图4，当时，试判断α，β之间的数量关系是________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04多边形易错必刷题型专项训练 本专题汇总多边形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后的边数问题 题型03.多边形的周长 题型04.网格中多边形面积比较 题型05.多边形对角线的条数问题 题型06.对角线分成三角形个数问题 题型07.多边形内角和问题 题型08.多(少)算一个角问题 题型09.多边形截角后的内角和问题 题型10.复杂图形的内角和 题型11.多边形外角和的实际应用 题型12.正多边形概念辨析 题型13.正多边形的内角问题 题型14.正多边形的外角问题 题型15.多边形内角和与外角和综合 易错必刷题型01.多边形的概念与分类 典题特征：判定图形是否属于多边形，区分凸、凹多边形，依据定义辨别正多边形 易错点：忽略多边形封闭且线段首尾相接的核心条件；仅依据边长或角度单一条件判定正多边形，忽视二者需同时满足 1．下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据四边形的定义，判断每个图形是否为四边形，四边形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形． 【详解】解：A项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； B项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； C项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； D项：该图形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形，符合四边形的定义，所以是四边形， 故选：D． 2．在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 3．如图，五边形是正五边形，直线，点P在直线上运动，当点P至少与正五边形的两个顶点距离相等时，警报器就会发出警报，在直线上会发出警报的点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题主要考查了正多边形与垂直平分线的性质，解答此题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 根据正五边形的特点，结合线段垂直平分线的性质确定不同的点即可． 【详解】解：根据垂直平分线的性质及正五边形的性质可知， 直线上会发出警报的点P有：、、、、的垂直平分线与直线的交点， 如图所示：共五个． 故选：C． 易错必刷题型02.多边形截角后的边数问题 典题特征：已知原多边形边数，截取一个角后，推导新多边形的边数 易错点：未全面考虑三种截取位置，思考维度不全，解题易出现漏解情况 4．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 5．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． 6．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 易错必刷题型03.多边形的周长 典题特征：利用线段平移转化方法，求解不规则封闭图形的周长 易错点：线段平移转换时计算失误，出现重复计量或遗漏边长的问题 7．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 8．如图是一个风筝设计图，其主体部分(四边形)关于所在的直线对称，与相交于点O，若，，则四边形的周长是_____． 【答案】/16厘米 【分析】根据轴对称的性质即可解决问题． 【详解】解：∵主体部分(四边形)关于所在的直线对称， ，， ∴四边形的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，四边形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． 9．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 易错必刷题型04.网格中多边形面积比较 典题特征：计算方格内格点多边形面积，对比多个图形的面积大小 易错点：运用割补法计算面积易产生计算误差；仅凭视觉直观判断面积，不进行精确演算 10．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 11．如图，网格中每个小方格的边长为1，的顶点均在格点上． (1)与关于直线l对称，请画出； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是作出对称点的位置． （1）先作出点A、B、C关于直线l的对称点、、，然后再顺次连接即可； （2）根据梯形面积公式求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：． 12．【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 【答案】(1)3；1；6； (2)①；②18 【分析】本题主要考查了新定义问题、平面直角坐标系中利用网格求图形面积、解二元一次方程组．求平面直角坐标系中图形面积时，常用的方法是割补法，即在图形外补出一个规则图形或者将所求图形分割成若干规则小图形． （1）利用网格即可求出四边形的面积S，根据图形数出内部的格点数N，边界上的格点数L即可． （2）①分别把，，和，，代入，建立健全二元一次方程组，即可求出，的值． ②先把a、b值代入，得，再把，代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可得：， ， ； 故答案为：3；1；6． （2）解：①分别把，，和，，代入，得 ，解得：， ②由①知：， 当，时，则， 解得：． 易错必刷题型05.多边形对角线的条数问题 典题特征：由多边形边数计算对角线条数，或根据对角线条数反求边数 易错点：记错对角线通用计算公式；求解后未验证结果是否为符合要求的正整数 13．一个多边形从一个顶点出发共有8条对角线，那么这个多边形是__________边形． 【答案】十一 【分析】从n边形的一个顶点出发有条对角线，根据题意列方程即可求解多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， ∴， ∴这个多边形是十一边形． 14．八边形的对角线一共有（    ）条 A．20 B．24 C．28 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握多边形对角线条数的计算公式是解题的关键．根据n边形对角线条数计算公式计算，即得答案． 【详解】当时，， 所以八边形的对角线共有20条． 故选：A． 15．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数． 【答案】这个多边形的边数是7，总对角线条数是14 【分析】本题考查了多边形的内角和公式、外角和定理及对角线条数公式，掌握多边形内角和公式、外角和为、对角线条数公式​是解题的关键． 先利用多边形外角和为的定理，结合内角和公式，根据内角和是外角和的倍少列方程求边数；再用多边形对角线条数公式计算总对角线条数． 【详解】解：设这个多边形的边数为． 由题意，得， 解得，即这个多边形的边数为． 总对角线条数为． 易错必刷题型06.对角线分成三角形个数问题 典题特征：从多边形单一顶点作对角线，计算分割形成的三角形数量 易错点：混淆不同连线方式的计算规律，记错对应数量计算公式 16．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】B 【详解】解：设这个多边形是边形， ∵边形过一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，题目中分成了个三角形， ∴， 解得， 因此这个多边形是五边形， 17．数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形(不计被分割的三角形)．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个，即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； ， 所以当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个． 故答案为：． 18．【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）11   （2）能，此时五边形内部有1011个点 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键； （1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式； （2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值． 【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：； 点的个数为2时：三角形的个数为：； 点的个数为3时：三角形的个数为：； 则点的个数为4时：三角形的个数为：； 点的个数为n时：三角形的个数为：． （2）原五边形能被分割成2025个三角形． 由题意，得， 解得（符合题意）， ∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点． 易错必刷题型07.多边形内角和问题 典题特征：根据边数计算内角和，或由内角和数值反向求解边数 易错点：误用多边形内角和公式，计算得出不符合取值范围的无效结果 19．在多边形内任取一点O，连接点O和多边形的各个顶点，多边形被分成8个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵多边形被分成8个三角形， ∴多边形为八边形 ∴这个多边形的内角和是． 20．如图，在五边形中，，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，再根据五边形的内角和为可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 21．如图，四边形中，，，和的角平分线交于点P，求的度数． 【答案】 【分析】先求出，再根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵和的角平分线交于点P， ∴， ∴． 易错必刷题型08.多(少)算一个角问题 典题特征：根据错误统计的内角和，推算缺失或多计的内角度数与边数 易错点：不会利用单内角取值范围筛选答案，无法排除不合理计算结果 22．小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为________． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意，把一个内角多加一次即为整除之后的余数是解答本题的关键．根据多边形内角和公式，内角和应是的倍数，且每个内角应大于而小于，根据这些条件进行分析求解． 【详解】解：由多边形内角和公式知， 多边形的内角和是的倍数， 多加的一个内角是的余数 即为 故答案为 23．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°， 则：（n-2）•180+x=1960， ∴x=2320-180n． ∵0°＜x＜180°， ∴0＜2320-180n＜180， 解得 ∵n为正整数， ∴n=12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角，多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 24．先阅读明明和芳芳的对话，再解答下列问题： (1)通过计算，明明发现自己少加了一个锐角，那么这个“少加的锐角”的度数是________． (2)明明求的是几边形的内角和 【答案】(1) (2)八边形 【分析】（1）设这个多边形是n边形，这个“少加的锐角”的度数是，其中n为整数且，，根据题意，得，求解即可； （2）由（1）即可解答． 【详解】（1）解：设这个多边形是n边形，这个“少加的锐角”的度数是，其中n为整数且，， 根据题意，得， ∴， ∵x，n为正整数， ∴，， ∴这个多边形是八边形，这个“少加的锐角”的度数是． （2）解：由（1）可得，明明求的是八边形的内角和． 易错必刷题型09.多边形截角后的内角和问题 典题特征：多边形截角变形后，重新计算整体内角和度数 易错点：忽视截角引发的边数变化，直接套用原边数代入公式计算 25．将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果． 【详解】如图所示： 多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原四边形变为三角形； 另一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是四边形；还有一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原四边形为五边形； 新的多边形的内角和可能是，或，或． 故选：D． 26．有一天，小红的爸爸想考考她，她爸爸说：今天我在做手工的时候，把一个多边形木板锯掉了一个角后得到一个新多边形木板，通过测量计算得到新多边形木板的内角和为，那么原多边形木板的边数是（    ） A．11 B．12 C．13 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， 原来多边形的边数是11或12或13． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况． 27．阅读下题及解题过程． 如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？ 如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为． 上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论． 【答案】不正确，见解析，正确结论是将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或． 【分析】一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，由此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形，据此分析即可得出答案． 【详解】上面的解答不正确，出错的原因是思考问题不全面．除了题目中的解法外，还要补充正确的解答如下： 如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是； 如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是． 所以将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 易错必刷题型10.复杂图形的内角和 典题特征：拆分复合型几何图形，整体求解多边形内角总和 易错点：图形拆解方式有误，错误判定参与运算的有效边数 28．如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 29．如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 30．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 易错必刷题型11.多边形外角和的实际应用 典题特征：结合行进路线、方位转向等场景，解答角度类实际题型 易错点：混淆内角与外角定义概念，无法准确构建对应几何解题模型 31．如图所示文创设计师设计了一款拼图，其中，，，是该五边形的个外角，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据多边形的外角和是求出的外角，即可求解． 【详解】解：由题可得的外角， 故． 32．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 【答案】D 【分析】根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，他需要转次才会回到原点， 所以一共走了（米）． 33．和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题． (1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由； (2)设的边数为 ①若，求的值； ②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 【答案】(1)嘉嘉的说法不正确，理由见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题； （1）根据多边形的外角和始终为，即可求解； （2）根据多边形内角和定理列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：嘉嘉的说法不正确； 理由：多边形的外角和始终为，与多边形的边数无关； （2）①， 解得， 即的值为； ②， 整理得， 解得． ∴无论取何值，的值始终不变． 易错必刷题型12.正多边形概念辨析 典题特征：判断与正多边形相关命题的正误对错 易错点：概念认知片面，误将边长相等的多边形直接判定为正多边形 34．下列图形中，是正多边形的是（   ） A．等腰三角形 B．长方形 C．正方形 D．五边都相等的五边形 【答案】C 【分析】该题考查了正多边形的定义，正多边形需所有边相等且所有角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵正多边形定义：各边相等，各角相等； A．等腰三角形不一定各边都相等，各角也不一定都相等，不是正多边形，不符合题意； B．长方形角相等但边不一定相等，不是正多边形，不符合题意； C．正方形四边相等且四角均为，是正多边形，符合题意； D．五边都相等的五边形边相等但角不一定相等，不是正多边形，不符合题意； 故选：C． 35．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 36．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 易错必刷题型13.正多边形的内角问题 典题特征：实现正多边形边数与单个内角度数的相互换算计算 易错点：内角与外角计算公式相互混淆，运算步骤易出现差错 37．禁令标志是交通标志中的一种，是对车辆加以禁止或限制的标志，如禁止通行、禁止停车、禁止左转弯、禁止鸣喇叭、限制速度、限制重量等．如图，该禁令标志外围多边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可得，该标志为正八边形， 即． 38．图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M， ________°．    【答案】45 【分析】分别求出等腰三角形和等腰三角形的底角，再通过的内角和求出，最后利用邻补角关系求得的度数． 【详解】解： 八边形为正八边形， ， ， 为等腰三角形， ， ， 为等腰三角形， ， 与交于点， 在中，，， ， 点，， C在同一直线上， ． 39．如图，小明从点出发，前进10米到达点，向右转再前进10米到达点，又向右转再前进10米到达…小明这样一直右转次刚好回到出发点．根据信息，解答下列问题： (1)的值为______； (2)小明走出的这个多边形周长为______； (3)若一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角的度数． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键． （1）根据多边形的外角和等于，即可求解； （2）用多边形的边数乘以的长，即可求解； （3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：15 （2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形， ∴这n边形的周长为（米）； 故答案为：150 （3）解：设这个多边形有条边， 根据题意，得， 解得，                ∴这个正m边形的每一个内角的度数为． 题型14.正多边形的外角问题 典题特征：依据多边形外角和定值定理，计算角度数值与边数 易错点：错误认知外角和性质，误认为外角和会随边数增减发生改变 40．某2026年亚运场馆的外观采用了正多边形设计，经计算，其内角和比外角和大，则该正多边形的边数为_________，它的每个外角的度数为_________°． 【答案】 8 45 【分析】设该正多边形的边数为，根据多边形内角和公式与外角和定理列出关于的一元一次方程，解方程求出边数，再根据正多边形的外角和定理计算每个外角的度数． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 由题意得， 解得， 所以该正多边形的边数为， 因为正多边形的每个外角相等，且外角和为， 所以每个外角的度数为． 41．如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：在五边形中，， ∴． 42．如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如下图所示就是一组正多边形． （1）观察上面每个正多边形中的∠a，填写下表： 正多边形边数 4 5 6 ... n ∠a的度数                   ...       （2）是否存在正n边形使得∠a＝12°？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，15 【分析】（1）根据正多边形的外角和，求得内角的度数，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理即可求得的度数； （2）根据（1）的结论，将代入求得的值即可 【详解】解：（1）正多边形的每一个外角都相等，且等于 则正多边形的每个内角为， 根据题意，正多边形的每一条边都相等，则所在的等腰三角形的顶角为：，另一个底角为， 当时， 当时， 当时， 故答案为： （2）存在．设存在正n边形使得， ∴，解得． 【点睛】本题考查了正多边形的外角和与内角的关系，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据正多边形的外角与内角互补求得内角是解题的关键． 易错必刷题型15.多边形内角和与外角和综合 典题特征：融合内外角知识点，解答综合性几何计算题型 易错点：两类定理公式混用混淆，无法准确梳理题干中的数量等量关系 43．一个多边形的每个内角都等于与它相邻的外角的5倍，这个多边形是______边形． 【答案】十二 【分析】先判断该多边形为正多边形，设出一个外角度数，根据相邻内角与外角的数量关系结合邻补角性质求出外角度数，再利用多边形外角和定理求出边数即可． 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都等于与它相邻的外角的5倍， ∴该多边形为正多边形， 不妨设该多边形的一个外角为，则与它相邻的内角为． 由邻补角的性质可得． 解得． ∵多边形的外角和为， ∴该多边形的边数为． 44．一个多边形的每一个外角都为，那么这个多边形的内角和是（    ）度 A．720 B．900 C．1080 D．1440 【答案】C 【分析】利用任意多边形的外角和为求出边数，再根据多边形内角和公式计算内角和，即可选出正确答案； 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每一个外角都为， ∴该多边形的边数为， ∴该多边形内角和为． 45．某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“多边形的两个外角的和等于与它不相邻的内角之和”．下面请同学们完成这个结论的证明并运用这个结论解题． 已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论证明】（1）如图1，证明：； 【结论应用】（2）如图2，若，分别平分四边形的外角和，与相交于点G，应用（1）的结论探究，α，β三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时，试探究，α，β之间的数量关系是________． （4）如图4，当时，试判断α，β之间的数量关系是________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）由四边形内角和得到，然后结合平角的定义即可证明； （2）由角平分线得到，，由得到，然后结合四边形内角和求解即可； （3）同（2）的方法求解即可； （4）如图所示，过点C作，同（2）得到，然后结合平行线的性质等量代换得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵在四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，分别平分四边形的外角和， ∴，， ∵， ∴， ∵优角， ∴优角， ∵优角， ∴， ∴整理得，； （3）如图所示， ∵四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵优角， ∴优角， ∵优角， ∴， ∴整理得，； （4）如图所示，过点C作， ∵，分别平分四边形的外角和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了多边形内角和和外角和，角平分线的定义，平行线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $