专题08正方形易错必刷题型专项训练(18大题型共计54道题)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

**基本信息** 以18类易错题型为载体，系统梳理正方形性质与判定的应用，通过典题特征与易错点提炼，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质理解|3题|对比矩形菱形性质，强化对称轴数量记忆|从边、角、对角线到对称性的概念生成| |角度计算|3题|利用对角线分直角、三角形内角和推导|性质应用的基础技能训练| |线段与面积|6题|对角线与边长关系（√2倍）、面积公式（对角线²/2）|性质定量计算的递进| |折叠与重叠|6题|折叠用轴对称等量关系，重叠面积用全等转化|空间观念与转化思想培养| |判定应用|6题|“矩形+菱形”双重条件验证，避免步骤缺失|性质到判定的逻辑推导| |综合问题|12题|动点分类讨论、坐标系坐标转化、中点四边形规律|性质与判定的跨知识整合|

专题08正方形易错必刷题型专项训练 本专题汇总正方形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.正方形性质理解 题型02.由正方形的性质求角度 题型03.由正方形的性质求线段长 题型04.由正方形的性质求面积 题型05.正方形折叠问题 题型06.求正方形重叠部分面积 题型07.正方形的性质证明 题型08.证明四边形是正方形 题型09.正方形的判定定理理解 题型10.添条件使四边形是正方形 题型11.由正方形性质与判定求线段长 题型12.由正方形性质与判定求面积 题型13.由正方形性质与判定证明 题型14.正方形与动点问题 题型15.正方形与最值问题 题型16.正方形与坐标系综合 题型17.中点四边形 题型18.特殊平行四边形对称性求阴影面积 易错必刷题型01.正方形性质理解 典题特征：直接考正方形边、角、对角线、对称性的基础题，多为选择、判断题。 易错点：① 把正方形和矩形、菱形的性质弄混，比如错以为矩形对角线互相垂直、菱形对角线相等② 忘记正方形有4条对称轴，只记得2条 1．下面选项中，最能全面概括正方形对角线性质的是（   ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．相等，且互相垂直平分 2．如图，是一个正方形花园，是一条小路，现准备继续修建两条观光小路和，若小路长为15米，则小路长为_______米． 3．将菱形、菱形和正方形按如图所示的位置摆放，与间的距离为．已知，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型02.由正方形的性质求角度 典题特征：给正方形里的线段、点的位置，求某个角的度数。 易错点：① 忘了正方形对角线会把直角分成两个45°角② 不会结合三角形内角和、全等三角形来推角度，只会硬算 4．如图，在正方形中，E为上一点．若，则________． 5．如图，分别以正方形的顶点A，B为圆心，的长为半径作弧，两弧在正方形的内部交于点E，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是正方形，点E在正方形的外部，是等边三角形，连接，，，与交于点F，再连接． (1)求的度数． (2)求证：垂直平分． 易错必刷题型03.由正方形的性质求线段长 典题特征：已知正方形边长/对角线，求内部、外部线段的长度。 易错点：① 记错对角线和边长的关系：对角线=边长×√2，算成边长=对角线×√2 ② 勾股定理计算出错，或者不会用线段等量代换 7．如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．如图，在正方形的内部，作等边三角形，过点E作的平行线分别交、于点M，N，若，则，之间的距离为______． 9．如图，中，，，D是上一动点，以为边在的右侧作正方形，连接． (1)①求证：； ②四边形的面积为； (2)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)随着点D的运动，点E也在运动，在动点D从点B运动到点C的过程中，直接写出点E的运动路径的长． 易错必刷.题型04.由正方形的性质求面积 典题特征：已知边长、对角线或部分图形，求正方形或相关图形的面积。 易错点：① 用对角线算面积时，忘记除以2（正确公式：面积=对角线²÷2） ② 分割图形时漏算、多算，把面积和周长公式弄混 10．如图，正方形的面积为，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______． 11．如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 12．如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 易错必刷题型05.正方形折叠问题 典题特征：把正方形沿某条直线折叠，求折叠后的线段长、角度或面积。 易错点：① 忽略折叠前后对应边、对应角完全相等② 不会用折痕的轴对称性找等量关系，勾股定理列方程写错 13．如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为____________． 14．用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 15．如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 易错必刷题型06.求正方形重叠部分面积 典题特征：两个正方形（或正方形和其他图形）重叠，求重叠区域的面积。 易错点：① 不会用全等三角形把不规则重叠部分转化成规则图形② 找不到重叠部分和正方形面积的比例关系，计算时重复、漏算区域 16．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 17．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 18．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 易错必刷题型07.正方形的性质证明 典题特征：用正方形的性质，证明线段相等、角相等、垂直/平行关系。 易错点：① 证明过程跳步，逻辑不严谨，比如没说清用了正方形的哪条性质② 误用矩形、菱形的性质代替正方形的性质 19．如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 20．如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边上，，过点E作，分别交于点G、F，点H、M、N、P分别是的中点，则的长是________． 21．如图1，正方形的对角线，相交于点，在上任取一点，连接，过点作垂直于，交于点，连接． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，矩形的对角线，相交于点，，分别为、边上的点．连接，．已知，，，求的长度．（结果保留根号） 易错必刷题型08.证明四边形是正方形 典题特征：给四边形的边、角、对角线条件，证明它是正方形。 易错点：① 证明步骤不全，比如只证了是矩形，没证邻边相等；只证了是菱形，没证有直角② 混淆判定定理的条件，比如直接用“对角线相等且垂直”就判定是正方形 22．如图，有下列条件：，；③，；④，，其中，能判定是正方形的有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 23．四边形的对角线、相交于点O，给出下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥；请从中选取4个条件，使四边形为正方形，你的选择是__________（写出一种即可） 24．如图，菱形的对角线相交于点O，在上截取，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形是正方形． 易错必刷题型09.正方形的判定定理理解 典题特征：考正方形的判定方法，多为选择、判断题。 易错点：① 搞不清判定逻辑：要先证矩形再证菱形，或先证菱形再证直角② 错把“对角线相等且垂直的四边形”当成正方形，漏掉“互相平分”这个关键条件 25．学习了四边形之后，王老师用如下图所示的方式表示了四边形与特殊的四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（  ） A．M表示菱形，N表示正方形 B．M表示正方形，N表示菱形 C．M表示正方形，N表示梯形 D．M表示菱形，N表示梯形 26．如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是_____（只需添加一个）． 27．满足下列条件的四边形是正方形的是（    ） A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的菱形 C．对角线相等的矩形 D．有一个角是直角且邻边相等的平行四边形 易错必刷题型10.添条件使四边形是正方形 典题特征：已知四边形是矩形/菱形/平行四边形，补一个条件让它成正方形。 易错点：① 补的条件没用，比如给矩形加“对角线相等”，本来矩形对角线就相等，没用② 补的条件不充分，比如给菱形加“对角线相等”才对，错加成“对角线互相垂直” 28．已知一个四边形是矩形，要使它成为一个正方形，在下列给出的条件中，可添加（   ） A．有一个角是 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线相等 29．如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 30．如图，四边形中，，E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)当四边形满足______（添一个条件）时，四边形为正方形． 易错必刷题型11.由正方形性质与判定求线段长 典题特征：先判定四边形是正方形，再用性质求线段长度。 易错点：① 判定正方形时条件不够，就直接用正方形性质计算② 后续计算误用矩形、菱形的性质，勾股定理算错数 31．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________．    32．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 33．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，连接DE、BE． (1)如图1，若∠CDE＝20°，则∠ABE的度数为______； (2)如图2，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD＝4，若DE平分∠BDC，求△BDE的面积； (3)如图3，过点E作EF⊥DE交AB于点F，若EF＝BF，AF＝22，求CE的长． .易错必刷题型12.由正方形性质与判定求面积 典题特征：先判定正方形，再算它的面积或相关图形面积。 易错点：① 判定错了，导致面积计算全错② 用对角线算面积时漏除以2，分割图形时算错 34．如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为______． 35．如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 36．综合与实践 如图，在等腰直角中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造等腰，，连接． 特例感知 （1）如图1，请判断与之间的位置关系和数量关系，并说明理由； 拓展应用 （2）点F与点C关于对称，连接，，，如图2．已知，设． ①的面积为_______（用含x的代数式表示）； ②当时，请直接写出的长度． 易错必刷题型13.由正方形性质与判定证明 典题特征：先判定正方形，再用性质证明线段、角的关系。 易错点：① 判定过程逻辑不严谨，跳步、漏条件② 把性质和判定弄反，比如用性质去做判定，用判定去做性质证明 37．如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 38．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 39．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 易错必刷题型14.正方形与动点问题 典题特征：正方形里有动点运动，求线段长、面积、角度的变化或最值。 易错点：① 不会分类讨论动点在不同边上的情况② 忽略动点运动的起点、终点、临界位置③ 列线段、面积的函数关系式时出错 40．如图，边长为2的正方形的对角线相交于点O，点E是边上的动点，连接并延长交的延长线于点P，过点O作交于点F，交延长线于点Q，连接． （1）的度数为________； （2）若点E恰好是中点时，则的长度为________． 41．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 42．如图，四边形是正方形，是边上一动点（不与点重合），连接． (1)如图，以为直角边，构造等腰直角三角形，连接，求证：； (2)在（）的条件下，当点运动时，的大小会不会发生变化？如果会变化，请说明理由；如果不会变化，请求出的度数； (3)如图，以为斜边，构造等腰直角三角形，连接，当点运动时，试探究，的数量关系并证明． 易错必刷题型15.正方形与最值问题 典题特征：在正方形里求线段和、面积的最大值/最小值。 易错点：① 不会用轴对称（将军饮马模型）把折线转化成直线求最短② 忽略正方形的边长、角度限制，乱套最值公式③ 计算最值时算错数 43．如图，已知正方形的边长为8，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，，则的最小值为____． 44．如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，点P是对角线上一动点，则的最小值为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 45．如图1，点E是正方形内的一点，已知． (1)若，，求的度数； (2)如图2，连接，探究和的数量关系； (3)如图3，若正方形的边长为2，点E在正方形对角线上运动，线段是否存在最小值，如果存在，请求出的最小值；如果不存在，请说明理由． .易错必刷题型16.正方形与坐标系综合 典题特征：在平面直角坐标系里，结合正方形性质求点坐标、线段长、面积。 易错点：① 坐标计算出错，比如横纵坐标弄反② 不会用正方形的边、对角线和坐标轴的平行/垂直关系③ 把坐标长度和实际线段长度弄混 46．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 47．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 48．将正方形放置在平面直角坐标系中，与原点重合，点的坐标为，点的坐标为，并且实数使式子成立． (1)直接写出点的坐标：___________，___________． (2)，且交正方形外角的平分线于点． ①如图①，求证； ②如图②，连接交于点，作交于点，作交于点，连接，求四边形的面积． (3)如图③，连接正方形的对角线，若点在上运动，点在上运动，且，则的最小值为___________． 易错必刷题型17.中点四边形 典题特征：求任意四边形/特殊四边形的中点四边形的形状、周长、面积。 易错点：① 记不住中点四边形的形状规律：比如矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形② 不会用三角形中位线定理推导，只会死记硬背，换个图形就错 49．顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做四边形的中点四边形，矩形的中点四边形是___________． 50．四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形，四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 51．如图，顺次连接四边形各边中点，，，，得到的四边形是平行四边形吗？为什么？ 易错必刷题型18.特殊平行四边形对称性求阴影面积 典题特征：用正方形（或矩形、菱形）的轴对称/中心对称性，求阴影部分面积。 易错点：① 不会用对称性把分散的阴影拼成规则图形，只会硬算② 忽略中心对称图形的面积等分性，多算、漏算③ 把轴对称和中心对称弄混，用错转化方法 52．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 53．如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 54．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08正方形易错必刷题型专项训练 本专题汇总正方形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.正方形性质理解 题型02.由正方形的性质求角度 题型03.由正方形的性质求线段长 题型04.由正方形的性质求面积 题型05.正方形折叠问题 题型06.求正方形重叠部分面积 题型07.正方形的性质证明 题型08.证明四边形是正方形 题型09.正方形的判定定理理解 题型10.添条件使四边形是正方形 题型11.由正方形性质与判定求线段长 题型12.由正方形性质与判定求面积 题型13.由正方形性质与判定证明 题型14.正方形与动点问题 题型15.正方形与最值问题 题型16.正方形与坐标系综合 题型17.中点四边形 题型18.特殊平行四边形对称性求阴影面积 易错必刷题型01.正方形性质理解 典题特征：直接考正方形边、角、对角线、对称性的基础题，多为选择、判断题。 易错点：① 把正方形和矩形、菱形的性质弄混，比如错以为矩形对角线互相垂直、菱形对角线相等② 忘记正方形有4条对称轴，只记得2条 1．下面选项中，最能全面概括正方形对角线性质的是（   ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．相等，且互相垂直平分 【答案】D 【详解】解：正方形的对角线相等且互相垂直平分． 2．如图，是一个正方形花园，是一条小路，现准备继续修建两条观光小路和，若小路长为15米，则小路长为_______米． 【答案】 15 【详解】解：连接， 四边形为正方形， ∴垂直平分， ∴， ∵米， ∴米． 3．将菱形、菱形和正方形按如图所示的位置摆放，与间的距离为．已知，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，相交于点，作于点，则，证明是等边三角形，求得，利用直角三角形的性质求得，据此计算即可求解． 【详解】解：连接，相交于点，作于点，则， 根据题意点是菱形、菱形和正方形的中心， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴正方形的面积为． 易错必刷题型02.由正方形的性质求角度 典题特征：给正方形里的线段、点的位置，求某个角的度数。 易错点：① 忘了正方形对角线会把直角分成两个45°角② 不会结合三角形内角和、全等三角形来推角度，只会硬算 4．如图，在正方形中，E为上一点．若，则________． 【答案】70 【分析】由正方形的性质可得，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，平分， ， ， ． 5．如图，分别以正方形的顶点A，B为圆心，的长为半径作弧，两弧在正方形的内部交于点E，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到是等边三角形，求出，然后结合正方形得到，，进而求解即可． 【详解】解：连接，， 由作图得，， 是等边三角形， ， 在正方形中，，， ，， ， ． 6．如图，四边形是正方形，点E在正方形的外部，是等边三角形，连接，，，与交于点F，再连接． (1)求的度数． (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据等腰三角形的性质即可得； （2）参考（1）的方法，先求出，再根据角的和差可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段垂直平分线的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 易错必刷题型03.由正方形的性质求线段长 典题特征：已知正方形边长/对角线，求内部、外部线段的长度。 易错点：① 记错对角线和边长的关系：对角线=边长×√2，算成边长=对角线×√2 ② 勾股定理计算出错，或者不会用线段等量代换 7．如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点．掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点D是斜边的中点， ∴． 故选：D． 8．如图，在正方形的内部，作等边三角形，过点E作的平行线分别交、于点M，N，若，则，之间的距离为______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得出边长及平行关系，利用勾股定理求出点 到 的距离，进而求得 与 之间的距离． 【详解】解： 四边形 是正方形，， ，，，， ，， ∴，， ∴点到的距离等于与之间的距离，即的长， 是等边三角形， ，， ∴， 在 中，， 由勾股定理得， ，， 与 之间的距离为． 9．如图，中，，，D是上一动点，以为边在的右侧作正方形，连接． (1)①求证：； ②四边形的面积为； (2)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)随着点D的运动，点E也在运动，在动点D从点B运动到点C的过程中，直接写出点E的运动路径的长． 【答案】(1)①见解析；②8 (2)，理由见解析 (3)8 【分析】（1）①由正方形的性质得到，，推出，即可证明； ②由得到，然后推出； （2）由得到，，求出，然后利用勾股定理求解即可； （3）过点A作于点M，过点E作于点N，证明出，得到，，然后证明出是等腰直角三角形，得到，点E在下方与夹角为的线段上运动，然后确定点E的起点和终点，进而求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴； ②∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接 ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴； （3）解：如图，过点A作于点M，过点E作于点N， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴点E在下方与夹角为的线段上运动 如图，当点D和点B重合时，点F和点C重合， ∵四边形是正方形 ∴； 如图，当点D和点C重合时， ∵四边形是正方形 ∴； ∴点E的运动路径的长为． 易错必刷.题型04.由正方形的性质求面积 典题特征：已知边长、对角线或部分图形，求正方形或相关图形的面积。 易错点：① 用对角线算面积时，忘记除以2（正确公式：面积=对角线²÷2） ② 分割图形时漏算、多算，把面积和周长公式弄混 10．如图，正方形的面积为，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】根据正方形性质和线段中点的性质得到，进而得到，同理可得，最后利用四边形的面积正方形的面积个小三角形面积求解，即可解题． 【详解】解：正方形的面积为4， ，， 点，，，分别为边，，，的中点， ， ， 同理可得， 四边形的面积为． 11．如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，由正方形的性质可得，，则，，结合等量代换可得． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 12．如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据，，可以证明，从而得出，由此即可得出结论； （2）连接、，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，再根据正方形对角线相等和菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 菱形为正方形． （2）解：连接、，如图所示：   于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 四边形为正方形， ∴， 正方形的面积． 易错必刷题型05.正方形折叠问题 典题特征：把正方形沿某条直线折叠，求折叠后的线段长、角度或面积。 易错点：① 忽略折叠前后对应边、对应角完全相等② 不会用折痕的轴对称性找等量关系，勾股定理列方程写错 13．如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据折叠的性质，只要求出就可以求出，在直角中，若设，则，，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长． 【详解】解：由翻折可知， 根据题意设，则， 又点为边的中点， ， 在中，，即， 解得：， 即． 故答案为：． 14．用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由折叠得：，垂直平分，，故，那么为等边三角形，即可判断①②；由四边形是正方形得到，那么，由三角形内角和定理可得，故③正确；对于和，通过勾股定理计算说明不相等即可． 【详解】解：由折叠得：，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故①②正确， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为等边三角形，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ 故④正确， 综上所述正确的有：①②③④； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 15．如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质找到条件，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ∵把沿折叠得到， ，， ，， 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是正方形， ， ∵， ， 设，则 为中点， ， 则， 在中， ， ， 解得， ∴，． 易错必刷题型06.求正方形重叠部分面积 典题特征：两个正方形（或正方形和其他图形）重叠，求重叠区域的面积。 易错点：① 不会用全等三角形把不规则重叠部分转化成规则图形② 找不到重叠部分和正方形面积的比例关系，计算时重复、漏算区域 16．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 【答案】13.5// 【分析】将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形， ∴由平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为6-3=3（cm），长为6-1.5=4.5（cm）， ∴S阴影部分=3×4.5=13.5 （cm2）， 故答案为13.5cm2． 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义． 17．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的．根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 【详解】解：正方形和正方形的边长都是2， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是1， 故选：A． 18．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 【答案】（1）45；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案； （2）由正方形的性质得，，然后证明可证明结论成立； （3）由（2）可得，进而可求出2024个边长为1的全等正方形重叠在一起阴影部分的面积． 【详解】解：（1）一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形． 故答案为：45； （2）证明：在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知，， ∴， ∴， ∵2024个边长为1的全等正方形重叠在一起， ∴正方形重叠阴影部分的面积为： 易错必刷题型07.正方形的性质证明 典题特征：用正方形的性质，证明线段相等、角相等、垂直/平行关系。 易错点：① 证明过程跳步，逻辑不严谨，比如没说清用了正方形的哪条性质② 误用矩形、菱形的性质代替正方形的性质 19．如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，可得，从而得到，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 20．如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边上，，过点E作，分别交于点G、F，点H、M、N、P分别是的中点，则的长是________． 【答案】 【分析】先证四边形和都是矩形，由是等腰直角三角形，M是的中点，可得．由“矩形的对角线相等且互相平分”可得，且N是的中点．根据勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ． 又， ， ， ∴四边形和都是矩形， ． ． ， 是等腰直角三角形． ∵M是的中点， ， ． ∵四边形是矩形， ． 又∵N是的中点， ∴N是的中点， ． 21．如图1，正方形的对角线，相交于点，在上任取一点，连接，过点作垂直于，交于点，连接． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，矩形的对角线，相交于点，，分别为、边上的点．连接，．已知，，，求的长度．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质证明，再由全等三角形的性质得，，最后由勾股定理即可求解； （2）延长交于点，连接，由矩形的性质证明，再由全等三角形的性质证明垂直平分，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴； （2）解：如图，延长交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴． 在中， ∵， 由勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 易错必刷题型08.证明四边形是正方形 典题特征：给四边形的边、角、对角线条件，证明它是正方形。 易错点：① 证明步骤不全，比如只证了是矩形，没证邻边相等；只证了是菱形，没证有直角② 混淆判定定理的条件，比如直接用“对角线相等且垂直”就判定是正方形 22．如图，有下列条件：，；③，；④，，其中，能判定是正方形的有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定是解题的关键．根据平行四边形的性质，矩形、菱形以及正方形的判定方法对各组条件进行判断即可得出答案． 【详解】解：①，   根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确； ②，； 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确； ③，； 由是平行四边形，可得与互相平分，而， 所以，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确； ④，， 由，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形； 由是平行四边形，可得与互相平分，，则， 所以，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确． 则①②③④均能判定是正方形． 故选：D． 23．四边形的对角线、相交于点O，给出下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥；请从中选取4个条件，使四边形为正方形，你的选择是__________（写出一种即可） 【答案】③④⑤⑥（答案不唯一） 【分析】先判定四边形是平行四边形，再根据③对角线相等判定平行四边形为矩形，最后根据④对角线互相垂直的矩形是正方形得到结论． 【详解】解：选择③④⑤⑥，理由如下： ，， ∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ， ∴ 平行四边形是矩形，（对角线相等的平行四边形是矩形） ， ∴ 矩形是正方形，（对角线互相垂直的矩形是正方形）． 24．如图，菱形的对角线相交于点O，在上截取，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】由菱形性质得 ，；由 及 ，得 ，即 与 互相平分且相等，故四边形 是矩形；再由 ，得矩形 是正方形． 【详解】证明： 四边形 是菱形， ，． ， ． 与 互相平分，且 ． 四边形 是矩形． 又， 矩形 是正方形． 易错必刷题型09.正方形的判定定理理解 典题特征：考正方形的判定方法，多为选择、判断题。 易错点：① 搞不清判定逻辑：要先证矩形再证菱形，或先证菱形再证直角② 错把“对角线相等且垂直的四边形”当成正方形，漏掉“互相平分”这个关键条件 25．学习了四边形之后，王老师用如下图所示的方式表示了四边形与特殊的四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（  ） A．M表示菱形，N表示正方形 B．M表示正方形，N表示菱形 C．M表示正方形，N表示梯形 D．M表示菱形，N表示梯形 【答案】B 【分析】根据特殊的平行四边形的概念判断即可． 【详解】∵矩形和菱形是特殊的平行四边形，正方形既是菱形也是矩形， ∴M代表正方形，N代表矩形， 故选：B． 【点睛】本题考查的是特殊的平行四边形，正确理解矩形、菱形、正方形之间的关系是解题的关键. 26．如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是_____（只需添加一个）． 【答案】 【分析】由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出四边形是菱形，再由，即可判定四边形是正方形． 【详解】添加条件：，理由如下： 四边形是平行四边形， 四边形是菱形 四边形是正方形 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③先判定四边形是平行四边形，再用①②进行判定． 27．满足下列条件的四边形是正方形的是（    ） A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的菱形 C．对角线相等的矩形 D．有一个角是直角且邻边相等的平行四边形 【答案】D 【分析】根据正方形的判定方法即可求解． 【详解】解：、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，选项错误，不符合题意； 、对角线互相垂直的长方形是正方形，选项错误，不符合题意； 、对角线相等的菱形是正方形，选项错误，不符合题意； 、有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，选项正确，符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的判定，掌握“对角线相互垂直的矩形是正方形”，“对角线相等的菱形是正方形”，“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”，“有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形”的知识是解题的关键． 易错必刷题型10.添条件使四边形是正方形 典题特征：已知四边形是矩形/菱形/平行四边形，补一个条件让它成正方形。 易错点：① 补的条件没用，比如给矩形加“对角线相等”，本来矩形对角线就相等，没用② 补的条件不充分，比如给菱形加“对角线相等”才对，错加成“对角线互相垂直” 28．已知一个四边形是矩形，要使它成为一个正方形，在下列给出的条件中，可添加（   ） A．有一个角是 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】B 【分析】根据正方形的判定定理，判断哪个条件可将矩形变为正方形. 【详解】解：∵原四边形已经是矩形 ∴矩形本身四个角都是，对角线互相平分且相等，因此选项A，C，D给出的条件都是矩形已有的性质，不能推出矩形是正方形； 根据正方形的判定定理，对角线互相垂直的矩形是正方形，因此添加“对角线互相垂直”的条件，可使矩形成为正方形. 29．如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 30．如图，四边形中，，E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)当四边形满足______（添一个条件）时，四边形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线定理可证明，再由，可证明，据此可证明结论； （2）由三角形中位线定理得到，当时，，则菱形为正方形． 【详解】（1）证明：∵E、F、G、H分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：当四边形满足时，四边形为正方形，理由如下： 由（1）可得分别是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴菱形为正方形． 易错必刷题型11.由正方形性质与判定求线段长 典题特征：先判定四边形是正方形，再用性质求线段长度。 易错点：① 判定正方形时条件不够，就直接用正方形性质计算② 后续计算误用矩形、菱形的性质，勾股定理算错数 31．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________．    【答案】 【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 32．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，则，根据折叠性质得出四边形为正方形，求出和的长，再根据第二次折叠求出，进而得出的长，最后计算长方形的长宽比． 【详解】解：设， 长方形的长与宽比值为， ， 由折叠可知， ，，， ， 四边形为正方形， ，， ∵长方形 ∴ ∴， ∴点共线， ∴， 同理可得，三点共线， 由折叠可得，， ∴ 长与宽的比值为． 33．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，连接DE、BE． (1)如图1，若∠CDE＝20°，则∠ABE的度数为______； (2)如图2，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD＝4，若DE平分∠BDC，求△BDE的面积； (3)如图3，过点E作EF⊥DE交AB于点F，若EF＝BF，AF＝22，求CE的长． 【答案】(1)70° (2) (3) 【分析】（1）证明△ADE≌△ABE，根据全等三角形对应角相等的性质，求出∠ADE的度数即可； （2）根据正方形的性质和勾股定理，求出AC、BD和AO的长度，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理可求出∠ADE和∠AED的度数，易证AD=AE，根据OE=AE-AO即可求出三角形的高，最后用三角形的面积公式即可求出面积； （3）过点E作EG⊥AB，垂足为点G，过点E作EH⊥BC，垂足为点H，证明△EFB为等边三角形，设BG=FG=x，则BE=2x，易证△AEG和△CEH为等腰直角三角形，根据AG=EG求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴AD=AB，∠DAE=∠BAE，∠ABC=90°， 在△ADE和△ABE中， AD=AB，∠DAE=∠BAE，AE=AE， ∴△ADE≌△ABE（SAS）， ∴∠ADE=∠ABE， ∵∠CDE＝20°， ∴∠ABE=∠ABC-∠CDE=70°， ∴∠ADE=70°， 故答案为：70°． （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=CD=4，∠ADC=90°，∠ODC=∠ADO=∠DAE=45°， 在Rt△ADC中，根据勾股定理可得：， ∴BD=AC=，AO=AC=， ∵DE平分∠BDC， ∴∠ODE=∠BDC =22.5°， ∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=67.5°， 在△ADE中，∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=67.5°， ∴∠ADE=∠AED，则：AD=AE=4， ∵AE=4，AO=， ∴OE=AE-OA=4-， ∵AC⊥BD， ∴． （3）过点E作EG⊥AB，垂足为点G，过点E作EH⊥BC，垂足为点H， ∵EF⊥DE，四边形ABCD为正方形， ∴∠DAF=90°，∠DEF=90°， ∴在四边形AFED中，∠AFE+∠ADE=180°， ∵∠AFE+∠EFB=180°， ∴∠ADE=∠EFB， 由（1）可知，∠ADE=∠ABE， ∴∠ABE=∠EFB，则EF=EB， ∵EF=BF， ∴△EFB为等边三角形， ∴∠BEG=30°，则BE=2BG， 设BG=FG=x，则BE=2x， 根据勾股定理得：， ∵∠EAG=45°，EG⊥AB， ∴△AGE为等腰直角三角形，则AG=EG， 22+x=，解得：x=2， ∵∠HBG=90°，∠EGB=90°，∠EHB=90°， ∴四边形EGBH为矩形， ∴EH=BG=2， ∵∠ECH=45°，EH⊥BC， ∴△CEH为等腰直角三角形， ∴CH=EH=2， 根据勾股定理得：CE= 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关内容是解题的关键． .易错必刷题型12.由正方形性质与判定求面积 典题特征：先判定正方形，再算它的面积或相关图形面积。 易错点：① 判定错了，导致面积计算全错② 用对角线算面积时漏除以2，分割图形时算错 34．如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为______． 【答案】4 【分析】本题考查正方形的判定，正多边形的性质，多边形内角和定理．正确判定出中间空白四边形为正方形是解题的关键． 先根据正八边形边长为2得出中间空白四边形的边长为2，再根据多边形内角和与正多边形的性质，得出中间空白四边形的每个内角为 【详解】解：∵正八边形的边长为2， ∴中间空白四边形的边长为2， ∵中间空白四边形的每个内角为：， ∴中间空白四边形为正方形， ∴中间空白四边形的面积为， 故答案为：4． 35．如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 36．综合与实践 如图，在等腰直角中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造等腰，，连接． 特例感知 （1）如图1，请判断与之间的位置关系和数量关系，并说明理由； 拓展应用 （2）点F与点C关于对称，连接，，，如图2．已知，设． ①的面积为_______（用含x的代数式表示）； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1）,  （2）①  ②或 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质，根据证明，即可得到结论； （2）①连接交于，根据勾股定理求出的长，然后根据（1）的结论，根据勾股定理表示，然后根据对称得到四边形是正方形，即可得到解题即可；②作于， 连接，表示，长，利用勾股定理求出长，然后根据求出x值即可． 【详解】（1），， ∵， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， 即； （2）解：①连接交于， 则， ， ， ，且，， ， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴， ， ∵， ， ， ∴四边形是正方形， ， ∴故答案为：； ②过作于， 则是等腰直角三角形， ， ， 连接，由直角三角形性质得， ， ， ， ， 则， ， ， 解得或 或 ． 易错必刷题型13.由正方形性质与判定证明 典题特征：先判定正方形，再用性质证明线段、角的关系。 易错点：① 判定过程逻辑不严谨，跳步、漏条件② 把性质和判定弄反，比如用性质去做判定，用判定去做性质证明 37．如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，可证，，，，由此即可求解． 【详解】解：正方形中，点是边的中点， ∴，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，，为公共边， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论②正确； ∵与是等底等高的两个三角形， ∴与的面积相等，，即， ∵，， ∴，故结论③正确； 由结论①，②可知，， ∵， ∴， ∴．故结论④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判断和性质，等底等高的两个三角形面积相等知识的综合，掌握正方形的性质，三角形全等的判断和性质是解题的关键． 38．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 39．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 易错必刷题型14.正方形与动点问题 典题特征：正方形里有动点运动，求线段长、面积、角度的变化或最值。 易错点：① 不会分类讨论动点在不同边上的情况② 忽略动点运动的起点、终点、临界位置③ 列线段、面积的函数关系式时出错 40．如图，边长为2的正方形的对角线相交于点O，点E是边上的动点，连接并延长交的延长线于点P，过点O作交于点F，交延长线于点Q，连接． （1）的度数为________； （2）若点E恰好是中点时，则的长度为________． 【答案】 /45度 【分析】作于H，由正方形的性质可以证明得到，因此是等腰直角三角形，得到，由等腰直角三角形的性质求出，的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长． 【详解】解：作于，连接， ∵四边形是正方形， ∴和是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵，点是中点 ∴，，， ∴，则， ∴， ∴． 41．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】证明得到，又可得四边形是矩形，得到，即可判断①；由点为的中点，可得和为的中位线，即可判断②；由，可得，进而可得，即可判断③；由四边形为正方形，得，，可证明，得到，即得，又由，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； 若点为的中点，则， ∵，， ∴，， ∴和为的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由①可知四边形是矩形， ∴四边形是正方形，故②正确； 若，则， ∵， ∴，故③错误； 若四边形为正方形，则，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④． 42．如图，四边形是正方形，是边上一动点（不与点重合），连接． (1)如图，以为直角边，构造等腰直角三角形，连接，求证：； (2)在（）的条件下，当点运动时，的大小会不会发生变化？如果会变化，请说明理由；如果不会变化，请求出的度数； (3)如图，以为斜边，构造等腰直角三角形，连接，当点运动时，试探究，的数量关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)的大小不会发生变化， (3)，证明见解析 【分析】（）利用余角性质即可求证； （）如图，过点作，交的延长线于点，可证 ，得到，，进而可得，得到是等腰直角三角形，即得到，即可求解； （）如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，可证四边形 、、 、、都是矩形，得到，，，，，即得，同理（）可证，，进而得到，得 ，得到四边形是正方形，即得到，即得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，为直角边， ∴， ∴， ∴； （2）解：的大小不会发生变化，，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点，则， 由（）知，， ∴ ， ∵是等腰直角三角形，为直角边， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的大小不会发生变化，为； （3）解： ，证明如下： 如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形 、、 、、都是矩形， ∴，，，，， ∴， 同理（）可证， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是正方形， ∴ ，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 易错必刷题型15.正方形与最值问题 典题特征：在正方形里求线段和、面积的最大值/最小值。 易错点：① 不会用轴对称（将军饮马模型）把折线转化成直线求最短② 忽略正方形的边长、角度限制，乱套最值公式③ 计算最值时算错数 43．如图，已知正方形的边长为8，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，，则的最小值为____． 【答案】 【分析】连接，由正方形可得，，再可得四边形是矩形，则的最小值即为的最小值，当时，最短，利用等面积法求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形的边长为8， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∵P是对角线上一点， ∴当时，最短，此时， ∴， ∴的最小值为． 44．如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，点P是对角线上一动点，则的最小值为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】通过作辅助线转化的值，根据两点之间线段最短可得就是的最小值，求出的值即得出的最小值． 【详解】解：连接， 正方形， 点C关于的对称点为点A， ， 根据两点之间线段最短可得就是的最小值， 正方形的边长为4，， ， ， 的最小值是5． 45．如图1，点E是正方形内的一点，已知． (1)若，，求的度数； (2)如图2，连接，探究和的数量关系； (3)如图3，若正方形的边长为2，点E在正方形对角线上运动，线段是否存在最小值，如果存在，请求出的最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)EF=CE，见解析 (3)存在，线段EF的最小值为2 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，由三角形内角和定理求出的度数，根据正方形的性质得到，利用求解即可； （2）根据全等三角形的性质得到、，进而求出，利用勾股定理求出与的数量关系； （3）根据正方形的性质得到，，当时，最小，即最小，根据直角三角形的性质求出，进而得到，利用勾股定理求出长，从而求出长． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形是正方形， ， ； （2）解：，理由如下： ， 、， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：； （3）解：四边形是正方形， ， 由（2）可知，， 要使最小，则需最小， 如图，当时，最小，即最小， 在中，、， ， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、三角形内角和定理、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． .易错必刷题型16.正方形与坐标系综合 典题特征：在平面直角坐标系里，结合正方形性质求点坐标、线段长、面积。 易错点：① 坐标计算出错，比如横纵坐标弄反② 不会用正方形的边、对角线和坐标轴的平行/垂直关系③ 把坐标长度和实际线段长度弄混 46．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为，证明得出四边形是正方形，进而根据，，得出,即可求解． 【详解】解：如图，过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为， ∴，则四边形是矩形 ∵四边形是正方形，对角线，交于点． ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴四边形是正方形 ∴ 设 ∴， 解得： ∴ ∴ 47．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，则． 48．将正方形放置在平面直角坐标系中，与原点重合，点的坐标为，点的坐标为，并且实数使式子成立． (1)直接写出点的坐标：___________，___________． (2)，且交正方形外角的平分线于点． ①如图①，求证； ②如图②，连接交于点，作交于点，作交于点，连接，求四边形的面积． (3)如图③，连接正方形的对角线，若点在上运动，点在上运动，且，则的最小值为___________． 【答案】(1)，； (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）根据算术平方根和平方数的非负性，求出、的值，得到点、的坐标． （2）①通过取中点构造全等三角形，利用证明，得出；②通过构造全等三角形，结合勾股定理求出的长度，再计算四边形的面积． （3）通过构造全等三角形将转化为，将的最小值转化为的长度，再利用勾股定理求出的值． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，； （2）解：取的中点，连接， ， ， ， ， ，， ， 为的中点， ， ， ， 是正方形外角的平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ． ②延长，并在延长线上截取，连接， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 由知， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 在中， ， 解得， ， ； （3）解：在正方形外角平分线上取点，使， 四边形是正方形， ， ， 在和中， , ， ， ， 当，，三点共线时，的值最小，即为的长， 过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在中，， ∴的最小值为 易错必刷题型17.中点四边形 典题特征：求任意四边形/特殊四边形的中点四边形的形状、周长、面积。 易错点：① 记不住中点四边形的形状规律：比如矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形② 不会用三角形中位线定理推导，只会死记硬背，换个图形就错 49．顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做四边形的中点四边形，矩形的中点四边形是___________． 【答案】 菱形 【分析】利用三角形中位线定理可得中点四边形对边平行且等于原矩形对角线的一半，结合矩形对角线相等的性质，可得中点四边形邻边相等，根据平行四边形和菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：设矩形，，，，分别是，，，的中点，连接，， 根据三角形中位线定理，可得：，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 矩形的对角线相等， ， ， ， 平行四边形是菱形． 50．四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形，四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形． 【详解】解：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． 51．如图，顺次连接四边形各边中点，，，，得到的四边形是平行四边形吗？为什么？ 【答案】四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】连接，利用三角形中位线定理证明，进而即可得出结论. 【详解】解：四边形是平行四边形， 理由：连接， 点、是、的中点， 是△的中位线； ，； 同理：，； ， 四边形是平行四边形． 易错必刷题型18.特殊平行四边形对称性求阴影面积 典题特征：用正方形（或矩形、菱形）的轴对称/中心对称性，求阴影部分面积。 易错点：① 不会用对称性把分散的阴影拼成规则图形，只会硬算② 忽略中心对称图形的面积等分性，多算、漏算③ 把轴对称和中心对称弄混，用错转化方法 52．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 53．如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【详解】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， .四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 54．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)81608 【分析】本题考查了图形的变化类、新概念以及平方差公式的应用，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键． （1）根据奇特数的概念进行判断即可； （2）利用阴影部分面积为，运用平方差进行运算，进而求得答案即可． 【详解】（1）解：∵ ∴是奇特数； ∵8、16、24这三个数都是奇特数，它们都是的倍数，而不是的倍数 ∴不是奇特数； 故答案为：是，不是． （2） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $