精品解析：陕西西安市阎良区2025 ～ 2026 学年度第二学期期中阶段作业 八年级数学

2025～2026学年度第二学期期中阶段作业 八年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】根据最简二次根式的定义判断： 解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 2. 下列各组数中是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】勾股数是满足的三个正整数，根据定义对各选项逐一验证即可得到答案． 【详解】解：根据勾股数定义，需同时满足，①三个数均为正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方， A选项：∵ ，，， ∴A选项的三个数不是勾股数，不符合题意； B选项：∵ ，，不是正整数， ∴B选项的三个数不是勾股数，不符合题意； C选项：∵ ，，不是正整数， ∴C选项的三个数不是勾股数，不符合题意； D选项：∵ ，，即，且三个数均为正整数， ∴D选项的三个数是勾股数，符合题意． 3. 如图，是的中位线，已知，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线求解即可； 【详解】解：因为是的中位线，且， 故； 4. 从九边形的一个顶点出发作对角线，可将该九边形分成的三角形个数为（ ） A. 9个 B. 8个 C. 7个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】从边形的一个顶点出发作对角线，可将多边形分成个三角形，代入九边形的边数计算即可得到结果． 【详解】解：∵从边形的一个顶点出发作对角线，可将边形分成个三角形，该多边形为九边形，即， ∴可分成的三角形个数为． 5. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项． 【详解】解：A、，故正确； B、，故错误； C、3，计算正确，故正确； D、，故正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟记二次公式的性质． 6. 如图，在平面直角坐标系中，的边，．若点在坐标原点上，且边与轴正半轴重合，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求得，即可得到点的坐标为． 【详解】解：∵的边，， ∴， ∴点的坐标为． 7. 如图，菱形的边长，对角线，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，设的交点为点O，由菱形的性质得出，  ，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长，根据菱形的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，设的交点为点O， ∵四边形是菱形，， ∴， ， ∴  ， ∴， ∴菱形的面积． 故选：D． 8. 如图，在中，，为的中点，于点，若，，则为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．由，为，，根据直角三角形斜边上中线的性质即可求得的长，然后由勾股定理求得的长．解题的关键是掌握：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，将被开方数分解为完全平方数与剩余因数的乘积，即可完成化简． 【详解】解：= ． 10. 用一些全等的正五边形按如图所示的方式拼接，围成一圈后中间也形成一个正多边形，则中间形成的这个正多边形的边数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的边数，先求出正五边形的内角度数，进而求出中间形成的正多边形的内角度数，再根据多边形内角和公式列出方程解答即可求解，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】解：正五边形的内角度数为， ∴中间形成的正多边形的内角度数为， 设中间形成的正多边形的边数为， 则， 解得， ∴中间形成的这个正多边形的边数为， 故答案为：． 11. “海阔千江辏，风翻大浪随”，海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，将代入， 则 解得（舍负）， ∴估计风速为 12. 如图，在梯形中，，点是边的中点，连接、、，请写出一个三角形和的面积相等：_____．（写出一个即可） 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据题意可得两点到的距离相等，根据三角形的面积公式确定相等的底和高即可求解． 【详解】解：在梯形中，，可得两点到的距离相等， 点是边的中点，则， 则和的面积相等的三角形有、， 故答案为：（或） 13. 如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】设，则由折叠可得，，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵，点D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴线段的长为． 14. 在矩形中，点E是的中点，连接，，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 延长，相交于点，根据矩形的性质和，易证，得，则，根据角平分线，可得，，再利用，易证，得，，从而，得是等腰三角形，进而得，根据角之间的关系求出的度数，最后利用三角形内角和计算即可求解． 【详解】解：如图，延长，相交于点， 矩形， ，，， 点E是的中点， ， ()， ，则， 平分， ， ， ，则 平分， 在和中， ， ， ， ， ，即是等腰三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：. 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 16. 已知一个直角三角形的三边长分别是，且为该直角三角形的最长边长，求这个直角三角形的周长． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵一个直角三角形的三边长分别是，且为该直角三角形的最长边长 ∴由勾股定理得， 解得（舍负）， ∴这个直角三角形的周长为：． 17. 已知等式成立，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出m的值，进而求出n的值，最后代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵等式成立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，已知，请用尺规作图法，以线段为对角线作正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧交于点B和点D，连接，则四边形即为所求． 【详解】解：如图所示，四边形即为所求； 19. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE． 求证：BE=DF． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OD＝OB，再由全等三角形的判定证△BEO≌△DFO即可； 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵AF＝CE， ∴AF-OA＝CE-OC， 即OF＝OE， 在△BEO和△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（SAS）， ∴BE＝DF． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20. 现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C．求木板（中剩余部分（阴影部分）的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据正方形面积公式求出A、B、C三个正方形木板的边长，进而确定大长方形木板的长和宽，再根据阴影部分面积等于大长方形木板的面积减去A、B、C三个正方形木板的面积计算求解即可． 【详解】解：由题意得，大长方形木板的长为，宽为， ∴阴影部分面积为． 21. 如图，是菱形的一条对角线，延长，分别至点和点，且使，，连接．判断四边形的形状并说明理由． 【答案】四边形为矩形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及矩形的判定，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 根据，可得四边形为平行四边形，根据菱形可得，从而得到，进而得到四边形为矩形． 【详解】解：四边形为矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 在菱形中，， ∴， ∴四边形为矩形． 22. 如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】18米 【解析】 【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 23. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据是的中点，，易证得，即可得，又由在中，，是的中点，可得，证得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形. 【详解】证明：如图， ∵， ， 是的中点，是边上的中线， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ∴四边形是菱形. 【点睛】本题考查了菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．根据图形求解是关键． 24. 如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． （1）求渔船与渔船之间的距离； （2）若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】（1）500海里 （2）360海里 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； 【小问2详解】 解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 25. 材料：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，我们称与互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如： 阅读上述材料，解答下列问题： （1）的有理化因式是_____；（写出一个即可） （2）化去式子分母中的根号，结果为：_____；（直接写出结果） （3）请根据材料，计算下列式子的值： ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知与的乘积不含二次根式，即互为有理化因式； （2）利用分母有理化及平方差公式即可得到本题答案； （3）将括号内每个分数进行化简，再相加继而得到，再利用平方差公式即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴与互为有理化因式； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 26. 【问题探究】 （1）如图1，是正方形的对角线，点是边上的点，连接，点是对角线上的点，连接，且．试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道（点M、N分别在上），且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点Q作于点E，于点F，由正方形的性质得到，则可证明和四边形是正方形，再证明，得到，则可证明，据此可得结论； （2）过点N作于点E，于点F，于点G，连接，证明，得到，则可证明，进而得到，则可求出，进一步推出，故当最小时，最小，即此时的周长最小，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即此时的周长最小，证明是等边三角形，得到当时，，则此时，据此可得答案． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图所示，过点Q作于点E，于点F， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，且， ∴矩形是正方形， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：如图所示，过点N作于点E，于点F，于点G，连接， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，即此时的周长最小， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，即此时的周长最小， 由菱形的性质可得， 又∵， ∴是等边三角形， ∴当时，， ∴此时， ∴的周长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期中阶段作业 八年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，是的中位线，已知，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 从九边形的一个顶点出发作对角线，可将该九边形分成的三角形个数为（ ） A. 9个 B. 8个 C. 7个 D. 6个 5. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，的边，．若点在坐标原点上，且边与轴正半轴重合，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的边长，对角线，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. D. 8. 如图，在中，，为的中点，于点，若，，则为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 计算：________． 10. 用一些全等的正五边形按如图所示的方式拼接，围成一圈后中间也形成一个正多边形，则中间形成的这个正多边形的边数为_____． 11. “海阔千江辏，风翻大浪随”，海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为_____． 12. 如图，在梯形中，，点是边的中点，连接、、，请写出一个三角形和的面积相等：_____．（写出一个即可） 13. 如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 14. 在矩形中，点E是的中点，连接，，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 已知一个直角三角形的三边长分别是，且为该直角三角形的最长边长，求这个直角三角形的周长． 17. 已知等式成立，求的值． 18. 如图，已知，请用尺规作图法，以线段为对角线作正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE． 求证：BE=DF． 20. 现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C．求木板（中剩余部分（阴影部分）的面积． 21. 如图，是菱形的一条对角线，延长，分别至点和点，且使，，连接．判断四边形的形状并说明理由． 22. 如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 23. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．求证：四边形是菱形． 24. 如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． （1）求渔船与渔船之间的距离； （2）若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 25. 材料：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，我们称与互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如： 阅读上述材料，解答下列问题： （1）的有理化因式是_____；（写出一个即可） （2）化去式子分母中的根号，结果为：_____；（直接写出结果） （3）请根据材料，计算下列式子的值： ． 26. 【问题探究】 （1）如图1，是正方形的对角线，点是边上的点，连接，点是对角线上的点，连接，且．试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道（点M、N分别在上），且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $