精品解析：广东省梅州市五华县2025-2026学年第二学期七年级数学期中学习能力检测试题

2025-2026学年第二学期七年级期中学习能力检测题 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能写在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 一箭双雕 B. 刻舟求剑 C. 水涨船高 D. 竹篮打水 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机事件的概念，根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义，逐一判断各选项的事件类型即可得到答案． 【详解】在一定条件下，必然会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件． 选项A的一箭双雕，事件可能发生也可能不发生，符合随机事件定义； 选项B的刻舟求剑，不可能实现，是不可能事件，不是随机事件； 选项C的水涨船高，水位上涨后船必然随之上浮，是必然事件，不是随机事件； 选项D的竹篮打水，一定无法留住水，是不可能事件．不是随机事件； 2. 2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数，原数绝对值小于1时为负整数，据此解答即可． 【详解】解：． 3. 如图，天然气主管道的同侧有，两个小区，某市计划从主管道引一条支管道连接，两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间线段最短可得B方案小于C，D方案，再根据垂线段最短得到B方案小于A方案即可解题． 【详解】解：根据垂线段最短和两点间线段最短，可得所引天然气支管道长度最短的是B选项， 故答案为：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解；选项A：，错误． 选项B：，错误． 选项C：，正确． 选项D：，错误． 5. 如图，在四边形中，点在边的延长线上，添加下列条件能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，，，不能判断，不符合题意，选项错误； 选项，，不能判断，不符合题意，选项错误； 选项，，，符合题意，选项正确； 选项，，，不能判断，不符合题意，选项错误． 故选；． 6. 下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平方差公式的使用条件为：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，满足条件才能使用平方差公式，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； B．，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； C．，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； D．，两项都互为相反数，没有完全相同的项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算． 7. 如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，最后再由平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 8. 若一个正方形的边长增加，它的面积就增加，则这个正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设原正方形的边长为未知数，根据面积增加量列出方程，化简求解即可得到结果． 【详解】解：设这个正方形的边长为，依题意得 展开左边得 化简得 解得，即 ∴这个正方形的边长为． 9. 如图，某同学的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了余角的性质，对顶角的性质，根据反射定律和余角的性质可得，结合对顶角的性质可得，即可求解． 【详解】解：根据反射定律知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（ ） A. ①②③ B. ③④ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质可证，即可判断③，再根据平行线的性质结合已知角度关系即可判断①②，题目条件无法判断④． 【详解】解：， ，，故③正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①②正确； 题目条件无法证明平分，故④不正确． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则的补角等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据互为补角的两角之和为，结合度分换算规则计算即可得到答案. 【详解】解： ， ∴的补角等于 ， 12. 在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共50个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在30%，则可估计口袋中白球个数是_______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据多次试验后频率稳定在概率附近，用总球数乘以摸到白球的频率即可估计白球个数，掌握频率与概率的关系是解题的关键. 【详解】解：总球数为，摸到白球的频率稳定在， 白球个数为（个）， 可估计口袋中白球的个数是， 13. 如图，点A，B，C分别代表王老师的家，图书馆，学校．已知图书馆在王老师家的北偏东方向上，学校在图书馆的北偏西方向上．则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，再根据平角的定义即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得， ， ． 14. 如图，在中，，，点，分别在，上，将沿折叠得到，且满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，由平行线的性质可得，再结合折叠的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴． 15. 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为8时，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将式子变形为的形式，再求解的值． 【详解】解： ， ∵代数式的值为8， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】分别计算有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂和立方运算，再按照运算顺序进行加减运算． 【详解】解： ． 17. 如图，直线，相交于点，上有一点（不在直线上）． （1）过点作直线（点在点左侧），使（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用同位角相等，两直线平行解决问题； （2）利用平行线的性质以及对顶角相等解决问题． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问2详解】 解：， ， ． 18. 在某校七年级（1）班组织的“校园歌曲大赛”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． （1）求小丽获胜的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，如何使这个游戏变得公平？ 【答案】（1）； （2）这个游戏不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）求出小丽获胜的概率小芳获胜的概率，得出游戏不公平；要使游戏公平，转盘上的偶数和奇数的个数相等即可． 【小问1详解】 解：小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成份，其中偶数有个，即、、、， 小丽获胜的概率是； 【小问2详解】 解：这个游戏不公平，理由如下： 由（1）可知，小丽获胜的概率是， 转盘上的奇数有个，即、， 小芳获胜的概率为， ， 小丽获胜的概率小芳获胜的概率， 这个游戏不公平； 修改方案：将转盘上的数字改为、、、、、（答案不唯一）， 此时，小丽获胜的概率，小芳获胜的概率， 小丽获胜的概率小芳获胜的概率，游戏公平． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据整式的混合运算法则进行化简，再根据非负数的性质求出、的值，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴当，时， 原式 ． 20. 如图，在三角形中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由推出，再根据平行线的性质得到，结合推出，从而证明． （2）先由，得．进而求得．再根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴−−． ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 探究不同情境，回答下面问题： （1）发现：两个差为8的正整数的积与16的和总是某个正整数的平方． 验证：①一个数为2，另一个数为10，它们的差为8，则的结果是哪个正整数的平方？ ②若较小的正整数是，算出这两个正整数的积与16的和，并说明该结果是哪个正整数的平方． （2）延伸：两个差为6的正整数的积与的和始终为某个数的平方，若较小的正整数为，求的值． 【答案】（1）①；②和为，是的平方 （2） 【解析】 【分析】（1）①先计算出式子的值，即可得出结果；②由题意可得另一个正整数为，表示出这两个正整数的积与16的和为，再结合完全平方公式计算即可得出结果； （2）由题意可得另一个正整数为，表示出这两个正整数的积与的和为，再结合完全平方公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：①， ∵， ∴的结果是的平方； ②∵较小的正整数是，两个正整数的差为8， ∴另一个正整数为， ∴这两个正整数的积为， ∴这两个正整数的积与16的和为， ∵， ∴该结果是的平方； 【小问2详解】 解：∵较小的正整数为，两个正整数的差为6， ∴另一个正整数为， ∴这两个正整数的积为， ∴这两个正整数的积与的和为， ∵，且两个差为6的正整数的积与的和始终为某个数的平方， ∴由完全平方公式可得． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与探究 若满足，求的值． 解：设，，则，，． （1）【类比探究】若满足，求的值； （2）【联系拓展】若满足，求的值； （3）【解决问题】如图，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 【答案】（1）； （2）； （3）平方单位． 【解析】 【分析】（1）先求出和的和，利用完全平方公式求出答案即可； （2）先求出和的差，利用完全平方公式求出答案即可； （3）先根据题意求出和，再根据长方形的面积为平方单位，求出，再求出，然后根据完全平方公式求出即可． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：，， ； 【小问3详解】 解：由题意可知：，，， ，， 长方形的面积， ， ， ， 阴影部分的面积和为平方单位． 23. 综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过O作，利用平行公理得到，利用平行线的性质得到，，两式相加可得结论； （2）设，利用邻补角定义可得；利用平行线的性质可推导出，进而可得结论； （3）过点F作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】解：（1）如图所示，过O作， ， ， ∴，， ∴， 即； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）设， 过点F作， ， ， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期七年级期中学习能力检测题 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能写在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 一箭双雕 B. 刻舟求剑 C. 水涨船高 D. 竹篮打水 2. 2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，天然气主管道的同侧有，两个小区，某市计划从主管道引一条支管道连接，两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，点在边的延长线上，添加下列条件能判断的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若一个正方形的边长增加，它的面积就增加，则这个正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某同学的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（　　） A. B. C. D. 10. 如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（ ） A. ①②③ B. ③④ C. ②③ D. ①②③④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则的补角等于_______． 12. 在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共50个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在30%，则可估计口袋中白球个数是_______． 13. 如图，点A，B，C分别代表王老师的家，图书馆，学校．已知图书馆在王老师家的北偏东方向上，学校在图书馆的北偏西方向上．则的度数是_______． 14. 如图，在中，，，点，分别在，上，将沿折叠得到，且满足，则_______． 15. 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为8时，则的值为_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 如图，直线，相交于点，上有一点（不在直线上）． （1）过点作直线（点在点左侧），使（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，若，求的度数． 18. 在某校七年级（1）班组织的“校园歌曲大赛”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． （1）求小丽获胜的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，如何使这个游戏变得公平？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 化简求值：，其中． 20. 如图，在三角形中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 21. 探究不同情境，回答下面问题： （1）发现：两个差为8的正整数的积与16的和总是某个正整数的平方． 验证：①一个数为2，另一个数为10，它们的差为8，则的结果是哪个正整数的平方？ ②若较小的正整数是，算出这两个正整数的积与16的和，并说明该结果是哪个正整数的平方． （2）延伸：两个差为6的正整数的积与的和始终为某个数的平方，若较小的正整数为，求的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与探究 若满足，求的值． 解：设，，则，，． （1）【类比探究】若满足，求的值； （2）【联系拓展】若满足，求的值； （3）【解决问题】如图，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 23. 综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $