精品解析： 2025年浙江省杭州市上城区中考一模数学试卷

2024学年第二学期九年级学情调查 九年级数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中最小的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，点，， 在 上，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段在横格纸上，与作业本的横线交于点，若，则 的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 某校第一次体育中考结束后还有30位同学未达到满分30分，这30位同学的成绩统计如下表（每个同学的分数都是整数），小明是其中一位未满分同学．若去掉小明的成绩，则剩下的29位同学的成绩中，下列统计量一定不受影响的是（ ） 成绩 25分及以下 26分 27分 28分 29分 人数 2 1 3 9 15 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 如图，在中，， ，，把绕直线 旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 某班级共有位学生，现将 个枇杷作为午餐水果分发给学生．若每人发2个，则还剩10个；若每人发3个，则还缺30个．下列四个方程： ①；②；③；④，其中符合题意的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 9. 已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，， ，点 为对角线的中点，为线段 上一点，连结，并延长交于点 ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点，交于点．再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交线段 于点 ．则下列两个命题中说法正确的是（ ） 为等腰三角形； 设 长为 ，长为 ，则． A. 正确，正确 B. 正确，错误 C. 错误，正确 D. 错误，错误 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：=___． 12. 因式分解___________． 13. 年月，国家卫健委联合部门正式启动“体重管理年”三年行动．陈老师为响应号召，给自己制定了五个锻炼项目，分别是：快走，慢跑，游泳，俯卧撑和深蹲．其中快走，慢跑，游泳属于有氧运动，俯卧撑和深蹲属于无氧运动．若今天陈老师随机选择其中一项运动进行锻炼，则选中的项目是有氧运动的概率是___________． 14. 如图，在中， ，是边上的中线，点到 的距离为2，则___________． 15. 把电阻值分别为的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值（单位：）满足．当时，___________． 16. 如图，在正方形中，点、 分别在边、上，且，点关于直线的对称点在线段 的延长线上，与交于点． （1）若点与点关于直线 对称，则___________； （2）若，则___________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 用数轴解不等式组． 19. 在中， 平分，是 边上的高，． （1）求 的度数； （2）若，求的长度． 20. 中国的人工智能领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表： 九年级学生最常使用的“”软件统计表 软件 使用人数 百分比 18 12 豆包 腾讯元宝 6 其他软件 8% 九年级学生最常使用的“软件统计图” （1）请写出统计表中的值： ___________，___________； （2）已知九年级有400位同学，试估算最常使用“”的同学有多少位？ （3）小城了解到：使用“”和“”组合生成的效果很好，堪称“王炸组合”．现从“”、“”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是""和""的概率． 21. 某项目学习小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力 （单位：）一定时，木板面积（单位：）与人和木板对地面的压强（单位：）成反比例．当木板面积为时，人和木板对地面的压强为． （1）求关于的函数表达式； （2）当木板面积为时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过 ，木板面积至少要多大？请说明理由． 22. 定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用表示．如图，菱形和菱形 是组合菱形，其中与共线，且满足． （1）组合比 ___________； （2）若 ，求的长； （3）若 ，求证：． 23. 设二次函数． （1）若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标； （2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围． 24. 如图1， 为的外接圆，且，点为圆外一动点，且满足，连结，交 于点，交 于点 ，连结． （1）若经过圆心，求 的长； （2）求证：平分； （3）如图2，若，设，请用含的代数式表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期九年级学情调查 九年级数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中最小的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了有理数比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是； 故选D． 2. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 3. 如图，点，，在 上，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理，即可计算． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了同底数幂相乘，幂的乘方，合并同类项，同底数幂相除．根据同底数幂相乘，幂的乘方，合并同类项，同底数幂相除，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 5. 如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段在横格纸上，与作业本的横线交于点，若，则 的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是解题的关键．过点作横线的垂线，交点所在横线于点，交点所在横线于点，根据题意可知，再由平行线分线段成比例定理得到，据此求解即可． 【详解】解：过点作横线的垂线，交点所在横线于点，交点所在横线于点，如图所示， 则， ， ，即， ， 故选：B． 6. 某校第一次体育中考结束后还有30位同学未达到满分30分，这30位同学的成绩统计如下表（每个同学的分数都是整数），小明是其中一位未满分同学．若去掉小明的成绩，则剩下的29位同学的成绩中，下列统计量一定不受影响的是（ ） 成绩 25分及以下 26分 27分 28分 29分 人数 2 1 3 9 15 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数和方差的有关计算，解题的关键是熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的定义．根据相关的定义和公式，进行判断即可． 【详解】解：假设去掉的一个数是29，则去掉这个数后，仍然29最多，因此这组数据的众数仍然是29，保持不变，而去掉的数是其他数时，也是29最多，因此众数仍然是29．而去掉一个数后，平均数、中位数和方差都有可能发生改变． 故选：C． 7. 如图，在中，， ，，把绕直线 旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，点、线、面、体以及勾股定理，将绕 所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为1，利用勾股定理计算母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形和扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：将绕 所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥， 圆锥的底面圆的半径为1，母线长， 所以圆锥的侧面积． 故选：B． 8. 某班级共有位学生，现将 个枇杷作为午餐水果分发给学生．若每人发2个，则还剩10个；若每人发3个，则还缺30个．下列四个方程： ①；②；③；④，其中符合题意的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，关键是确定等量关系，本题中的学生数不变是一个等量关系，枇杷数不变也是一个等量关系，根据不同的等量关系所设的未知数不同，列出的方程也不同. 【详解】解：若以枇杷总数不变为等量关系，则可列方程为； 若以学生数不变为等量关系则可列方程为； 故选：C． 9. 已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数，反比例函数的图象和性质是解题的关键；利用表格中x的增加值和y的减小值的特点，即可判断选项． 【详解】解：根据表格可知，x的值每增加1，y的值就减少2，则可判断是一次函数，且y随x的增大而减小， 故选：． 10. 如图，在矩形中，， ，点为对角线的中点，为线段 上一点，连结，并延长交于点 ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点，交于点．再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交线段 于点 ．则下列两个命题中说法正确的是（ ） 为等腰三角形； 设 长为 ，长为 ，则． A. 正确，正确 B. 正确，错误 C. 错误，正确 D. 错误，错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由已知、根据“两直线平行， 内错角相等”得，由作图可知，从而得到，由“等角对等边”得到，即是等腰三角形，结论正确；由已知、根据 证明，得到，从而得到，过点 作 于点 ，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得四边形是矩形，从而得到，在中，由勾股定理得，整理得得出结论正确． 【详解】解：∵是矩形， ∴ ， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，结论正确； 矩形中，，， ， ∵点为对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 过点 作于点 ，如图： 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，，， 由勾股定理， 得即， ∴， ， ， ∴，即结论正确， 故选：． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：=___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行计算． 【详解】解：∵23=8， ∴， 故答案为：2． 12. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 提公因式m，再用平方差公式分解即可． 【详解】解；． 故答案为；． 13. 年月，国家卫健委联合部门正式启动“体重管理年”三年行动．陈老师为响应号召，给自己制定了五个锻炼项目，分别是：快走，慢跑，游泳，俯卧撑和深蹲．其中快走，慢跑，游泳属于有氧运动，俯卧撑和深蹲属于无氧运动．若今天陈老师随机选择其中一项运动进行锻炼，则选中的项目是有氧运动的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，根据概率公式求解即可． 【详解】解：有氧运动有：快走，慢跑，游泳，共个项目；总的项目有：快走，慢跑，游泳，俯卧撑和深蹲，共个项目； 选中的项目是有氧运动的概率是， 故答案为：． 14. 如图，在中， ，是边上的中线，点到的距离为2，则___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．先根据三角形的面积公式可得，再根据三角形中线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵ ，点到的距离为2， ∴， ∵在中，是边上的中线， ∴， 故答案为：8． 15. 把电阻值分别为的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值（单位：）满足．当时，___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、异分母的分式加减运算等知识点，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 将代入用分式的加减运算法则运算，然后运用分式的基本性质整理即可解答． 【详解】解：将代入可得：， 所以． 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，点、 分别在边、上，且，点关于直线的对称点在线段的延长线上，与交于点． （1）若点与点关于直线 对称，则___________； （2）若，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由轴对称可得到，从而 ，即可解答； （2）延长，，交于点M，设与交于点N，由得到，设，．证明 ，根据“三线合一”得到，设，则，，，，，由得到，即，求得，即可解答． 【详解】解：（1）∵点与点关于直线 对称， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∵在正方形中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）延长，，交于点，设与交于点， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴设，， 点与点关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵在正方形中，， ∴， ∴在正方形中，． 设， ∴，， ， ∵点与点关于对称， ∴， ∵在正方形中， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去） ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称图形的性质，求锐角三角函数值，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解一元二次方程，综合运用相关知识是解题的关键． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，解题的关键是掌握相关的运算法则．先计算有理数的乘方、负整数指数幂、二次根式，再算加减即可． 【详解】解： ． 18. 用数轴解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．先分别求出不等式组中两不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”，即可确定不等式组的解集，然后在数轴上表示出来． 【详解】解： 由①得， 由②得 ， 不等式组的解为 ． 在数轴上表示如下： 19. 在中， 平分，是边上的高，． （1）求 的度数； （2）若，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查三角形内角和定理，解三角形，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据角平分线的定义得出，确定，再由直角三角形内角和定理即可求解； （2）根据题意得出，利用正切函数及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：平分， ． 又， ． 又是边上的高， ， ． 【小问2详解】 在中，， ， 在Rt中：， 又， ． 20. 中国的人工智能领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表： 九年级学生最常使用的“”软件统计表 软件 使用人数 百分比 18 12 豆包 腾讯元宝 6 其他软件 8% 九年级学生最常使用的“软件统计图” （1）请写出统计表中的值： ___________，___________； （2）已知九年级有400位同学，试估算最常使用“”的同学有多少位？ （3）小城了解到：使用“”和“”组合生成的效果很好，堪称“王炸组合”．现从“”、“”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是""和""的概率． 【答案】（1） （2）144人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表、扇形统计图、用样本估计整体、列表法求概率等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）用腾讯元宝的频数除以其所占的百分比即可求得调查学生人数，求得所占的百分比即可确定a的值；用调查人数乘以豆包所占的百分比即可解答； （2）用学生数乘以所占的比例即可解答； （3）先画树状图得所有等可能结果数以及恰好是""和""的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查学生数为：， 所以使用“”的同学的所占百分比为，即； “豆包”使用的学生数为：位，即 ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：（人）． 答：最常使用“”的同学有144位． 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 根据树状图可知共12种等可能结果，其中恰好是""和""的结果数为2． ． 21. 某项目学习小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力 （单位：）一定时，木板面积（单位：）与人和木板对地面的压强（单位：）成反比例．当木板面积为时，人和木板对地面的压强为． （1）求关于的函数表达式； （2）当木板面积为时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过 ，木板面积至少要多大？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：木板面积至少要，理由如下： 当 时，， ． ∴在第一象限内随的增大而减小， ∴当 时， ， 即要求压强不超过 ，木板面积至少要． 【解析】 【分析】本题主要查了反比例函数的实际应用： （1）设关于的函数表达式为，把 代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式即可； （3）把 ，代入（1）中解析式，可得，再根据反比例函数的增减性解答即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 把 代入得：， 解得： ， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时， ． 【小问3详解】 略 22. 定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用表示．如图，菱形和菱形 是组合菱形，其中与共线，且满足． （1）组合比 ___________； （2）若 ，求的长； （3）若 ，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：四边形为菱形，四边形为菱形 又 在 和 中 ． ∴， 不妨设 ，则 ， ，可得 ． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、菱形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据组合比的定义进行解答即可； （2）求出，根据菱形的性质即可得到； （3）证明 ．则，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵． ∴组合比 故答案为： 【小问2详解】 连接交于点 四边形为菱形，四边形为菱形 ， 又即 ，即， 又 在中： 【小问3详解】 略 23. 设二次函数． （1）若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标； （2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）存在， （3） 或 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称轴为直线，得出，将代入 得，，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）根据函数最大值5，得出，解方程即可； （3）先求出抛物线的解析式为：，得出抛物线的对称轴为直线，根据当时，都有，利用图象法解决问题即可． 【小问1详解】 解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴抛物线的解析式为 ， 将代入 得，， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：存在； ∵函数最大值5， ∴， 即， 解得：， 【小问3详解】 解：将点坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线，当时，都有， ∴根据函数图象可知：此时 或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求出二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 24. 如图1， 为的外接圆，且，点为圆外一动点，且满足，连结，交于点，交 于点 ，连结． （1）若经过圆心，求 的长； （2）求证：平分； （3）如图2，若，设，请用含的代数式表示． 【答案】（1）4 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用勾股定理求解即可； （2）证法1：导角：设，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质推导出，再结合圆周角定理得到即可得出结论； 证法2：隐圆先证明是以为圆心， 为半径的圆上，由圆周角定理得到，，进而得到可得结论； （3）法一：证明，利用相似三角形的判定得到，，再根据平行线分线段成比例得到，过作于点 ，利用等腰三角形的性质得到，再利用余弦定义求解即可； 法二：可利用三角形的角平分线性质，结合（2）中结论得到，设，则，过点作，利用等腰三角形的性质和余弦定义得到，证明，利用相似三角形的性质得到，进而求解即可． 【小问1详解】 是直径， ． 在中，， 由勾股定理得：，即， ； 【小问2详解】 证法1：导角： 设， ， ， ， ， ， ∵． ， 又， ， 是的平分线． 证法2：隐圆 是以为圆心， 为半径的圆上， 其中是圆心角， 是同弧所对的圆周角 ． 而在圆中，， 是的平分线； 【小问3详解】 法一：， 又， 由（2）得 ． 又∵， ， ，又， ∴ ． 且 ， ， ， ， 过作于点 ， ， ， 在中，． 法二：平分， ， ， 设，则 过点作， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用设参数推导角的关系，以及多种方法解答，体现“一题多解”的思想是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $