精品解析：河南驻马店市平舆县2025—2026学年度下学期期中学情测评八年级数学试题

2025-2026学年度下学期期中学情测评 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，5 B. 7，8，9 C. 5，12，11 D. 8，15，17 3. 已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 27 D. 108 4. 我们都有这样的生活经验，要想使多边形（三角形除外）木架不变形至少再钉上若干根木条．如图6所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上三根；…．按照此规律，十三边形至少再钉上（　　） A. 13根 B. 12根 C. 11根 D. 10根 5. 如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若， ，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 6 D. 2 7. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 2 8. 综合与实践课上，老师制定的活动主题为：用尺规作图或折叠的方式在平行四边形纸片上作出一个菱形．同学们思考后提出下列设计方案，设计错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形在平面直角坐标系上，点和点在边上，，轴，则点D坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，是边上一动点（不与，重合），对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点，，交，于点，，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③④ D. ①④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 要使二次根式有意义，则x的值可以是______（写出一个数字即可）． 12. 如果多边形的内角和等于外角和的倍，那么这个多边形的边数为______． 13. 如图，正方形中，点E、F分别在边、上，，，如果，那么的周长是_________． 14. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 15. 如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 如图，在四边形中，对角线，交于点O．已知，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求四边形的面积． 18. 某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． （1）求点之间的距离； （2）求四边形的面积． 19. 如图，在四边形中，，平分交于点，平分交于点，连接．求证：四边形是菱形． 20. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，．把作为整体，得． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 21. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：； （2）已知，，求的值． 22. 如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）如果，试证明：四边形为矩形． 23. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． （2）应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期中学情测评 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数是非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、被开方数，故不是二次根式，不符合题意； B、∵对任意实数，都有，∴，且根指数为2，满足二次根式的所有条件，故一定是二次根式，符合题意； C、∵当时，被开方数是负数，不满足要求，∴不一定是二次根式，不符合题意； D、∵该式根指数为3，是三次根式，不满足根指数为2的要求，∴不是二次根式，不符合题意． 2. 据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，5 B. 7，8，9 C. 5，12，11 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】勾股数是指三个正整数，满足两较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项验证即可得出答案． 【详解】解：A、，，，不是勾股数，不符合题意； B、，，，不是勾股数，不符合题意； C、，，，不是勾股数，不符合题意； D、，，，是勾股数，符合题意． 3. 已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 27 D. 108 【答案】A 【解析】 【分析】先对108分解质因数，根据二次根式的性质，若二次根式的运算结果为整数，则被开方数必须是完全平方数，据此求解最小的正整数． 【详解】解：对分解质因数，得：， ∴， ∵是正整数，是整数， ∴必须是完全平方数， ∴的最小正整数值为． 4. 我们都有这样的生活经验，要想使多边形（三角形除外）木架不变形至少再钉上若干根木条．如图6所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上三根；…．按照此规律，十三边形至少再钉上（　　） A. 13根 B. 12根 C. 11根 D. 10根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查多边形对角线，根据分成三角形个数与边数的关系，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数，由此得出答案即可． 【详解】解：过n边形的一个顶点可以作条对角线，把多边形分成个三角形， 所以，要使一个十三边形木架不变形，至少需要根木条固定． 故选：D． 5. 如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即． 6. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若， ，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 6 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解题的关键．根据菱形的性质可得，，再根据直角三角形的性质可得，最后根据菱形的面积公式计算，即得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 菱形的面积为． 故选：A． 7. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∴． 8. 综合与实践课上，老师制定的活动主题为：用尺规作图或折叠的方式在平行四边形纸片上作出一个菱形．同学们思考后提出下列设计方案，设计错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，轴对称的性质，作角平分线，作线段的垂直平分线，菱形的判定，根据菱形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案. 【详解】解：如图，根据作图过程可知：，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形，故A不符合题意． 如图，由作图可得：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴，而， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形，故B不符合题意． 如图， 由对折可得：，， 同理可得：， ∴， ∴四边形为菱形，故D不符合题意． 无法证明C选项中的四边形为菱形，故C符合题意； 故选：C 9. 如图，矩形在平面直角坐标系上，点和点在边上，，轴，则点D坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，坐标与图形，解决本题的关键是掌握矩形及等腰三角形的判定和性质．过点作轴于点，设交轴于点，得矩形，根据点和点在边上，求出的长即可得到答案． 【详解】解：过点作轴于点，设交轴于点， 轴， 矩形， ， 和点， ， ， ， 矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选A． 10. 如图，在正方形中，是边上一动点（不与，重合），对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点，，交，于点，，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明四边形是矩形，可判断②结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断③结论；同③理可证，四边形、是正方形，可判断④结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ，②结论错误； 如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 由①可知，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形是正方形， ， ，③结论正确； 设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 同③理可证，四边形、是正方形， ， ， ，， ，④结论错误， 正确的为①③， 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 要使二次根式有意义，则x的值可以是______（写出一个数字即可）． 【答案】1 【解析】 【分析】根据，建立不等式求解x的范围，即可解题． 【详解】解： 二次根式有意义， ， 解得， 的值可以是小于等于的任意一个数， ∴x的值可以是（答案不唯一）． 12. 如果多边形的内角和等于外角和的倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】 【解析】 【分析】设多边形的边数为，根据内角和是外角和的倍，利用多边形内角和公式及外角和为建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵多边形的内角和等于外角和的倍， ∴， 解得， ∴这个多边形的边数为． 13. 如图，正方形中，点E、F分别在边、上，，，如果，那么的周长是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】证明出四边形是平行四边形，得到，求出，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴的周长是． 14. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据勾股定理得出，得出，根据正方形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意得，由勾股定理得，即， ， ， ， 根据正方形的性质得，， ∴阴影部分的面积为． 15. 如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算，即可． （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在四边形中，对角线，交于点O．已知，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴四边形的面积． 18. 某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． （1）求点之间的距离； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理的运用进行解答即可． （1）连接，根据勾股定理的运用，解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，再根据四边形的面积为：，进行解答，即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵，，， ∴， ∴，的距离为． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为：． 19. 如图，在四边形中，，平分交于点，平分交于点，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边，菱形的判定和性质等知识，解题的关键记住菱形的判定方法． 先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 20. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，．把作为整体，得． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）8 （2）2029 【解析】 【分析】（1）根据题目中的例子，先将转化，求出的值，然后即可求得所求式子的值； （2）根据得，仿照题目中的例子，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，即， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ，即， ． 21. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）分子分母分别乘即可； （2）由条件可得：，，可得：，，再利用完全平方公式计算即可． 本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ，， ． 22. 如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）如果，试证明：四边形为矩形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合点E是的中点，，得，，再结合对顶角相等，证明，则，又因为是边上的中线，故，即可作答； （2）因为，，得，由（1）得，又∵，得出四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形． 【小问1详解】 证明：∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是边上的中线， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 23. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． （2）应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1）见解析； （2）①；②绳索的长为 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）根据正方形的面积为，或，即可得到，化简即可证明； （2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； ②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得，正方形的边长为，则面积为， 又正方形由正方形和4个全等的三角形组成，故面积为， ∴， 即， ∴． 即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和． 【小问2详解】 解：①∵在中，，， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 答案为：； ②∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，即， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：． ∴绳索的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $