精品解析：河南省驻马店市平舆县2024-2025学年 下学期期中学情测评八年级数学试题

河南省驻马店市平舆县2024-2025学年下学期期中学情测评八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．写在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）． A. 3，4，6 B. 7，12，13 C. D. 7，24，25 3. 下列各式计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，四边形是矩形，，则点M表示的数是（ ） A. B. C. D. 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 6. 如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（　　） A. 四边形是平行四边形 B. 如果，那么四边形是矩形 C. 如果平分平分∠BAC，那么四边形 AEDF 菱形 D. 如果AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形 7. 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”即 （a为勾，为股，为弦），若“勾”为，“股”为，则“弦”最接近的整数是（ ） A. B. C. D. 8. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 《醉翁亭记》中写道：“射者中”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知二次根式有意义，请写出一个符合条件的正整数的值__________． 12. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则______． 13. 如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为__________． 14. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积，其求三角形面积的方法用现在的语言表达如下：的三边为，．若的三边，，，则的面积__________7.5（填“＞”“＜”或“＝”）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度沿向点运动，过点作于点D． （1）当时，点的坐标为__________； （2）当的值最大时，点的坐标为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解答题 （1）； （2）如图，在中，，求BC边上高的长． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，按下列要求画三角形并计算求解． （1）在图中，画一个三角形，使它们的三边长分别为，，； （2）求边上的高． 18. 已知刹车距离的计算公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车距离（单位：），表示摩擦系数．现有一辆货车（中型以上）在立有图标识的高速公路行驶，若刹车距离是，摩擦系数是． （1）实际上该货车已超速，请通过计算说明； （2）请根据下面的分值表判断该货车会被记几分． 超速违法行为记分分值表 违法行为 道路类型 中型以上客货汽车、校车、危险品车 其他机动车 超速 以上 高速公路、城市快速路 记分 记分 高速公路、城市快速路以外道路 记分 记分 以上以下 高速公路、城市快速路 记分 记分 高速公路、城市快速路以外道路 记分 记分 以上以下 高速公路、城市快速路 记分 不扣分 高速公路、城市快速路以外道路 记分 不扣分 以下 高速公路、城市快速路 记分 不扣分 高速公路、城市快速路以外道路 不扣分 不扣分 19. 如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，．     （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 20. 一个三角形的三边长分别为、、 （1）判断该三角形的形状； （2）求它周长； （3）请你给x取一个适当的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长． 21. 阅读下列材料，并解决后面的问题． 问题：比较与的大小 解：对两个数求倒数，得； . 与都是正数，. （1）请用上述方法比较与大小； （2）猜想：与（n为正数）的大小关系，并证明你的结论． 22. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解∵∴又∵，∴，即时取等号． ∴最小值为4． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，当且仅当__________时，有最小值__________． （2）当时，求的最小值． （3）请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 23. 综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在中，，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作， 特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论； （2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接，得到图2，发现图2中线段与之 间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由； 拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，．当时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省驻马店市平舆县2024-2025学年下学期期中学情测评八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．写在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）． A. 3，4，6 B. 7，12，13 C. D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为3，4，6的三角形不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为7，12，13的三角形不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴三边长为三角形不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴三边长为7，24，25的三角形能构成直角三角形，，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列各式计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，直接根据二次根式的四则运算法则求解即可． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，四边形是矩形，，则点M表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，矩形的性质等知识．熟练掌握勾股定理，实数与数轴，矩形的性质是解题的关键． 由勾股定理得，，则，进而可得点M表示的数是． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴， ∴点M表示的数是， 故选：D． 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】A 【解析】 【详解】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角， 矩形的对角线互相平分、相等， ∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质和矩形的性质．掌握特殊四边形的性质是解题关键． 6. 如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（　　） A. 四边形是平行四边形 B. 如果，那么四边形是矩形 C. 如果平分平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形 D. 如果AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形 【答案】D 【解析】 【详解】由DE∥CA,DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形； 又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形 故A. B正确； 如果AD平分∠BAC,那么∠EAD=∠FAD,又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF， ∴∠FAD=∠ADF， ∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形故C正确； 如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形，故D错误. 故选D 7. 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”即 （a为勾，为股，为弦），若“勾”为，“股”为，则“弦”最接近的整数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出“弦”，然后利用算术平方根的性质估计其最接近的整数． 【详解】解：依题意“弦”为， 而， “弦”最接近的整数是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用勾股定理进行计算，同时也利用了算术平方根的性质估计无理数的大小． 8. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 9. 《醉翁亭记》中写道：“射者中”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，箭在投壶外面部分的最大长度为， 最小长度为， ∴箭在投壶外面部分的长度不可能是， 故选：． 10. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可得∠DAB=120°，又AE平分则可得∠BAE=∠DAE=60°=∠ABE，即三角形ABE为等边三角形，则可判断①；根据结合勾股定理即可判断③和④；AO=CO，BE=CE，则OE为三角形ABC的中位线，利用中位线的性质即可判断②；△AOE与△BOE为同底等高的三角形，根据面积关系即可判断⑤． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，，AO=CO， ∴∠DAB=120°， 又∵AE平分， ∴∠BAE=∠DAE=60°=∠ABE， ∴三角形ABE为等边三角形， ∴AB=BE=AE， 又∵，BC=4， ∴EC=2=AE=BE， ∴∠BAC=90°， ∴∠CAD=∠BAD=30°，故①正确， ∵∠BAC=90°， ， ，故③正确，， ∴，， ，故④正确， ∵AO=CO，BE=CE， ∴OE为三角形ABC的中位线， ，， ∴OE=1， 又∵BC=4， ∴，故②正确， ∵△AOE与△BOE为同底等高的三角形， ， ， ，故⑤正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定及性质、角平分线的性质、中位线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，根据已知条件，巧妙运用相关知识判断． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知二次根式有意义，请写出一个符合条件的正整数的值__________． 【答案】1（小于等于2025的正整数均可） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求出a的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴符合题意的正整数a的值可以为1， 故答案为；1（小于等于2025的正整数均可）． 12. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则______． 【答案】169 【解析】 【分析】根据“垂美”四边形，得到AC⊥BD，由勾股定理得，由此求出答案． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形， ∴AC⊥BD， ∴， ∴ ∵， ∴169， 故答案为：169． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义构建勾股定理的等式是解题的关键． 13. 如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论． 【详解】解： 由作图可知平分， 设则有 ∴ 故答案为：5． 14. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积，其求三角形面积的方法用现在的语言表达如下：的三边为，．若的三边，，，则的面积__________7.5（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，先将，，代入求出三角形的面积，再进行比较即可． 【详解】解：将，，代入得出 ， 因为， 所以的面积7.5， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度沿向点运动，过点作于点D． （1）当时，点的坐标为__________； （2）当的值最大时，点的坐标为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先由矩形的性质得，，，根据勾股定理得，证明，整理得，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B运动，故，进行作答即可． （2）取中点T，连接，则；根据，可得当B、T、D三点共线，即点与点E重合时，有最大值，再根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：（1）连接交于点， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴，， ∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B运动，同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿向点O运动． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B运动， ∴， ∴点P的坐标为； 故答案为：； （2）如图所示，取中点T，连接， ∵， ∴； ∵， ∴当B、T、D三点共线，即点与点E重合时，有最大值， ∴此时点D为的中点， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解答题 （1）； （2）如图，在中，，求BC边上高的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算和勾股定理的应用，熟练掌握开平方的运算和勾股定理是解题的关键， （1）利用开平方运算即可得到答案； （2）过点作，利用勾股定理即可求得BC边上高的长度． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：过点作，交于点,如图： 又∵， ∴, ∵, ∴, 中，由勾股定理可得：． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，按下列要求画三角形并计算求解． （1）在图中，画一个三角形，使它们的三边长分别为，，； （2）求边上的高． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了割补法求三角形面积，勾股定理： （1）利用勾股定理结合网格的特点作图即可； （2）利用割补法求出的面积，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，由勾股定理可得，，，则即为所求； 【小问2详解】 解：设边上的高为h， ∴ ∴， ∴， ∴边上的高为． 18. 已知刹车距离的计算公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车距离（单位：），表示摩擦系数．现有一辆货车（中型以上）在立有图标识的高速公路行驶，若刹车距离是，摩擦系数是． （1）实际上该货车已超速，请通过计算说明； （2）请根据下面的分值表判断该货车会被记几分． 超速违法行为记分分值表 违法行为 道路类型 中型以上客货汽车、校车、危险品车 其他机动车 超速 以上 高速公路、城市快速路 记分 记分 高速公路、城市快速路以外道路 记分 记分 以上以下 高速公路、城市快速路 记分 记分 高速公路、城市快速路以外道路 记分 记分 以上以下 高速公路、城市快速路 记分 不扣分 高速公路、城市快速路以外道路 记分 不扣分 以下 高速公路、城市快速路 记分 不扣分 高速公路、城市快速路以外道路 不扣分 不扣分 【答案】（1）见解析； （2）记分． 【解析】 【分析】（）把，代入计算，求出，再跟限速比较即可判断求解； （）求出超速的百分比，对照分值表即可求解； 本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，将，代入得， ， ∴故该货车超速； 【小问2详解】 解：， ∵该中型以上货车在高速公路行驶， ∴记分． 19. 如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，．     （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据勾股定理得到，由得到．在中，利用勾股定理得到，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 20. 一个三角形的三边长分别为、、 （1）判断该三角形的形状； （2）求它的周长； （3）请你给x取一个适当的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长． 【答案】（1）等腰三角形 （2） （3）当时，三角形的周长为整数，此时周长为15（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式的加减计算，等腰三角形的定义： （1）分别根据二次根式的化简方法化简三个二次根式即可得到答案； （2）根据（1）所求结合三角形周长公式求解即可； （3）根据（2）所求可得为整数，即为整数，则只需要满足为一个正的完全平方数即可，据此求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ∴该三角形是等腰三角形； 【小问2详解】 解：， ∴该三角形的周长为； 【小问3详解】 解：∵三角形的周长为整数， ∴为整数，即为整数， ∴只需要满足为一个正的完全平方数即可， ∴当时，，此时， ∴当时，三角形的周长为整数，此时周长为15（答案不唯一）． 21. 阅读下列材料，并解决后面的问题． 问题：比较与的大小 解：对两个数求倒数，得； . 与都是正数，. （1）请用上述方法比较与的大小； （2）猜想：与（n为正数）的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式子，是解题的关键． （1）根据示例中的方法，把与化为分子是1的数，再比较大小即可； （2）根据示例中的方法，把与化为分子是1的式子，再比较大小即可． 【小问1详解】 解：对两个数求倒数，得， ， ∵ ， ∴， ∵与都是正数， ∴； 【小问2详解】 证明：对两个数求倒数，得 ， ， ∵ ， ∴ ， ∵与（n为正整数）都是正数， ∴， 22. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解∵∴又∵，∴，即时取等号． ∴的最小值为4． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，当且仅当__________时，有最小值__________． （2）当时，求的最小值． （3）请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】（1）1；2 （2） （3）40米 【解析】 【分析】（1）仿照阅读材料计算，即可求解； （2）先原式变形为，再仿照阅读材料计算，即可求解； （3）设垂直于墙的一边长为x米，其中，则平行于墙的一边长为米，可得需要用的篱笆长度为米，再仿照阅读材料计算，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 当，即时，取等号， ∴的最小值为2， 故答案：1；2 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴当，即时，取等号， 即的最小值为， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：设垂直于墙的一边长为x米，其中，则平行于墙的一边长为米， ∴需要用的篱笆长度为米， ∵， ∴当，即时，有最小值，为， 答：需要用的篱笆最少是米． 【点睛】本题主要考查了二次根式应用，理解阅读材料是解题的关键． 23 综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在中，，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作， 特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论； （2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接，得到图2，发现图2中线段与之 间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由； 拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，．当时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查四边形综合题、勾股定理、平行四边形的性质、菱形的判定和性质等知识点，学会添加常用辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）根据矩形的性质即角平分线的性质证明即可； （2）连接交于点O，连接，由（1）得四边形为正方形，，然后由线段垂直平分线的性质即可证明结论； （3）过点G作交于点H，连接，证明四边形为是菱形可得，进而得到，最后再运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴平行四边形为矩形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴矩形为正方形． （2），理由如下： 连接交于点O，连接，如图2， 由（1）得四边形为正方形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴． （3）补全图形如图，过点G作交于点H，连接， 由题意得四边形为平行四边形， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为是菱形， ∴，易得， ∵， ∴ ∴， ∴， 此时，A，G两点之间的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$